塑性力学课程复习2008春夏学期

塑性力学课程复习

1. 名词解释：

塑性变形、韧性与脆性、应变强化、等向强化、包兴格效应、随动强化、?平面、屈服面、Mises屈服条件、Tresca屈服条件、双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件、加载面、Drucker公设、正交流动法则、加载准则、全量理论、增量理论、简单加载、简单加载定理、滑移线场、Hencky方程、Hencky第一定理与第二定理*、静力场与机动场*、弹塑性增量理论的最小势能原理与最小余能原理*、上限定理与下限定理*。 2. 简单问题：

1）弹塑性材料在简单拉压时的应力应变响应曲线；2)轴向拉伸时的塑性失稳；3)理想弹塑性材料简单桁架的弹性极限（曲线）、塑性极限（曲线）、卸载后的残余应力与残余变形、加载路径的影响；4)体积变形为弹性（塑性不可压缩）的概念；5)等效应力、等效剪应力、等效应变、等效剪应变定义公式；6)主应力空间中应力状态在π平面上的投影；7)初始各向同性材料在π平面上屈服曲线的对称性质；8)薄壁圆管试件在拉－扭载荷或内压－轴向拉伸载荷下的屈服条件；9)Tresca屈服条件与Mises屈服条件；10) Drucker公设、加载面的外凸性、塑性流动的正交性及加载准则；11)与Mises屈服条件相关连的正交流动定律与塑性本构关系；12)简单加载的概念；13)全量理论与增量理论的关系与不同点；14)理想刚塑性体平面应变问题的屈服条件*；15)滑移线的基本性质（Hencky方程与Hencky定理）*；16)虚功率原理*；17）上、下限定理的概念*。 3. 叙述双剪应力屈服条件（最大偏应力屈服条件）。

4. 若材料的真应力自然应变曲线为? = C?n，试求光滑拉伸试件的拉伸失稳应变。

5. 若Ｅ?=Ｅ/100，给定应力路径是：０→1.5?S→0 →- ?S→0。ａ）试按线性弹塑性随动强

化模型画出相应的应力应变曲线；ｂ）试按线性弹塑性等向强化模型画出相应的应力应变曲线。

6. 若Ｅ′＝Ｅ/100，给定应变路径是：０→41?S→0 →-41?S→0。ａ）试按线性弹塑性随

动强化模型画出相应的应力应变曲线；ｂ）试按线性弹塑性等向强化模型画出相应的应力应变曲线。

7. 受竖直载荷的对称桁架由理想弹塑性材料的三根等截面杆件构成（见附图）。ａ）试讨

论求其弹性极限载荷和塑性极限载荷的主要步骤；ｂ）若施加的最大载荷大于弹性极限载荷而小于塑性极限载荷，试讨论当卸去载荷时各杆的残余应力和残余变形。 8. 已知单轴拉伸应力应变曲线为

??f(?)，讨论将该曲线用塑性应

变描述的??f1(?)曲线和用塑性功描述的??f2(??d?)曲线的方

pp?? ? 法。

P 9. ａ）各向同性材料在主应力空间的屈

服曲面具有哪些主要性质；ｂ）若分

别用单轴拉伸实验和纯剪实验来测定?S和?S，试在π平面上分别考虑怎样针对不同实验的结果绘出Mises圆和Tresca正六边形的示意图，并在图中标明Mises圆的半径大小。

10. 一圆形薄壁圆筒，平均半径为Ｒ，厚度为ｔ，两端受拉力Ｐ及扭矩Mt的作用，试求

Mises屈服条件的表达式（设材料单轴拉伸屈服应力为?S）。并讨论如何给出Tresca屈服条件。

11. 材料的泊松比v?0.5，服从Mises屈服条件，且知其屈服应力?s。设其单元体在受力

状态下?xx??、?yy?0、?zz?0。求该单元体达到屈服时???。

12. *简单讨论应力空间中加载面和应变空间中加载面的异同及其适用范围。

13. 若材料由单轴拉伸实验得到的单轴应力应变曲线为? =Φ(?)，设弹性时的泊松比?＝?0

≠0.5。试求在单轴拉伸过程中?＝?（?）的规律；如果Φ(?)=E?[1-ω(?)]，请写出?＝?(?)的表达式。 14. Mises等向强化材料加载面由???????d???0 描述（式中?是Mises等效应力，?pp15. 16. 17. 18. 19.

20. 21.

