高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)

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用放缩法处理数列和不等问题（教师版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1．正数数列

{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列

{}n a 的通项公式； （2）设1

1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所

以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n

（2）)1

21121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以 2

1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412

2333n n n S a +=-?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1

32n i i T =<∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23

所以a 1=2 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23

, n=2,3，4,… 将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13

×(2n+1－2n ),n=2,3, … 整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13

×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23

×(2n+1－1)(2n －1) T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1

) 所以,

1n i i T =∑= 321(n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32

二．先放缩再求和

2

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列

{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n

n n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <． 解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． n n n n

n

n b 2

31)2(41)21(141?≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）

∴n n b b b B ++=2131)211(312

11)211(213123123123122<-=--?=?++?+?≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列

{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列

{}n a 的通项公式； （II ）若数列

{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232

n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈.

（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列

12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈

（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+

12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=

3

③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列 （III ）证明： 1121211,1,2,...,,1212

2(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)

n n a a a n a a a +∴+++< 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->- *122311...().232

n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和

例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n

n a n a )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即02

1>=-+n n n n a n a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=

-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2

122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-

≥>n n n n a a ．

3．放缩后成等差数列，再求和

例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.

4

(1) 求证：2214

n n n a a S ++<； (2)

<???+<

解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有

11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得

0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-= 所以， n n a n =-?+=)1(11，(1)2

n n n S += 所以4

2)1(212)1(21222++=++?<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以2

12)1(2+<+<n n n n

，所以 2)1(23222121+++?+?=++n n S S S n 2

12322++++<n 21

22312-=+=+n S n

n ；

222)

1(222

21

21n

n S n n n

S S S =+=+++>++ 练习：

1.（08南京一模22题）设函数213()44

f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.

(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列

{}n a 的通项公式；

1,1n n N a +=

∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 12

b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n

c n n n ??=<- ?+++??，∴1231111+23236

n n T c c c c n ??=+++???<-< ?+??… 2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n

（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；

5

（3）证明：对任意的整数4>m ，有8

711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；

⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n

n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+-

2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)

1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)

1(+-n n a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)

1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=

--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1)m m

m a a a -+++=+++-+-- ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322

121121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1

212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++ )11()11(11654m

m a a a a a +++++=- )2

12121(2321243-++++<m )2

11(4123214--?+=m 8321+<

87= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，

8

711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a

6

所以对任意整数4>m ，有m a a a 11154+++ 8

7<。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。

3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211

求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1

成立； （2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n 成立； （3）111121

12006

212006<+++<-a a a 分析：（1）用数学归纳法易证。

（2）由121+-=+n n n a a a 得：)1(11-=-+n n n a a a )1(111-=-∴--n n n a a a

… … )1(1112

-=-a a a 以上各式两边分别相乘得： )1(111211

-=--+a a a a a a n n n ，又21=a 11211+=∴-+a a a a a n n n

（3）要证不等式111121

12006212006<+++<-

a a a ， 可先设法求和：2006

21111a a a +++ ，再进行适当的放缩。 )1(11-=-+n n n a a a n n n a a a 11111

1--=-∴+111111---=∴+n n n a a a 200621111a a a +++∴ )1

111()1111()1111(200720063221---++---+---=a a a a a a 111120071---=

a a 20062111a a a -=1<又2006200612006212=>a a a a 20062006212

1111->-∴a a a ∴原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件裂项求和。

7

用放缩法处理数列和不等问题（学生版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列

{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列

{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n

a a

b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B

真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412

2333n n n S a +=-?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1

32n i i T =<∑.

二．先放缩再求和

8

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列

{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n

n n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．

真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列

{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列

{}n a 的通项公式； （II ）若数列

{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232

n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈.

2．放缩后为“差比”数列，再求和

例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：1

1213-++-≥>n n n n a a

9

3．放缩后成等差数列，再求和

例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.

(1) 求证：2214

n n n a a S ++<； (2)

<???+<

练习：

1.（08南京一模22题）设函数213()44

f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.

(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列{}n a的通项公式；

1

,

1

n

n N

a+

=∈

+

，且数列{}n c的前n项和为n T，试比较n T和

1

6

的大小并证明之.

2.（04全国）已知数列}

{

n

a的前n项和

n

S满足：n

n

n

a

S)1

(

2-

+

=，1

≥

n

（1）写出数列}

{

n

a的前三项

1

a，

2

a，

3

a；（2）求数列}

{

n

a的通项公式；

（3）证明：对任意的整数4

>

m，有

8

7

1

1

1

5

4

<

+

+

+

m

a

a

a

3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*

+

∈

+

-

=

=N

n

a

a

a

a

n

n

n

,1

,22

1

1

求证：（1）对于*

∈N

n恒有

n

n

a

a>

+1

成立；（2）当*

∈

>N

n

n且

2，有1

1

2

1

1

+

=

-

+

a

a

a

a

a

n

n

n

成立；

（3）1

1

1

1

2

1

1

2006

2

1

2006

<

+

+

+

<

-

a

a

a

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r381.html