压轴题 精讲特训挑战2014数学中考压轴题:几何证明及通过几何计算进行说理(含2013试题,含详解)
更新时间:2024-01-08 03:19:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, -3). (1)求此二次函数的解析式;
(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形.
①求正方形的ABCD的面积;
[w&ww.z%zste*^p.com~]②联结PA、PD,PD交AB于点E,求证:△PAD∽△PEA. 动感体验
中国教育%&出版网@]请打开几何画板文件名“13黄浦24”,拖动点A在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,∠PAE与∠PDA总保持相等,△PAD与△PEA保持相似.
请打开超级画板文件名“13黄浦24”,拖动点A在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,∠PAE与∠PDA总保持相等,△PAD与△PEA保持相似.
思路点拨
1.数形结合,用抛物线的解析式表示点A的坐标,用点A的坐标表示AD、AB的长,当四边形ABCD是正方形时,AD=AB.
2.通过计算∠PAE与∠DPO的正切值,得到∠PAE=∠DPO=∠PDA,从而证明△PAD∽△PEA.
满分解答
来源:z^z@step&.com*%][来源:Z_xx_k.Com]
(1)将点P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入y=-x2+bx+c,得
?b?0,?c?1, 解得 ??c?1.?4?2b?1??3.??所以该二次函数的解析式为y=-x2+1.
(2)①如图1,设点A的坐标为(x, -x2+1),当四边形ABCD恰为正方形时,AD=AB.
此时yA=2xA.
[ww%w*.zz^s&tep.co~m]解方程-x2+1=2x,得x??1?2.所以点A的横坐标为2?1.
[来源:Z.xx.k.Com]
因此正方形ABCD的面积等于[2(2?1)]2?12?82.
②设OP与AB交于点F,那么PF?OP?OF?1?2(2?1)?3?22?(2?1)2.
学科网ZXXK][来源:
PF(2?1)2所以tan?PAE???2?1.
AF2?1又因为tan?PDA?tan?DPO?来源%:中国教育*&出版网OD?2?1, OP来#%源:&~中教网^]所以∠PAE=∠PDA.
又因为∠P公用,所以△PAD∽△PEA.
[来源学科网]
图1 图2
考点伸展
来源:zzs&%te*#p.c~om]
事实上,对于矩形ABCD,总有结论△PAD∽△PEA.证明如下:
如图2,设点A的坐标为(x, -x2+1),那么PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2.
PFx2所以tan?PAE???x.
AFx又因为tan?PDA?tan?DPO?OD?x, OP所以∠PAE=∠PDA.因此△PAD∽△PEA.
来源:zz~step.^&%c#om]
中@&~%国教育出版网
例2 2013年江西省中考第24题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: (1)操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,则下列结论正确的是__________(填序号即可).
[来源:Zxxk.Com]来^%源中教网~*]中国教@^育出版网%]①AF=AG=
1AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME. 2(2)数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系?请给出证明过程;
(3)类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB、AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断△MDE的形状.答:_________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13江西24”,拖动点A可以改变△ABC的形状,可以体验到,△DFM≌△MGE保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.
请打开超级画板文件名“13江西24”,拖动点A可以改变△ABC的形状,可以体验到,△DFM≌△MGE保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.
思路点拨
1.本题图形中的线条错综复杂,怎样寻找数量关系和位置关系?最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍.
2.三个中点M、F、G的作用重大,既能产生中位线,又是直角三角形斜边上的中线. 3.两组中位线构成了平行四边形,由此相等的角都标注出来,还能组合出那些相等的角?
满分解答
来源:#*~zzste@p.^com]
[w*ww.~z@zs%tep.co#m](1)填写序号①②③④.
(2)如图4,作DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G.
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高, 所以F、G分别是AB、AC的中点.
又已知M是BC的中点,所以MF、MG是△ABC的中位线.
来%#源:@中教&^网所以MF?11AC,MG?AB,MF//AC,MG//AB. 22[www#.z@zs*tep.c%om~]所以∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC.
所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE.
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线,所以EG?中国教育出@*版&网%]
11AC,DF?AB. 22所以MF=EG,DF=NG.
所以△DFM≌△MGE.所以DM=ME.
(3)△MDE是等腰直角三角形.
图4 图5
考点伸展
第(2)题和第(3)题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的,不同的是证明∠DFM=∠MGE的过程有一些不同.
如图4,如图5,∠BFM=∠BAC=∠MGC.
如图4,∠DFM=90°+∠BFM,∠MGE=90°+∠MGC,所以∠DFM=∠MGE. 如图5,∠DFM=90°-∠BFM,∠MGE=90°-∠MGC,所以∠DFM=∠MGE.
[www.%@z&zste*#p.com]来源:z^zste%p#.c~o@m][ww@w.z#~z&st*ep.com]
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