2017高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练

一．解答题（共30小题） 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知

2

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA． （I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

2

解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA，得

2

2cosA+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0． 解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分） 因为0＜A＜π，所以A=（II）由S=bcsinA=bc?

．﹣﹣﹣﹣（6分） =

bc=5

，得bc=20．

又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

222

由余弦定理，得a=b+c﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=

2

．﹣﹣﹣（10分）

?sinA=

2

×=．﹣﹣﹣﹣（12分）

2

3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cosx﹣（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

sinxcosx﹣sinx．

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

解：（Ⅰ）函数f（x）=cosx﹣=

﹣

sin2x+cos2x=+

2

sinxcosx﹣sinx=cosx﹣cos（2x+

），

22

sinxcosx+（cosx﹣sinx ）

22

故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为 {x|x=kπ﹣，k∈Z}． cos（2C+

）

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+=﹣， ∴cos（2C+

）=﹣

，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+

=

，∴C=．

∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

+

=

．

4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c=a+b﹣ab．

（1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积

，求a的值．

222

解：（1）∵c=a+b﹣ab，∴cosC=∵0°＜C＜180°，∴C=60°； （2）∵b=2，△ABC的面积∴

=

，

，

222

=，

解得a=3．

5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

．

解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，所以

因为∠D∈（0，π）， 所以

因为 AD=1，CD=3， 所以△ACD的面积

（Ⅱ）在△ACD中，AC=AD+DC﹣2AD?DC?cosD=12．

所以 ．…（9分） 因为 所以

，

，…（11分）

．

2

2

2

，

．…（3分）

．…（5分）

．…（7分）

所以 AB=4．…（13分）

6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB==

，ac=2

，求sinA和c的值．

，sin（A+B）

解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=sin（A+B）=所以sinA+得27sinA﹣6解得sinA=

2

，

，ac=2cosA=

，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=

2

2

，

，结合平方关系sinA+cosA=1，

sinA﹣16=0， 或者sinA=﹣

（舍去）；

由①可知sin（A+B）=sinC=

，sinA=

，

②由正弦定理，

所以a=2c，又ac=2，所以c=1． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA， ∵由正弦定理：∴

=

，又tanA=

，

，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．

（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA， ∴sinB=，∵0＜B＜π，∴sinB=又∵cosA=sinB=综上，A=C=

，∴A=

．

2

，∵B为钝角，∴B=

，

，

，∴C=π﹣A﹣B=

，B=

10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=

；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得∴sinB=cosA，即sinB=sin（

+A）

==

，

又B为钝角，∴∴B=

+A∈（

；

，π），

+A，∴B﹣A=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+∴A∈（0，

），∴sinA+sinC=sinA+sin（

2

+A）=﹣2A）

﹣2A＞0，

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sinA =﹣2（sinA﹣）+， ∵A∈（0，

），∴0＜sinA＜

，

2

2

∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）+≤

，]

2

∴sinA+sinC的取值范围为（

11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x+px﹣p+1=0

（p∈R）两个实根． （Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

222

解：（Ⅰ）由已知，方程x+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）﹣4（﹣p+1）=3p+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．

由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p． 所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0， 从而tan（A+B）=所以tanC=﹣tan（A+B）=

=﹣

=﹣

．

，所以C=60°．

=

=

，

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB=解得B=45°，或B=135°（舍去）． 于是，A=180°﹣B﹣C=75°．

则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B． （Ⅱ）若sinAsinC=

，求C．

解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）﹣b=ac， ∴a+c﹣b=﹣ac，∴cosB=又B为三角形的内角，则B=120°； （II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=

，cos（A+C）=，

2

2

2

22

=﹣，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×

=

，

∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°， 则C=15°或C=45°．

13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=﹣a=c．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值． 解：（1）∵A=

