南昌市高中新课程训练题(直线、平面、简单几何体2)

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南昌市高中新课程训练题（直线、平面、简单几何体2）

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）

1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 （ D ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

解：由于P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点 ∴平面PQR延展平面与正方体各个表面均有交线 即 有六条交线 ，所以所得截面为六边形。

2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正四面体的全面积为则正方体的棱长为（ A ） A．

B．2 C．4 D．

，

解：设正方体的棱长为a，则正四面体

A CB1D1的棱长为2a

又正四面体个面均为正三角形

1SA-CB1D1 4 2a 2a 43

22∴

故 a

2

3．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ A ）

A． B． C． D． 解：∵正八面体的中截面为正方形，且正方

正八面体的表面积为2，那么 形的中心即为球的球心，球的半径为正

方形对角线的一半

a8 a 23∴设正八面体的棱长为a，由题意有：

22，所以有a 1，即球

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R

的半径

22

42V R3

33故该球的体积为

4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是

线E1D与BC1所成的角是（ ）

A．90 B． 60 C． 45 D．30 解：∵E1D∥A1B

∴E1D与BC1所成的角为∠A1BC1

1C1= 由题意可知：E1D=A1B=BC1=A

o

o

o

o

，则这个棱柱的侧面对角

∴∠A1BC1=60

o

5．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，

则四棱锥B-APQC的体积为 （ C ）

（A） （B） （C） （D）

1到平面AA1C1C的距离 解：设h为BB又PA C1Q 1 AC h ∵三棱柱的体积V AA

1 CC1 ∴PA CQ AA

1PA CQV AC h

32∴四棱锥的体积

'

故

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1

V' V

3

6．设四个点P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，那么这个球的表面积是（ D ） A．

B．

C．25

D．50

解：∵ PA、PB、PC两两垂直

所以PA、PB、PC是长方体的三条棱长 又P、A、B、C在同一球面上 ∴球的半径为R=

PA2 PB2 PC2 32 42 52 50

则球的表面积

S 4 R

2 50

7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120，平面ABC外一点P满足PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的体积是（ D ）

o

A．

'

B． C． D．

解：设P点为P点在平面ABC上的射影 则P点AB、BC边的中垂线上 设BP=R

''

11

则cos∠ABP'=R，cos∠CBP'=2R

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R 1

R, sin∠CBP'=R sin∠ABP'= o

∵∠ABC＝120 ∴cos∠ABC=cos(∠ABP'+∠CBP')

=cos∠ABP' cos∠CBP' － sin∠ABP' sin∠CBP'

2

R2

14

1 2

＝2R

R2 1 R2

R2

14

1o120 ＝cos ＝-2

R

解得

故

21

PP'

3 3 ，则

1 15 VP

ABC 2 1 sin120o

3 26 3

32

8．已知正方体外接球的体积是3，那么正方体的棱长等于（ D ）

（A） （B） （C） （D）解：∵正方体各个顶点在球面上 ∴正方体的体对角线为求得半径

3a

a设正方体的棱长为, 则球的半径为2

又 外接球的体积为

3

224

a 33 2 ∴

4a

3 故

9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）

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A． B． C． D．解：∵正四棱柱的高为4，体积为16 ∴正四棱柱的底面积为4，所以底面边长为2 又该四棱柱的各个顶点都在球面上 ∴四棱柱的体对角线为球的直径 即 d

42 22 22 2

2

d

S

4 R2 4 d2 24

2 故 球的表面积为

10．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为

则从球中切截出的四面体OABC的体积是（ A ）

，

A． B． C． D．

解：∵球的表面积为4 ∴球的半径为1 ，AB=AC=BC=1

∠AOB=∠AOC=∠BOC=3

即 OABC为正三棱锥，且棱长为1

13S 1

224 棱锥底面积为

2 h 32 3 高为

故所求四面体的体积

2

1362

V

34312

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11．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C的距离是（ B ）

A． B． C． D．

解：连接A1D、BD、A1D、D1C、AC1 ∵A1B∥D1C，A1D∥B1C，BD∥B1D1

1BD∥∴平面A平面B1D1C，且两平面间的

1AC1

距离为3

则

一

面

直

线

间

的

距

离

d

113

AC1 3a2 a333

12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ D ） （A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对

解：底面三角形每条边所对应的异面直线有5条，则两底面的三角形共有30对异面直线。侧棱所对应的异面直线有3条，考虑与底面边的异面直线有重复，所以侧棱所对应的异面直线有2条，总共有三条侧棱，即有6对异面直线。所以总共有30+6=36对异面直线。 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，则三棱锥B－

4

PCD的体积为3。

解：∵PA⊥底面ABCD ∴四棱锥的高为PA=2 由题意及图知：

1

VB PCD VP BCD S BCD PA

3

又底面为正方形，AB=2

∴

S BCD

11

SABCD 2 2 222

4

3

故

VB PCD

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14． 已知平面

和直线，给出条件：①

；②；

.（填所选条件的序号）

；③

；④

；⑤

（i）当满足条件 ③⑤ 时，有（ii）当满足条件 ②⑤ 时，有

解：（i）若m∥β，且m α,则有α∥β; （ii）若m⊥β,且α∥β,则可以推出m⊥α. 15．一个正方体的全面积

为

，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积

23 a24为

解：设正方体的棱长为m，由题意有： ∵正方体的全面积为

∴6m a 即

22

m

6

a6 2a4

R 3m2

则球的半径

423

V R3 a

324∴球的体积为

16如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到

2

截面ABCD的距离是 3

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解：过D做DD'⊥AM于D'，过C作CC'⊥BM于C'，连接顶部平面的对角线PQ（如图），过D'作D'E∥BC'于E，过E作EF⊥AB于F，连接FD'、C'D'，则：

1

VM ABCD VA FDD' VBC'D'F CMED VM C'CDD'

2 四棱锥M-ABCD的体积为 1111 168164

h

SABCD

3

1 2129 SABCD 2 2 24168

∵

h

∴

2

3

三．解答题

17、如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点， ⑴求证：DF∥平面ABC； ⑵求证：AF⊥BD。

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A1

1

F

A

E

B

C1D

C

证明：(1)取AB的中点，连接EF、CE .

