苏教版七年级数学练习及解析

九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）

1．方程x=4x的解是（ ）

A． 0 B． 4 C． 0或﹣4 D． 0或4

2．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）

A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法判断

3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）

A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对

4．某商店老板准备再补充一批运动鞋，则他在进货之前应了解的销售数据是（ ） A． 平均数 B． 众数 C． 中位数 D． 方差

5．如图所示，点A、B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（ ）

2

2

A． 2对 B． 3对 C． 4对 D． 5对

6．如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（ ）

A． （3，2） B． （﹣2，﹣3） C． （2，3）或（﹣2，﹣3） D． （3，2）或（﹣3，﹣2）

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 7．已知2x=3y，则= ．

8．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，则它的实际长度为 ．

9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=2cm，则AC= cm．

10．若a是方程x﹣2x﹣5=0的根，则1﹣4a+2a= ．

11．已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的外接圆半径R= ． 12．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4．BD为⊙O的直径，则BD= ．

2

2

13．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为 °．

14．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为 cm．

15．如图所示，在△ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，DE∥BC，交AC于点E，若△ADE与△ABC的面积的比为1：9，则△ADE与△DEF的面积的比为 ．

16．如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 ．

三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17．解方程： （1）x﹣8x﹣10=0；

（2）9t﹣（t﹣1）=0．

18．已知关于x的方程mx+x+1=0，试按要求解答下列问题： （1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；

（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．

19．社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，他们的成绩被绘制成了如下的统计图表： 甲、乙两人射箭成绩统计表 甲成绩 乙成绩 第1次 9 7 第2次 4 5 第3次 7 7 第4次 a b 第5次 6 5 2

2

2

2

请根据统计图表解答下列问题：

（1）a= 、b= ；

（2）请你在折线统计图中补全表示乙成绩变化情况的折线图；

（3）请你运用方差的知识，对甲、乙两人的成绩进行分析，说明谁将被选中参加集训．

20．某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元，如果一次购买超过10双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元．一位顾客购买这种运动鞋支付了3600元，这们顾客买了多少双鞋？

21．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长．

22．如图所示，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过C点的切线交AB于点D．若AD=3BD，CD=2，求⊙O的半径．

23．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从B点出发沿着BC向C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发沿CD向D移动． （1）几秒时，△PCQ的面积为3？

（2）几秒时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？

24．如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？

25．如图所示，已知：AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，过点B作BD⊥CP于D，若CP是⊙O的切线．

（1）求证：△ACB∽△CDB；

（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积；

（3）若过点A作AE⊥CP交直线CP于点E，BD=5，AE=8，求⊙O的半径．

26．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F．若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）． （1）求证：DC=FC；

（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （3）求直线AD的解析式．

期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）

1．方程x=4x的解是（ ）

A． 0 B． 4 C． 0或﹣4 D． 0或4

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

分析： 先移项，然后利用“提取公因式法”将方程的左边转化为两个因式的积的形式． 解答： 解：由原方程，得

x﹣4x=0，

提取公因式，得 x（x﹣4）=0，

所以x=0或x﹣4=0， 解得，x=0或x=4． 故选D．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

2．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）

A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法判断

考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案． 解答： 解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d， ∵d=5，r=6， ∴d＜r，

∴直线l与圆相交． 故选：A．

点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）

A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对

考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

分析： 易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．

2

2

2

解答： 解：解方程x﹣12x+35=0得：x=5或x=7．

2

当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；

当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形． ∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．

点评： 本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．

4．某商店老板准备再补充一批运动鞋，则他在进货之前应了解的销售数据是（ ） A． 平均数 B． 众数 C． 中位数 D． 方差

考点： 统计量的选择．

分析： 商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．

解答： 解：根据题意，知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数． 故选B．

点评： 本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用．

5．如图所示，点A、B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（ ）

A． 2对 B． 3对 C． 4对 D． 5对

考点： 相似三角形的判定；圆周角定理．

分析： 通过同弧所对的圆周角相等及割线定理，即可找出全部的相似的三角形． 解答： 解：设AC和BD相交于点P，

根据题意及图形所示：EA?EB=ED?EC，∠E为公共角，可得△EDA∽△EBC， 又由于∠ADB=∠BCA，且∠DPA=∠BPC，可得△PDA∽△PCB， 同理可得△PAB∽△PDC，△EAC∽△EDB； 所以共有4对相似三角形． 故选B．