2

2

2

2

2

，b

2

，∴由余弦定理可得：

bc﹣c=c．∴，即a=

．

2

2

，∴b﹣a=

b=c．可得

，

22

bc﹣c，

2

又b﹣a=c．∴∴a=b﹣

2

2

=

∴cosC===．∵C∈（0，π），

∴sinC=（2）∵解得c=2

．∴

=．∴tanC===3．

=2．

×

=3，

15．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．

解：（1）由余弦定理可得：BC=AB+AC﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7， 所以BC=

．（2）由正弦定理可得：

，则sinC=

=

=

，

2

2

2

∵AB＜BC，∴C为锐角， 则cosC=

=

=

． =

．

因此sin2C=2sinCcosC=2×

16．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3

，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值； （Ⅱ）求cos（2A+

）的值．

，△ABC的面积为3

，可

解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=得：

，

2

2

2

可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a=b+c﹣2bccosA，可得a=8，

，解得sinC=

（Ⅱ）cos（2A+sin2Asin

=

；

﹣

=

．

asinC

）=cos2Acos

17．（2015?怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=﹣ccosA． （1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c． 解：（1）由正弦定理

=

=

化简已知的等式得：sinC=

sinAsinC﹣sinCcosA，

∵C为三角形的内角，∴sinC≠0， ∴sinA﹣cosA=1， 整理得：2sin（A﹣∴A﹣

=

或A﹣

）=1，即sin（A﹣=

，解得：A=

）=，

或A=π（舍去），则A=

，

；

（2）∵a=2，sinA=∴bcsinA=

bc=

2

2

，cosA=，△ABC的面积为，即bc=4①；

2

2

2

∴由余弦定理a=b+c﹣2bccosA得：4=b+c﹣bc=（b+c）﹣3bc=（b+c）﹣12，

整理得：b+c=4②，

联立①②解得：b=c=2． 19．（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=（1）当

处取得最大值．

22

时，求函数f（x）的值域；

，求△ABC的面积．

（2）若a=7且sinB+sinC=

解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA

=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA =sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）

又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在∴

，其中k∈z，即

∵

处取得最大值． ，其中k∈z， ，∴2x﹣A

sinA，

（1）∵A∈（0，π），∴A=∴

（2）由正弦定理得到即

2

，即函数f（x）的值域为：

，则sinB+sinC=

，∴b+c=13

2

2

2

由余弦定理得到a=b+c﹣2bccosA=（b+c）﹣2bc﹣2bccosA 即49=169﹣3bc，∴bc=40 故△ABC的面积为：S=

20．（2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cosx+2（Ⅰ）当x∈[0，

2

．

sinxcosx（x∈R）．

]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值． 解：（I）∵令解得∵（Ⅱ）由

而C∈（0，π），∴

，即

，∴f（x）的递增区间为

，得

，∴

．

． ，可得，

．

=

，

， =

．

∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴由正弦定理得：= ①．

由余弦定理得：c=a+b﹣2ab?cosC，即9=a+b﹣ab ②， 由①、②解得

．

2

2

2

2

2

21．（2015?济南二模）已知向量函数f（x）=

．

=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=求△ABC的面积S． 解：（Ⅰ）∵向量

=（cos（2x﹣

），cosx+sinx），

2

2

，a=2，B=，

=（1，cosx﹣sinx），

）），

∴函数f（x）=?=cos（2x﹣+cos2x=cos2x+令﹣

+2kπ≤2x+

）+cosx﹣sinx=cos（2x﹣

sin2x=

sin（2x+

sin2x+cos2x=cos2x+≤

+2kπ（k∈Z），得﹣

+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），

则函数f（x）的单调递增区间为[﹣（Ⅱ）由f（A）=

sin（2A+

）=

+kπ，+kπ]（k∈Z）；

）=，

，得sin（2A+

，

∵A为△ABC的内角，由题意知0＜A＜∴

＜2A+

＜

=

，∴2A+

=

，解得：A==

，∵A=

，又a=2，B=，B=

， ×+

，

∴由正弦定理，得b=

∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=则△ABC的面积S=absinC=×2×

×

=

．

×=，

22．（2015?和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=

+A．

（1）求cosB的值；

（2）求sin2A+sinC的值． 解（1）∵

，∴cosB=cos（

+A）=﹣sinA，

，所以

2

2

又a=3，b=4，所以由正弦定理得 =，

所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sinB=16cosB， 又sinB+cosB=1，所以

