§ - 3.4实际问题与一元一次方程(练习答案)

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§ 3.4实际问题与一元一次方程

(知识要点)

一、销售问题

在生活中,人们购买商品和销售商品时,经常会遇到进价、原价(标价)、售价、打折等概念,在了解这些概念后,还必须熟悉销售问题中的两个基本关系式:

① 利润=售价-进价; ② 利润率=

利润×100%. 进价在①式中若等式左边的“利润”为正,就是盈利;若为负,就是亏损;由①和②式可以得到:利润=售价-进价=利润率×进价。

【例1】 某商店将某种服装按进价提高30%作为标价,又以九折优惠卖出,结果仍可获利17元,则这种服装每件进价是多少元?

分析:此题要用的等量关系是:利润=售价-进价,如果把进价设为x元,则标价为(1+30%)x,打九折后售价为0.9×(1+30%)x,再减去进价x元得到的就是利润17元。

解:设这种服装每件的进价为x元,依题意列方程为: 0.9×(1+30%)x-x=17 解得x=100

答:这种服装的进价是100元。

练习:某商店对一种商品进行调价,按原价的八折出售,打折后利润率是20%,已知商品的原价是63元,求该商品的进价?

二、行程问题

1、相遇问题:主要是指两车(戓人)从两地同时相向而行。其基本等量关系为两车(戓人)所行的路程这和恰好等于两地的距离;两车(或人)人开始行驶到相遇所用的时间相等。

2、追赶问题:主要是指甲、乙同向而行,快者追慢者称为追赶问题。 ① 基本公式:速度差×追赶时间=被追赶的路程;

② 对于同向同地不同时出发的问题有相等关系:追赶者行进路程=被追赶者行进路程; ③ 对于同时同向不同地出发的问题有等量关系:追赶者的行驶时间=被追赶者的行驶时

间。

3、航行问题:基本公式:顺水速度=静水速度+水速,逆水速度=静水速度-水速 顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速 符号公式:v

=v静水+v水 v顺风=v无风+v风 v逆水=v静水-v水 v逆风=v无风-v风

顺水

4、行程问题一般都能通过画线段示意图来分析,通过线段示意图,等量关系就能直观地显示出

1

来,进而用方程表示出来。

【例2】某中学组织学生到校外参加义务植树活动,一部分学生先骑自行车先走,速度为9km/h,40min后其余学生乘汽车出发,速度为45km/h,结果他们同时到达目的地,则目的地距学校有多少km?

分析:题目中的等量关系为:汽车行程=自行车行程;骑自行车的时间-乘汽车时间=40min。 解:(方法一)设目的地距学校有x千米,则骑自行车的所用的时间为x/9小时,乘汽车所用的时间为x/45 h。依据题意列方程为:

xx40-= 94560解得 x=7.5

所以目的地距学校7.5km。

(方法二)设汽车行驶了x小时,则汽车x小时的行程=自行车40分钟的行程+x小时的行程。如图所示:

依题意列方程为: 汽车x小时的行程

45x=9(x+解得 x=

40) 60自行车40分钟的自行车x小时的行程 行程

1 61所以45×=7.5

6即目的地距学校7.5千米。

练习:1、A、B两地相距100千米,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行,甲的速度为23千米/时,乙的速度为21千米/时,甲骑了1小时后乙从B地出发,问甲出发后经过几小时与乙相遇?

2、一辆汽车以每小时40千米的速度由甲地驶向乙地,车行了3小时后,因遇雨,平均速度被迫每小时减少10千米,结果到乙地比预计的时间晚了45分钟,求甲、乙两地的距离。

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三、工程问题

我们在解决工程类问题应用题时,常常把工作总量看成“1”。工作量、工作时间、工作人数、工作效率之间的关系为:工作量=工作效率×工作时间×工作人数。

【例3】 一项工作,甲单独做8天完成,乙单独做12天完成,丙单独做24天完成,现甲、乙合做3天后,甲因事离去,由乙、丙合做,则乙、丙还要几天才能完成这项工作?

分析:题中的等量关系为:全部工作量=甲、乙合做3天的工作量+乙、丙合做的工作量。 解:设乙、丙还要x天才能完成这项工作,根据题意列方程为: ?1??11??1??×3+???x?1

?1224??812?解得x?3.

