24.1 圆(第3课时)
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24.1 圆(第3课时)
教学目标
1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?°的圆周角所对的弦是直径.
4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.
设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题. 重难点、关键
1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题. 2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理. 3.关键:探究圆周角的定理的存在. 教学过程
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角?
2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?
顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题. 二、探索新知
问题:如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,?设球员们只能在EF所在的⊙O其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? FE 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
A 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
O (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言. CB 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,?并且它的度数www.czsx.com.cn恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”
(1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如图所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO AC ∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
O ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=
1∠AOC 2B新世纪教育网 www.xsjjyw.com 精品资料 版权所有@新世纪教育网
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(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=
1∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程. 2BADO 老师点评:连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,?那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.
(3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=
C1∠AOC吗?请同学们独立完成证明. 2AC 老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=
D111∠AOD-∠COD=∠AOC 222OB 现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,?同样可证得它等于同
www.czsx.com.cn弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.
从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 进一步,我们还可以得到下面的推导:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.
例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,?只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.
解: A
OC
三、巩固练习 D 1.教材P92 思考题. Bwww.czsx.com.cn 2.教材P93 练习.
五、归纳小结 本节课应掌握: 1.圆周角的概念;
2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都相等这条弧所对的圆心角的一半;
3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.
第三课时检测
一、选择题
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1.如图1,A、B、C三点在⊙O上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( ).
A.140° B.110° C.120° D.130°
A4ABO213BCDO
(1) (2) (3) 2.如图2,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是( ) A.∠4<∠1<∠2<∠3 B.∠4<∠1=∠3<∠2
C.∠4<∠1<∠3∠2 D.∠4<∠1<∠3=∠2
3.如图3,AD是⊙O的直径,AC是弦,OB⊥AD,若OB=5,且∠CAD=30°,则BC等于
( ).
A.3 B.3+3 C.5- 二、填空题
1.半径为2a的⊙O中,弦AB的长为23a,则弦AB所对的圆周角的度数是________.
2.如图4,A、B是⊙O的直径,C、D、E都是圆上的点,则∠1+∠2=_______.?
www.czsx.com.cnC123 D.5
EAA1OCB2OBCwww.czsx.com.cnD
(4) (5) 3.如图5,已知△ABC为⊙O内接三角形,BC=?1,?∠A=?60?°,?则⊙O?半径为_______.
三、综合提高题
1.如图,弦AB把圆周分成1:2的两部分,已知⊙O半径为1,求弦长AB.
OAB
2.如图,已知AB=AC,∠APC=60° (1)求证:△ABC是等边三角形.
(2)若BC=4cm,求⊙O的面积.
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