点评： 本题考查相似三角形的判定定理，而且还考查了割线定理和同弧所对的圆周角相等．

6．如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（ ）

A． （3，2） B． （﹣2，﹣3） C． （2，3）或（﹣2，﹣3） D． （3，2）或（﹣3，﹣2）

考点： 位似变换；坐标与图形性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据位似图形的位似比求得相似比，然后根据B点的坐标确定其对应点的坐标即可． 解答： 解：∵若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，

∴两矩形的相似比为1：2， ∵B点的坐标为（6，4），

∴点B1的坐标是（3，2）或（﹣3，﹣2）． 故选D．

点评： 本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 7．已知2x=3y，则=

．

考点： 比例的性质． 专题： 计算题．

分析： 根据比例的基本性质（两个内项之积等于两个外项之积）解答即可． 解答： 解：∵2x=3y， ∴∴

， ；

故答案为：

点评： 本题主要考查了比例的基本性质：在比例式中，两内项之积等于两外项之积．

8．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，则它的实际长度为 2km ．

考点： 比例线段．

分析： 首先设这两地的实际距离是xcm，然后根据比例尺的性质，即可得方程：解此方程即可求得答案，注意统一单位． 解答： 解：设它的实际长度为xcm， 根据题意得：

，

，

解得：x=200000， ∵200000cm=2km，

∴它的实际长度为2km． 故答案为：2km．

点评： 此题考查了比例尺的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的性质列方程，注意统一单位．

9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=2cm，则AC=

考点： 黄金分割． 专题： 应用题．

分析： 根据黄金分割的定义得到AC=

cm．

AB，把AB=2cm代入计算即可．

解答： 解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴AC=而AB=2cm， ∴AC=

×2=

﹣1cm． AB，

故答案为﹣1．

点评： 本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的 线段的黄金分割点，难度适中．

10．若a是方程x﹣2x﹣5=0的根，则1﹣4a+2a= 11 ．

考点： 一元二次方程的解．

分析： 把a代入方程x﹣2x﹣5=0得出a﹣2a=5，再进一步整理1﹣4a+2a，整体代入求得答案即可．

解答： 解：∵a是方程x﹣2x﹣5=0的根， 2

∴a﹣2a﹣5=0， 2

∴a﹣2a=5，

2

∴1﹣4a+2a

2

=1+2（a﹣2a） =1+2×5 =11．

故答案为：11．

22

2

2

2

2

倍，则这个点叫这条

点评： 此题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体代入思想的渗透．

11．已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的外接圆半径R= 6.5 ．

考点： 三角形的外接圆与外心；勾股定理．

分析： 利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为13，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三形外接圆半径． 解答： 解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12， ∴根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为

=13；

∴其外接圆半径长为6.5； 故答案是：6.5．

点评： 本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半．

12．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4．BD为⊙O的直径，则BD= 8 ．

考点： 垂径定理；圆周角定理．

分析： 根据BD是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D=∠C=30°．则BD=2AB=8． 解答： 解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4， ∴∠C=30°， ∴∠BOA=60°． 又∵OA=OB，

∴△AOB是正三角形． ∴OB=AB=4， ∴BD=8．

点评： 本题运用了圆周角定理的推论，直径所对的圆心角是直角． 13．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为 30或90 °．

考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形． 专题： 压轴题．

分析： 根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得∠ADB=∠AD′B=90°，继而可求得∠DAB的度数，则可求得答案．

解答： 解：如图，∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=∠AD′B=90°， ∵AD=AD′=1，AB=2， ∴cos∠DAB=cosD′AB=， ∴∠DAB=∠D′AB=60°， ∵∠CAB=30°，

∴∠CAD=30°，∠CAD′=90°． ∴∠CAD的度数为：30°或90°． 故答案为：30或90．

点评： 此题考查了圆周角定理以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

14．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为 12 cm．

考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题．

分析： 设圆锥的母线长为Rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式进行计算即可． 解答： 解：设圆锥的母线长为Rcm， 根据题意得2π?6=

，

解得R=12． 故答案为：12．

点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

15．如图所示，在△ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，DE∥BC，交AC于点E，若△ADE与△ABC的面积的比为1：9，则△ADE与△DEF的面积的比为 1：2 ．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 过A作AG⊥BC，交DE、BC于点H、G，由平行可证得△ADE∽△ABC，且相似比为，则

=，可得

=，可得出△ADE与△DEF的面积的比．

解答： 解：

过A作AG⊥BC，交DE、BC于点H、G， ∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC， ∵

=，

∴∴

=， =，

∵S△ADE=DE?AH，S△DEF=DE?GH，

∴==，

故答案为：1：2．

点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键，注意同底三角形的面积比等于高的比．

16．如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 y=（x＞0） ．

考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理． 专题： 数形结合．

分析： 连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△ECD．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．