//1//1

EF AA1 CC1 CD

22

//

四边形EFDC为平行四边形 DF CE

又CE 面ABC,DF 面ABC DF//平面ABC

(2)由 ABC是等边三角形，E为AB的中点 CE AE

又 AA1 CE1,AA1 AE=A

//

CE 面A1AB，又 DE//CE

DF 平面A1AB，又AF 面AAB DF AF

由条件及AB=AA1

四边形ABB1A1是正方形

AF A1B，又AB1 DF=F AF 面A1BD

，

BD 面A1BD

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AF BD

18、如图，在直三棱柱

中，、分别为

、的中点。 （I）证明：ED为异面直线与

的公

垂线； （II）

设

求二面

角

的大小

C1

B1

D

C

B

A

证明：（I）取AC的中点，连接EF、BF AB=B C BF AC

又AA1 面ABC,BF 面ABC AA1 BF，又AC AA1=A BF 面ACC1,又AC1 面ACC1

BF AC1

EF=//

又由条件知：

1

2

CC//1=BD 四边形BDEF为平行四边形

DE//BF

DE AC1

即DE为AC1的垂线

又 BB1 面ABC,BF 面ABC

BB1 BF,又BF//DE DE BB1

即DE也是BB1的垂线

故DE为异面直线BB1与AC1的公

垂线 （

II）

过C1作C1M AD于M,连接B1M

由条件知：B1C1 AB,1B C1

B

1B 又AB B1B= B

B1C1 面AA1D

二面角A1-AD-1为C

1

CM

1B 记AB=1则由代数关系知：,

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AD=1=2

22

又C1M AD=DE AC1

解：（1）由B1C1//BC,知：

所求异面直线

与所成

角为BC与AC所成角 BCA 又 ABC=90 ,AB=BC=1

C1M=

3

BCA=4

5

C1BCSin C1MB1=11C1M即异面直线

与所成角的

大小为45

（2）由条件有：AA1 面ABC

即二面角A1-AD-C1的大小为60

19.在直三棱

柱

，

（1

）求异面直线

小；

与

．

所成角的大

即 A1CA=45

（2

）若直线

，求三棱锥

与平面

所成角为的体积．

又AA1=AC tan A1

中

，

A1CA为直

线所成角

与平

面

A1

B1

C1

VA1 ABC

11 AAAB B

132故若直线

为

，三棱锥

与平面

所成角

A

B

C

20．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1

中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F， ⑴求证：A1C⊥平面BDE；

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⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。

A1C⊥平面BDE；

⑵证明：⑴连接AC，由正方形ABCD

C1

A1

E

C

B

知：

AC BD,又AA1 面ABCD

AC为A1C在面ABCD内的射影

A1C BD

又A1B1 面BCC1B1,BE 面BCC1B1

A1B1 BE

又BE B1C,B1C A1B1=B1

BE 面A1B1C

BE A1C,又 BE BD=B

连接OE交A1C于M,再连接BM

由A1C⊥平面BDE A1BM为A1B与平面BDE所成角

在Rt A1BC中，

A1BM+ MBC=90 = MBC+ A1CB

A1BM= A1CB

又由代数关系知：

A11

Sin AA1B1CB=Sin A1CB=

A

1C6

即A1B与平面BDE所成角的21．如图，三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均

为2，侧棱B1B与底面ABC成60?的角， 且侧面ABB1A1⊥底面ABC，

⑴求证：AB⊥CB1； ⑵求三棱锥B1－ABC的体积；

⑶求二面角C－AB1－B的大小。

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A1

B1

E

B

C

证

明

：

⑴

过B1作B1E AB于E,连接CE

则由侧面ABB1A1 底面ABC,

知： B1E 面ABC

即CE为B1C在面ABC内的射影

B1B与底面ABC所成角 B1BE=60

BE=B1B Cos60 1

12

AB 又 AC=BC, CE AB AB⊥CB1

⑵

由⑴知:BE=3

，

S ABC2

2

V11

B1-ABC=3BE S ABC=3

C 1

故三棱锥B1－ABC的体积为1.

⑶

过E作EF AB1于F,连接CF

BE=1=A三线合一E(

CF A1B 由⑴知：CE AB

又CE B1E,B1E AB=E

CE 面AB1B

CFE为所求二面角

又EF=12

tan CFE=

CE

EF

=2 所求二面角C－AB1－B的大小为arctan2.

22．.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.

(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.

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D

Sin BDO=

10

即直线BD与EF所成的角

A

B

解

(Ⅰ) AD 面ABC,BO 面ABC AD BO

又BC为圆O的直径，AB=AC AO BO,AB AC

AO AB=A

：

BO 面AOED

即 BAO为B-AD-F的二面角

由代数关系有： BAO=45

故二面角B—AD—F的大小为45.

(Ⅱ)连接OD

由AD//OE,AD与两圆所在的平面均垂直

AD=OE,且AD AO

即四边形AOED为长方形 DE=AO 又AO=

//

//

1

AF=OF 2

DE=OF

//

即四边形ODEF为平行四边形

OD=EF

故直线BD与EF所成的角可转化为BD与OD所成角 BDO

//

由代数关系：

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