是等效塑性应变）。ａ）请根据一致性条件和正交流动法则推导其塑性增量本构方程；ｂ）按屈服条件和加载准则列出加载、卸载和中性变载情形下的材料本构关系（设材料在弹性状态下时服从虎克定律）。 长封闭薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受内压ｐ的作用而产生塑性变形，忽略弹性应变，设材料为各向同性理想塑性，求周向、轴向和径向应变的比例。 对矩形截面梁，设其由理想弹塑性材料做成，当其受弯矩作用而作纯弯曲变形时，试求：ａ）弹性极限弯矩Me和塑性极限弯矩Ms；ｂ）塑性区域随施加弯矩增加的变化规律。 理想弹塑性材料等截面圆杆，求其弹性极限扭矩和塑性极限扭矩。

*理想弹塑性材料横截面边长为ａ的正方形的直杆，求其塑性极限扭矩。

*在平面应变情形下，若材料是理想刚塑性材料，试叙述用滑移线场理论求下列塑性极限载荷问题的解题思路：ａ）楔形体的单边受压；ｂ）*半平面上的刚性压模；ｃ）*带有切口板条的拉伸。 *试给出平面应变条件下，半径为a的圆孔内受压力q作用，圆孔周围滑移线的表达式。 *分别证明塑性极限载荷的上、下限定理。

22. 已知两端封闭的薄圆管，由内压p引起塑性变形，轴向塑性应变为?zp，周向塑性应变

为??p，径向塑性应变为?rp，试求?zp：??p：?rp，并求出??p和压力p之间的关系。设材料的屈服函数可用Mises等效应力来描述，且材料进入塑性状态后，其应力应变关系为

1?p?????=?F??s??n???，F为常数。

?s223. 已知薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受拉应力??的作用，若使用Mises屈服条件，

试求施加多大的扭矩可使试件屈服。若继续加载，求出此时塑性应变增量分量之间的比

值。

24. 试证明简单加载情形下，Prandtl—Reuss方程

Hencky方程

eij?sij2G?sij?deij?dsij2G?sijd?,d?kk?1?2?Ed?kk与

, ?kk?1?2?E?kk 等价。

25. *试叙述在应力空间和应变空间中加载曲面的外法线向量之间的关系。 26. *定义三轴应力状态参数为T??kk3?e。在非零应力状态下：（1）对于平面应力情形,设?1 >

?2 > ?3=0, ?2=k?1, 求三轴应力状态参数T，并问T最大可为多少？（2）对于平面应变情形，设弹性变形相对于塑性变形可忽略不计，且?1 > ?2 > ?3, ?3=k?1，k的取值范围是[0,1]，求三轴应力状态参数T的取值范围。 27. *根据Hencky应力方程，即

沿?线：沿?线：

dydxdy?tg?，??2k????const

dx??ctg?，??2k????const

证明Hencky第一定理，即在同族的两滑移线与另一族滑移线的交点上，其切线间的夹角不随另一族滑移线的改变而改变。

28. *在图示平面应变均匀受拉应力状态下，试画出滑移线场的形式。

?yy ?xx

29. 对线性随动强化材料，其加载条件可由下式给出：

32(sij?c?ij)(sij?c?ij)??s

pp2 若已通过试验得到简单拉伸应力应变曲线，且该曲线可用线性强化模型描述。（1）问如

何确定上式中的常数c？（2）试针对薄壁圆管承受拉扭载荷的情形用?zz、??z、?zz、??z来表示该加载条件。

pp30. *如果材料在加载过程中同时存在各向同性强化和随动强化，试讨论可近似描述这种现

象的增量型弹塑性本构方程的形式。

31. 矩形截面纯弯曲梁弹性状态下所受弯矩与梁最大正应力的关系可由公式

M??ImaxymaxE描述（I?bh123），设梁由理想弹塑性材料做成，试证明

MMPE?32（式

中MP和M分别为塑性极限弯矩和弹性极限弯矩）。

32. *若正交各向异性弹塑性材料的屈服函数可由下式表示

??F(?yy??zz)?G(?2zz??xx)?H(?2xx??yy)?2L?22yz?2J?zx?2K?xy?1?022设X、Y和Z分别是材料主轴方向单轴拉伸的屈服应力，Yxy、Yyz和Yzx分别是材料主轴平面剪切屈服应力，问各向异性系数F、G、H、I、J和K如何求得？

33. *试推导各向同性材料的增量型热弹塑性本构方程。

34. *请对Ｉ型裂纹HRR解的分析方法的合理性及局限性作一简单讨论。

35. *试讨论金属材料在循环加载下疲劳破坏分析中的塑性力学问题及现在常用的分析方

法。

36. *试讨论可用于含空穴材料变形和损伤分析的塑性力学方法，并讨论现有方法在断裂分

析中的优点和存在的问题。

37. *讨论塑性材料光滑拉伸试件颈缩过程的近似分析方法，并对该过程中颈部应力状态的

变化作一简单分析。

38. *试推导Gurson塑性本构方程。

学生要求讲解第9、11、12、14、15、16、23、24、25

第九题：已知单轴拉伸应力应变曲线为??f(?)，讨论将该曲线用塑性应变描述的??f1(?)曲线和用塑性功描述的??f2(??d?)曲线的方法。

pp方法：

? 一般地??f1(?)?? 进一步Wpppp??p0hd?p， h?ppEE'E?E'p

?Wp?1?W(?)??f1(?)d?，由?(?)??(W)

pp? 进而??f1(?(Wp))?f2(Wp)

