2-6隐函数的导数、参数方程函数的导数、相关变化率

中南大学,高等数学,微积分,课件

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一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

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例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线方程为 y 3 2

3 2

( x 3 2

3 2

)

即 x y 3 0.

x

即 y x,

显然通过原点.

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例3 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 .

解

方程两边对3

x 求导得3

4 x y xy 4 y y 0代入 x 0 , y 1 得y x 0 y 1

(1 ) 1 4 ;

将方程 ( 1 ) 两边再对 x 求导得

12 x 2 y x y 12 y ( y ) 4 y y 02 2 2 3

代入 x 0 , y 1 , y

x 0 y 1

1 4

得

y

x 0 y 1

1 16

.

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二、对数求导法观察函数 y ( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x

,

y x

sin x

.

方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:多个函数相乘和幂指函 数 u( x )v(x)

的情形 .

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例4 设 y

( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x

, 求 y .

解 等式两边取对数得ln y ln( x 1 ) 1 3 ln( x 1 ) 2 ln( x 4 ) x

上式两边对y y 1 x 1

x 求导得1 3( x 1) 2 x 4 1

y

( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x

[

1 x 1

1 3( x 1)

2 x 4

1]

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例5 设 y x sin x ( x 0 ), 求 y .

解

等式两边取对数得上式两边对1 y

ln y sin x ln x

x 求导得1 x

y cos x ln x sin x

y y (cos x ln x sin x xsin x

1 x

)

(cos x ln x

sin x x

)

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一般地f ( x ) u( x )v( x)

( u( x ) 0)

ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )又 d dx ln f ( x ) 1 d f ( x)

f ( x ) dx

f ( x ) f ( x )

d dx

ln f ( x )

f ( x ) u( x )

v( x)

[v ( x ) ln u( x )

v ( x )u ( x ) u( x )

]

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三、由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t, 2 y t ,

2

例如 y t

t x2

x 2 y

消去参数 t1 2 x

( ) 2 42

x

问题: 消参困难或无法消参如何求导?

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x (t ) 在方程 中, y (t )

设函数 x ( t ) 具有单调连续的反函数 y [ 1

t

1

( x ),

( x )]

再设函数

x ( t ), y ( t ) 都可导 , 且 ( t ) 0 ,

由复合函数及反函数的求导法则得dy dx dy dt dt dx dy dt 1 dx dt

( t ) ( t )

dy 即 dt dx dx dt dy

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x (t ) 若函数 二阶可导 , y (t )

d y dx2

2

( t ) dt ( ) ( ) dt ( t ) dx dx dx

d

dy

d

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )2

1

( t ).

即

d y dx2

2

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )3

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x a ( t sin t ) 例6 求摆线 在 t 处的切线 2 y a ( 1 cos t )方程 .dy

解

dt a sin t sin t dx a a cos t 1 cos t dx dy dt

dy dxt 2

sin

2 2 1.

1 cos

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当 t

2

时 , x a(

2

1 ), y a .

所求切线方程为y a x a(即 y x a(2

2

1))

2

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例7 不计空气的阻力 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t sin gt , 2 求 ( 1 ) 炮弹在时刻 ( 2 ) 炮弹在时刻

, 以初速度 v 0 , 发射角

发射炮弹 , 其运动方程为

t 0的运动方向 t 0的速度大小y

; .vyv0

解 ( 1 ) 在 t 0时刻的运动方向即轨迹在 t 0时刻的切线方向 可由切线的斜率来反映 . ,o

v vx

x

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dy dx

( v 0 t sin

1

gt ) 2

2 ( v 0 t cos )

v 0 sin gt v 0 cos

dy dxt t0

v 0 sin gt 0 v 0 cos

.

( 2 ) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y 轴方向的分速度为vx vy dx dt dy dtt t0

( v 0 t cos ) ( v 0 t sin

t t0

v 0 cos 2 t t0

1 2

t t0

gt )

v 0 sin gt 0

在 t 0时刻炮弹的速度为v vx vy 2 2

v 0 2 v 0 gt 0 sin g t 02 2

2

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例8 求由方程dy

x a cos t 表示的函数的二阶导数 3 y a sin t3

.

解

dt dx dx 3 a cos dt2

dy

3 a sin2

2

t cos t

t ( sin t )

tan t

d y dx2

d

(

dy

)

( tan t ) ( a cos3

dx dx

t )

sec t2

3 a cos t sin t2

sec t 3 a sin t

4

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四、相关变化率设 x x ( t ) 及 y y ( t ) 都是可导函数 y 之间存在某种关系 dy dt 变化率称为相关变化率 . 之间也存在一定关系 , 而变量 x 与 dx dt , 这样两个相互依赖的 与 , 从而它们的变化率

相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?

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例9 一汽球从离开观察员观察员视线的仰角增加

500 米处离

地面铅直 500 米时 ,

上升 , 其速率为 140 米 / 秒 .当气球高度为 率是多少 ?

解

设气球上升

t 秒后 , 其高度为 h , 观察员视线

的仰角为 , 则

tan 上式两边对 dh

h 500

500 米

d dt 1 5002

t 求导得

sec 2

dh dt

500 米

d dt

dt

140 米 / 秒 , 当 h 500 米时 , sec 2

0 . 14 ( 弧度 / 分 )

仰角增加率

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例10 河水以 8 米 / 秒的体流量流入水库中3

, 水库

形状是长为

4000 米 , 顶角为 120 的水槽 , 问水深 ?

0

20 米时 , 水面每小时上升几米

解

设时刻 t 水深为 h ( t ), 水库内水量为V ( t ) 4000

V ( t ), 则3h2600

dV上式两边对 t 求导得3

8000

3h

dh dt

dt

dV dt

28800 米 / 小时 , 当 h 20 米时 ,

dh dt

0 . 104 米 / 小时

水面上升之速率

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五、小结隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r391.html