高代试卷

《高等代数I》练习卷

一、判断题

1.若?是多项式f(x)的k(k?2)重根的充要条件是?是多项式f?(x)的k-1重根。 （ ） 2. 设p(x)不可约，若p(x)不是f(x),g(x)的公因式，则p(x)不是 f(x)g(x)的因式。 （ ） 3. 若?1,?2,?,?s 与?1,?2,?,?s,?等价，则?可由?1,?2,?,?s线性表出。

4.n阶方阵A可逆的充要条件是A为一系列初等矩阵的乘积 （ ） 5. 零次多项式只能整除零次多项式。 （ ） 6. 设n阶方阵A，B为对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。 （ ）

（n?2）7若n阶行列式Dn为零，则Dn两行或两列成比例.。 （ ）

8. 非齐次线性方程组有无穷解的必要条件是其导出方程组有非零解。（ ） 9.若AX=0只有零解，则AX=b有唯一解。 （ ） 10. 方程个数少于未知量个数的线性方程组必有无穷多解。（ ）

二、填空题

1111. 已知D?222，则A11?A12?A13?_______________。

3332. 设?1?(t,1,1,1)?,?2?(1,t,1,1)?,，则线性无关的充要条件是 。

?101???3. A??020?,f(x)?x2?x?2, 则f(A)=

?101??? 4.设

f(x)?x4?x2?ax?b,g(x)?x2?x?2,(f(x),g(x))?g(x)，

则a= ,, b=

5. 已知n阶方阵A的行列式A＝

11，则(A)?1?10A*? . 326．设4阶方阵A???,?2,?3,?4?,B???,?2,?3,?4?, 其中?,?,?2,?3,?4均为4维列向量，A?4,B?3，则行列式A?B? .. 。

7.设A为nxm阶矩阵，则齐次线性方程组AX?0的基础解系中所含向量的个

数是 。 8.将f(x)?x4?2x2?3表成x?2的方幂和 。 9.秩?A?B? 秩?A??秩?B?。

?110.已知A是一个3?4矩阵，且秩(A)?2，而B???0??10202??，则秩0??3??BA?? .

11.将A的第j列的k倍加到第i列相当于右乘初等矩阵________________

?112. 11?111x是关于x的一次多项式，该式中一次项的系数是________。

?11

三、选择题

1.位于n阶排列i1i2?ik?1nik?1?in中的数n与其余数形成的逆序数是（ ） A．n-1； B．k-1； C. k； D.n-k 2.设A，B均为P上n阶可逆矩阵，则（ ） A. ((AB)?)?1?(A?B?)?1, B(A?B)?1?B?1(A?1)?,

1C (A?B)?1?A?1?B?, D(kA)?1?kA?1(k?0)

3．设n维向量组?1,?2,?3,?4,?5的秩为3，且满足?1?2?3?3?5?0,

?2?2?4,则向量组的一个极大无关组为（ ）

A． ?1,?2,?5； B． ?1,?2,?4； C. ?2,?4,?5； D. ?1,?3,?5 4. A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（ ） A． 当m?n时，必有行列式AB?0； B． 当m?n时，必有行列式AB?0； C． 当n?m时，必有行列式AB?0； D． 当n?m时，必有行列式AB?0.

5．设A,B都是可逆矩阵，则矩阵??A0?的逆矩阵为（ ?CB? ?A． ??A?10??B?1B?1?； B． C?1??C?1???0A?1?； ?C． ??A?10??A?10???A?1CB?1B?1?； D．????B?1CA?1B?1??. 6.已知p(x)是数域P上的不可约多项式，f(x),g(x)?P[x],则下列命题中错误的是（ ） A．若p(x)|f(x),则(p(x),f(x))?1；

B．若(p(x),f(x))?1,则p(x)|f(x)；

C．若p(x)f(x)g(x),且p(x)|f(x),则(p(x),g(x))?1； D．若p(x)f(x)g(x),则(f(x),g(x))?1.

三、计算题

） 1．（10分）设多项式f(x)?x5?6x4?13x3?14x2?12x?8 (1) 问2是f(x)的几重根？

(2) 分别求f(x)在有理数域、实数域及复数域上的因式分解。

2. 求一个满足一下条件的三次多项式f(x): (1). x?3f(x);

(2),x+3除f(x)的余数是4；

(3) f(x)被x+2除得的余数等于f(x)被x-2除得的余数。 3.计算下列行列式.

1?x11111?x11(1) A?，（P100,18）

111?y11111?y?ab?ba（2）已知n阶方阵A??????bb??b??b??，(n?2) ????a???a1?1???1a?1?， (3)已知n(?2)阶矩阵A??????????11?a??分别（I）计算A的行列式； （II）求矩阵A的秩

4.求向量组?1?(1,0,1,0),?2?(?2,1,3,?7),?3?(3,?1,0,3),?4?(4,?3,1,?3) 的秩和一个极大线性无关组.

?2?1?2?3???0212?, 且X?AX?A2?E, 求X. 5已知矩阵A???0021???000?1??

6. 设A,B为n阶方阵，且满足AB?A?B，

(1)证明：A?E,B?E均可逆；

?121??342?A? (2)当时，求矩阵B。 ???122?????x1?x2?x3???3?7.?取何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2

?x?x??x??23?12有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解

五.证明题

11. 如果A=(B?E),证明：A2?A当且仅当B2?E

22设?1,?2,...,?m及?1,?2,...,?m是2m个向量, 且?i??1??2?...??i,1?i?m. 证明向量组?1,?2,...,?m线性无关的充要条件是?1,?2,...,?m线性无关. 3. 设?1,?2,...,?m为m维向量组，若任一m维向量都可由它线性表示， 求证：?1,?2,...,?m线性无关。

4. 设f(x)?cnx?cn?1xnn?1???cx?c0， 用cramer法则证明，若f(x)有n+1个不同

的根, 那么f(x)是零多项式。

5设A为n阶矩阵，证明：如果A?E，那么r(A?E)?r(A?E)?n

26.设A,B为n阶矩阵，A2?A,B2?B,证明：(A?B)2?A?B当且仅当

AB?BA?0..

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