第十一题：一圆形薄壁圆筒，平均半径为Ｒ，厚度为ｔ，两端受拉力Ｐ及扭矩Mt的作用，试求Mises屈服条件的表达式（设材料单轴拉伸屈服应力为?S）。 方法与思路：

? 根据条件可直接求出应力（或用拉力Ｐ及扭矩Mt表达各应力分量）。 ? 将应力分量代入Mises屈服条件公式（3J2??s或?e??s）便得出解答。

第十二题：材料的泊松比v?0.5，服从Mises屈服条件，且知其屈服应力?s。设其单元体在受力状态下?方法与思路：

? 根据题目条件?zz?0、?变状态）。 ? 根据胡克定律?zz?1Exxxx2??、?yy?0、?zz?0。求该单元体达到屈服时???。

??、?yy?0知?zz?0而其它应力分量为零（是平面应

??zz??(?xx??yy)?0可解出?zz???

?? 然后将已知应力分量代入屈服条件给出解答。

第十四题：若材料由单轴拉伸实验得到的单轴应力应变曲线为? =Φ(?)，设弹性时的泊松比?＝?0≠0.5。试求在单轴拉伸过程中?＝?（?）的规律；如果Φ(?)=E?[1-ω(?)]，请写出?＝?(?)的表达式。 方法与思路：

? 按体积变形弹性的基本假设有?kk?1?2?Ee?kk

? 而?22??33????11，?22??33?0

? 于是利用体积变形弹性的公式可解出?＝?（?）的规律

第十五题：Mises等向强化材料加载面由???????d???0 描述（式中?是Mises等效应

p

力，?p是等效塑性应变）。ａ）请根据一致性条件和正交流动法则推导其塑性增量本构方程；ｂ）按屈服条件和加载准则列出加载、卸载和中性变载情形下的材料本构关系（设材料在弹性状态下时服从虎克定律）。 方法与思路：

? 利用正交流动法则可以给出塑性增量应变或塑性应变率分量与屈服面法向量的关系，进而给出带待定标量参数的塑性增量应变或塑性应变率分量的表达式。

? 结合一致性条件通过简单推导可以消去塑性增量应变，给出加载状态下增量应力分量和增量应变的数学关系。

? 计算时应考虑材料的加、卸载状态分别给出增量应力分量和增量应变的关系：（1）根据屈服条件可以判定材料是否处于弹性状态；（2）如满足屈服条件需要判别材料在当前状态是否满足加载准则，若加载按塑性计算，卸载按弹性计算，中性变载可按弹性计算（可以分别给出相应的应力应变关系）。

第十六题：长封闭薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受内压ｐ的作用而产生塑性变形，忽略弹性应变，设材料为各向同性理想塑性，求周向、轴向和径向应变的比例。 方法与思路：

? 此题是利用正交流动法则求塑性应变增量比例的问题。

? 首先按题设条件求出轴向应力和周向应力（径向应力近似为零）。

? 然后求出应力偏量（利用Mises屈服面的法向向量与应力偏量分量的关系）。

? 由正交流动法则求出塑性应变增量比例（塑性应变增量与相应应力偏量分量成正比）。

第二十三题：已知两端封闭的薄圆管，由内压p引起塑性变形，轴向塑性应变为?zp，周向塑性应变为??p，径向塑性应变为?rp，试求?zp：??p：?rp，并求出??p和压力p之间的关系。设材料的屈服函数可用Mises等效应力来描述，且材料进入塑性状态后，其应力应变关系为

1?p=????????Fs??n???，F为常数。

方法与思路：

? 此题是静定问题，应力分量间成比例（简单加载），适合用全量理论进行分析。 ? 先求出应力分量，然后求出相应的应力偏量。

? 利用塑性应变分量分别与相应应力偏量成正比的关系可求出塑性应变分量之间之比例。

1? 利用关系式?pp?????=?F??s??n???可求出比例因子?（全量理论，用到单一曲线假设）

? 然后可由????s?(p)求得??p和压力p之间的关系。

第二十四题：已知薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受拉应力???s2的作用，若使用Mises

屈服条件，试求施加多大的扭矩可使试件屈服。若继续加载，求出此时塑性应变增量分量之

间的比值。 方法与思路：

? 此题亦是是静定问题，可求出用载荷表示的应力分量。 ? 用得到的应力分量代入屈服条件求得相应的扭矩。

? 再用屈服时的应力分量给出偏量，然后利用正交流动法则给出塑性应变增量分量之间的比值关系。

第二十五题：试证明简单加载情形下，Prandtl—Reuss

deij?dsij2G?sijd?,d?kk?1?2?Ed?kk方程

与Hencky方程

eij?sij2G?sij?, ?kk?1?2?E ?kk 等价。

方法与思路：

? 见教科书138－141页的叙述与推导。

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