2

2

，而，所以．

（2）∵=

，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B 又A+B+C=π，∴

，

．

∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cosB=

2

．∴

23．（2015?洛阳三模）在锐角△ABC中，（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范围．

222

解：（1）由余弦定理可得：a+c﹣b=2accosB，

，∴sin2A=1且

=

，

（2），

又，∴b=2sinB，c=2sinC，

，

，∴

．

bc=2sin（135°﹣C）?2sinC=

24．（2015?河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若

，

，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2（cosAcosC﹣sinAsinC）=﹣1， ∴

，∴

，又0＜B＜π，∴

．

（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，

又∴

，，∴，故．

，

25．（2015?云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小； （2）设

为△ABC的面积，求

的最大值及此时B的值．

解：（1）∵∥，

∴（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC 根据正弦定理得（a+b+c）（c+b﹣a）=bc，

222

即a=b+c+bc，

222

由余弦定理a=b+c﹣2bccosA， 得cosA=﹣，又A∈（0，π），∴A=（2）∵a=

，A=

=，

=

=

=2， ；

∴由正弦定理得

∴b=2sinB，c=2sinC， ∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×∴S+cosBcosC=∴当B=C时， 即B=C=

时，S+

sinBsinC+

=

sinBsinC， cosBcosC=

cos（B﹣C），

cosBcosC取最大值．

27．（2015?高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+

）+2cos（B+C）=0，

（1）求A的大小；

（2）若a=6，求b+c的取值范围． 解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos整理得sinA=

cosA，

，∵0＜A＜π，∴A=

； ， +cosAsin

=2cosA，

∵cosA≠0，∴tanA=（2）由正弦定理得：

∴∴

，，

=

=

，

∵∴

，

，即6＜b+c≤12（当且仅当B=

时，等号成立）

28．（2015?威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（B﹣A）=cosC． （Ⅰ）求A，B，C；

（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c． 解：（Ⅰ）∵

，∴

，

，

∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB， 即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB， 得 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．

∴C﹣A=B﹣C，或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）． 即 2C=A+B，得则（Ⅱ）∵又∵

，即

，

，或

，∴

，∵

（舍去） ∴

， ．

∴． 29．（2015?新津县校级模拟）已知向量

，函数f（x）=

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）∵=（2cosx，1），=（cosx，2∴f（x）=?=2cosx+2∵2x+

∈[﹣

+2kπ，

2

．

，sinA=3sinC，

sinxcosx﹣1）， sin2x+cos2x=2sin（2x+

+kπ，

），

sinxcosx﹣1=

+2kπ]（k∈Z），∴x∈[﹣

+kπ，

+kπ]（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+∴sin（2B+

）=，即2B+

）=1， =

2

+kπ]（k∈Z）；

，即B=

2

2

，

∵sinA=3sinC，∴a=3c，∵b=，b=a+c﹣2accosB，

．

∴a=3，c=1，∵S=acsinB，∴△ABC的面积为

30．（2015?和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长． 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∴

，

，

，

．…（2 分）

由正弦定理得，…（4 分） 即．…（6 分）

（Ⅱ）在△ABC中，AC=7，BC=5，

2

2

2

，

由余弦定理得AC=AB+BC﹣2AB?BC?cosB，…（8 分） 即

2

，

整理得AB﹣2AB﹣24=0，解得AB=6．…（10分） ∵在△BCD中，

2

2

，BC=5，

2

，

∴由余弦定理得CD=BD+BC﹣2BD?BC?cosB，…（11分） 即

．∴

．…（13分）

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