解答： 解：连接AE，DE，

∵∠AOD=120°， ∴

为240°，

∴∠AED=120°，

∵△BCE为等边三角形， ∴∠BEC=60°；

∴∠AEB+∠CED=60°；

又∵∠EAB+∠AEB=∠EBC=60°， ∴∠EAB=∠CED，

∵∠ABE=∠ECD=120°； ∴△ABE∽△ECD， ∴

=

，

即=， ∴y=（x＞0）． 故答案为：y=（x＞0）．

点评： 此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力．

三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17．解方程： （1）x﹣8x﹣10=0；

2

（2）9t﹣（t﹣1）=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题．

分析： （1）利用配方法得到（x﹣4）=26，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 解答： 解：（1）x﹣8x=10， 2

x﹣8x+16=26，

2

（x﹣4）=26， x﹣4=±， 所以x1=4+，x2=4﹣； （2）（3t+t﹣1）（3t﹣t+1）=0， 3t+t﹣1=0或3t﹣t+1=0， 所以t1=，x2=﹣．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．

18．已知关于x的方程mx+x+1=0，试按要求解答下列问题： （1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；

（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．

考点： 根的判别式；一元二次方程的解． 专题： 计算题．

分析： （1）将x=1代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；

（2）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． 解答： 解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0， 解得：m=﹣2；

（2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b﹣4ac=1﹣4m＞0，且m≠0， 解得：m＜且m≠0．

点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

19．社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，他们的成绩被绘制成了如下的统计图表： 甲、乙两人射箭成绩统计表

第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 a 6

2

2

2

2

22

乙成绩 7 5 7 b 5

请根据统计图表解答下列问题： （1）a= 4 、b= 6 ；

（2）请你在折线统计图中补全表示乙成绩变化情况的折线图；

（3）请你运用方差的知识，对甲、乙两人的成绩进行分析，说明谁将被选中参加集训．

考点： 折线统计图；方差．

分析： （1）根据折线统计图可直接得出a=4，再根据他们的总成绩（单位：环）相同，即可求出b=6；

（2）根据（1）得出a，b的值，可直接补全统计图；

（3）根据平均数的计算公式先分别求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 解答： 解：（1）根据折线统计图可得：a=4， ∵他们的总成绩（单位：环）相同， ∴b=（9+4+7+4+6）﹣（7+5+7+5）=6； 故答案为：4，6；

（2）根据（1）所得出的数据，补图如下：

（3）∵甲的平均数是（9+4+7+4+6）÷5=6， 乙的平均数是（7+5+7+6+5）÷5=6，

∴甲的方差是：[（9﹣6）+（4﹣6）+（7﹣6）+（4﹣6）+（6﹣6）]=3.6， 乙的方差是：[（7﹣6）+（5﹣6）+（7﹣6）+（6﹣6）+（5﹣6）]=0.8，

∵甲、乙两人平均数相同，乙的方差小于甲的方差，乙的水平比较稳定， ∴选乙参加集训．

点评： 本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图表示的是事物的变化情况．

20．某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元，如果一次购买超过10双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元．一位顾客购买这种运动鞋支付了3600元，这们顾客买了多少双鞋？

考点： 一元二次方程的应用． 专题： 销售问题． 分析： 首先求出x超过了10双鞋，进而表示出鞋的单价，即可得出关于x的等式求出即可． 解答： 解：设这们顾客买了x双鞋，根据题意可得： ∵240×10=2400（元），

∴这们顾客买的鞋数超过了10双， [240﹣6（x﹣10）]x=3600，

解得：x1=20，x2=30，

当x=30时，240﹣6×（30﹣10）=120＜150，故不合题意舍去． 答：这们顾客买了20双鞋．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出鞋的单价是解题关键．

21．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长．

2

2

2

2

2

22222

考点： 圆周角定理；勾股定理．

分析： 根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC的长度．根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可． 解答： 解：（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， 在Rt△ABC中，AB=10，AC=6， ∴BC=

∵AB是直径，

=

=8，即BC=8；

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠DCA=∠BCD， ∴

=

，

∴AD=BD，

∴在Rt△ABD中，AD=BD=

AB=

×10=5

，即BD=5

．

点评： 本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠ACB=∠ADB=90°． 22．如图所示，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过C点的切线交AB于点D．若AD=3BD，CD=2，求⊙O的半径．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： 连结OB，根据切线长定理和切线的性质得到DB=DC=2，∠ABO=∠ACD=90°，则AD=3BD=6，AB=AD+BD=8，在RtACD中根据勾股定理求得AC，然后通过三角形相似，对应边成比例即可求得．