答:乙、丙还要3天才能完成这项工作。

练习:某工程,甲队单独做12天完成,乙队单独做3天完成,甲队做苦干天后,因另有任

务被调走,余下的由乙队完成,从甲队开始做到乙队完成任务共用6天,求甲队做的天数。

四、储蓄问题

存入银行的钱叫做本金;银行付出的酬金叫做利息;存入银行的时间叫做期数;每个期数内的利息与本金的比叫做利率,每个期数内,利息=本金×利率。本金与利息和叫做本息和,本息和=本金+利息。

【例4】 某银行一年定期储蓄的年利率为2.25%,小明的奶奶当时按一年定期存入一笔钱,一年到期后取出本金及利息共1022.5元,则小明的奶奶存入银行的钱为多少元?

分析:题中利用的等量关系:本息和=本金+利息=本金+本金×利率,可求得本金。 解:设小明的奶奶存入银行的钱为x元,根据题意列方程为:

.5 x?2.2500x?1022解得x?1000.

答:小明的奶奶存入银行的钱为1000元。

练习:小红的父亲前年存入了一种年利率为2.43%的两年储蓄,今年到期后,所得利息正好给小红买了一个价格为121.5元的计算器,那么小红的父亲前年存入了多少钱?

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五、调配问题

调配问题是指从甲处调一些人(或物)到乙处,使之符合一定的数量关系;或者从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处,使之符合一定的数量关系。其基本关系为:甲处人(或物)数+乙处人(或物)数=总人(或物)。

【例5】 某厂甲车间有工人32人,乙车间有62人,现从厂外招聘工人98名分配到两车间,问应该如何分配才能使乙车间人数是甲车间人数的3倍。

分析:设分配x人到甲车间,则分配(98-x)人到乙车间,甲车间分配后人数为(32+x)人,乙车间分配后人数为(62+98-x)人。等量关系是:乙车间人数=3×甲车间人数。

解:设分配x人到甲车间,则分到乙车间的人数为(98-x),依题意列方程为: 62+98-x=3(32+x)

解得 x?16

则分到乙车间的人数为:98-16=82(人). 答:应分配16人到甲车间,82人到乙车间。

练习:如图,天平的A、B盘内分别有51克、45克盐,则应该从A盘内拿出多少克盐放到B盘内,才能使天平平衡?

45 g B 51

A g

六、数字问题

数字问题是指已知一个数各位上的数字之间的关系,要求写出这个数,解这类问题一般要设间接未知数,如a、b分别是一个数的个位和十位上的数字,则这个两位数可以表示为10b+a.

【例6】 一个两位数,十位上的数比个位上的数小1,十位与个位上的数学之和是这个两位数的1/5,求这个两位数。

分析:题中已知的等量关系是:十位上的数字+个位上数字=1/5×两位数. 解:设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x+1),依题意列方程为:

x?(x?1)?1?10x?(x?1)? 5 解得 x?4

个位上的数字这:4+1=5 所以这个数两位数是为45.

练习:一个两位,个位上的数字是十位上的数字的2倍,如果把十位与个位上数字对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原两位数。

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七、积分问题

比赛中的积分规则由比赛的规定决定,各类比赛不尽相同,弄清比赛规则是解决问题的先决条件。这类问题基本选题关系为:比赛总场数=胜场数+负场数+平场数。比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分。

【例7】 足球比赛的积分规则:胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分。一支点球队在某个赛季中共比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分,请问:

(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场? (2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?

(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛得分不低于29分就可以达到预期的目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场才能达到预期目标?

解:本题中的数据较多,要特别注意读题、审题,从中找出等量关系:总积分=胜场积分+负场积分+平场积分.

解:(1)设前8场比赛中,这个球队共胜了x场,则平了(8-1-x)场.根据题意列方程为: 3x+(8-1-x)=17. 解得 x=5

(2)打满14场比赛最高得分为:17+3(14-8)=35(分)

(3)由题意知,以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可达到预期目标。所以当胜场不少于4场时得分大于17+3×4=29分,一定能达到预期目标;而胜3场平3场时得分为:17+3×3+3×1=29分,正好达到预期目标。所以这个球队在以后的6场比赛中至少要胜3场平3场才能达到预期的目标。

练习:某区中小学足球联赛共赛8轮(即每队均需参赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,在这足球联赛中,猛虎队平的场数是负的场数的2倍,且8场比赛共得分17分,则该队共胜多少场?

八、方案设计问题

一般步骤:(1)运用一元一次方程解应用题的方法,求解使设计方案值相等的情况; (2)用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣后下结论。

【例8】某地上网有两种收费方式,用户可以任选其一:A 计时制:1元/小时,B 包月制:80元/月,此外,每一种上网方式都加收通讯费0.1元/小时。

(1) 某用户每月上网40小时,选用哪种上网方式比较合算?

(2) 某用户每月有100元钱用于上网,选用哪种上网方式比较合算? (3) 请你为用户设计一个方案,使用户能合理地选择上网方式.

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分析: (1)分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额,进行比较即可知道; (2) 分别计算出两种方式下的上网时间进行比较;

(3) 设每月上网m小时,两种上网方式的消费额相等,再进行分析.

解: (1)用户上网40小时,选择A种上网方式应支付网费40×1+40×0.1=44元(元),选择B种上网方式应支付网费80+40×0.1=84(元),所以选用A种方式比较合算;

(2)设用户选择A方式100元可上网x小时,选择B方式可上网y小时,依题意,得 (1+0.1)x=100 80+0.1y=100 解得 x≈91 y=200 即用户选择A方式100元可上网91小时,选择B方式可上网200小时,所以选用B种方式合算.

(3)设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等,依题意列方程为:

(1?0.1)m?80?0.1m

解得 m?80

所以当每月上网不足80小时时,先用A方式上网比较合算;当每月上网80小时时,两种方式的消费额相等;当每月上网超过80小时时,选用B方式比较合算. 练习:某校长暑假将带该校市“三好生”去参加旅游,甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说:“包括校长在内全部按全票的6折优惠”.若全票为240元.

(1)当学生是多少时,两家费用一样?

(2)当学生是多少时,选甲旅行社合算?当学生是多少时,选乙旅行社合算?

九、等积问题

等积问题是指物体的形状改变了,但体积不变,根据体积相等列方程求解.其等量关系为:形状改变前的体积=形状改变后的体积.

【例9】 要锻造一个直径为100cm,高为80cm的圆柱毛坯,应截取直径为160cm的圆钢多长?

分析:在锻造过程中,圆钢的形状发生变化,但体积理不变的量,形状变化前后体积相等。 解:设应截取直径为160cm的圆钢h cm,根据题意列方程为:

?160??100????h?????80 ?2??2?解得 h?31.25

答:应截取直径为160cm的圆钢31.25cm.

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分析: (1)分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额,进行比较即可知道; (2) 分别计算出两种方式下的上网时间进行比较;

(3) 设每月上网m小时,两种上网方式的消费额相等,再进行分析.

解: (1)用户上网40小时,选择A种上网方式应支付网费40×1+40×0.1=44元(元),选择B种上网方式应支付网费80+40×0.1=84(元),所以选用A种方式比较合算;

(2)设用户选择A方式100元可上网x小时,选择B方式可上网y小时,依题意,得 (1+0.1)x=100 80+0.1y=100 解得 x≈91 y=200 即用户选择A方式100元可上网91小时,选择B方式可上网200小时,所以选用B种方式合算.

(3)设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等,依题意列方程为:

(1?0.1)m?80?0.1m

解得 m?80

所以当每月上网不足80小时时,先用A方式上网比较合算;当每月上网80小时时,两种方式的消费额相等;当每月上网超过80小时时,选用B方式比较合算. 练习:某校长暑假将带该校市“三好生”去参加旅游,甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说:“包括校长在内全部按全票的6折优惠”.若全票为240元.

(1)当学生是多少时,两家费用一样?

(2)当学生是多少时,选甲旅行社合算?当学生是多少时,选乙旅行社合算?

九、等积问题

等积问题是指物体的形状改变了,但体积不变,根据体积相等列方程求解.其等量关系为:形状改变前的体积=形状改变后的体积.

【例9】 要锻造一个直径为100cm,高为80cm的圆柱毛坯,应截取直径为160cm的圆钢多长?

分析:在锻造过程中,圆钢的形状发生变化,但体积理不变的量,形状变化前后体积相等。 解:设应截取直径为160cm的圆钢h cm,根据题意列方程为:

?160??100????h?????80 ?2??2?解得 h?31.25

答:应截取直径为160cm的圆钢31.25cm.

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