解答： 解：连结OB，如图， ∵AB、CD是⊙O的切线，

∴DB=DC=2，OB⊥AB，CD⊥OA， ∴∠ABO=∠ACD=90°，AD=3BD=6， ∴AB=AD+BD=4BD=4×2=8， 在RtACD中，∵CD=2，AD=6， ∴AC=

=

=4

，

∵∠ABO=∠ACD=90°，∠OAB=∠DAC， ∴△OAB∽△DAC， ∴

=

，即

=

，

解得，OB=2，

即⊙O的半径为2．

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和三角形相似的判定和性质．

23．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从B点出发沿着BC向C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发沿CD向D移动． （1）几秒时，△PCQ的面积为3？

（2）几秒时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？

考点： 一元二次方程的应用；矩形的性质；相似三角形的性质． 专题： 几何动点问题．

分析： （1）设t秒后△PCQ的面积为3，首先表示出线段PC和线段CQ，然后利用其面积为3列出有关t的方程求解即可；

（2）有两种情况，△ABC∽△PCQ或者△ABC∽△QCP，根据线段的比例关系求解． 解答： 解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3，则PB=2t，则PC为8﹣2t，CQ=t， 根据题意得：（8﹣2t）t=3

解得：t=1或t=3

答：1秒或3秒后，△PCQ的面积为3； （2）要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ ∴只要

=

或者

=

∵AB=6，BC=8 ∴只要

=或者

=

设时间为

则PC=8﹣2t，CQ=t ∴t=∴当t=

或者t=或者t=

，

时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似；

点评： 本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的性质，特别是第二问中分两种情况讨论是解题的关键．

24．如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？

考点： 垂径定理的应用；勾股定理． 专题： 应用题． 分析： 设O为

所在圆的圆心，其半径为x米作半径OP⊥AB，垂足为M，在Rt△OAM中，

由勾股定理就可以得到关于半径的长的方程，求出半径，在根据勾股定理就可以求出拱顶离水面只有4m时的弦长，从而判断是否要采取紧急措施． 解答： 解：设O为

所在圆的圆心，其半径为x米作半径OP⊥AB，垂足为M，交A′B′于

N

∵AB=60米，MP=18米，OP⊥AB

∴AM=AB=30（米），OM=OP﹣MP=（x﹣18）米 在Rt△OAM中，由勾股定理得OA=AM+OM 222∴x=30+（x﹣18） ∴x=34（米） 连接OA′ 当PN=4时

∵PN=4，OP=x，

∴ON=34﹣4=30（米）

设A′N=y米，在Rt△OA′N中 ∵OA′=34，A′N=y，ON=30 ∴34=y+30

∴y=16或y=﹣16（舍去） ∴A′N=16

∴A′B′=16×2=32（米）＞30米 ∴不需要采取紧急措施．

2

2

2

2

2

2

点评： 本题主要考查了垂径定理，根据垂径定理就可以把问题转化为方程的问题．

25．如图所示，已知：AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，过点B作BD⊥CP于D，若CP是⊙O的切线．

（1）求证：△ACB∽△CDB；

（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积；

（3）若过点A作AE⊥CP交直线CP于点E，BD=5，AE=8，求⊙O的半径．

考点： 切线的性质；三角形中位线定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；

（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣

．

（3）求出四边形EDBG是矩形，得出GE=BD=5，再求出OF是△ABG的中位线，根据三角形中位线的性质求得OF，根据OC=OF+BD即可求得． 解答： 解：（1）如图1，连接OC， ∵直线CP是⊙O的切线， ∴∠BCD+∠OCB=90°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠BCD=∠ACO， 又∵∠BAC=∠ACO， ∴∠BCD=∠BAC， 又∵BD⊥CP ∴∠CDB=90°， ∴∠ACB=∠CDB=90° ∴△ACB∽△CDB；

（2）如图1，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°， ∴∠COB=2∠BCP=60°， ∴△OCB是正三角形， ∵⊙O的半径为1， ∴S△OCB=

，S扇形OCB=

= π，

．

故阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣

（3）作BG⊥AE于G，连接OC，交BG于F，如图2， ∵AE⊥CD，AE⊥BG， ∴BG∥ED，

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