第十五讲热学基础

第十五讲 热学基础

一．

分子动理论：分子动理论的基本的观点；理想气体的压强与温度

１．无论是振动还是迁移，都具备两个特点：a、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数，如图6-2所示）；b、剧烈程度和温度相关。

气体分子的三种速率。最可几速率vP ：f(v) = ?N（其中ΔN表 示v

N到v +Δv内分子数，N表示分子总数）极大时的速率，vP =速率v：所有分子速率的算术平均值，v =子平均动能密切相关的一个速率，

v22RT?=

2kTm ；平均：与分

8RT??=

8kT?m；方均根速率

v2=

3RT?=

RNA3kTm〔其中R为普适气体恒量，R

= 8.31J/(mol.K)。k为玻耳兹曼常量，k = ２

p? = 1.38×10－23J/K

观

意

义

：

．压强的微

211nEk,式中n是分子数密度，Ek＝mv2?mv2,即分子的平均动能 322３．温度的微观意义：

克拉珀龙方程：pV??RT,引入玻耳兹曼常数k=代入p?23nEK,得：EK＝kT32RNN.又因为：?＝,n?得到：p?nkTNANAV

上式表明，宏观量的温度只与气体分子的平均平动动能有关，它与热力学温度成正比，所以温度成为表征物质分子热运动剧烈程度的物理量。对所有物质均适用。对单个分子谈温度毫无意义。

１．某些双原子分子中原子Ａ、Ｂ之间的相互作用力（径向力），与原子中心间距r的关系为：F??ab?，其中Ｆ为正时代表斥力，Ｆ为负时代表引力，a、r2r3b均为正量。设Ａ的质量远大于Ｂ的质量m，在不受其它外力作用的条件下，Ａ

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在某惯性体系中可近似认为静止不动。试求Ｂ在力平衡位置附近做微小振动的周期Ｔ。

２．证明理想气体的压强P = 23n?K，其中n为分子数密度，?K为气体分子

平均动能。

二．气体状态方程的应用：

１．克拉珀龙方程：pV??RT,R?8.31J/mol?K 气体密度：??mpMV?RT 在不发生化学变化和物态变化的情况下，气体混合前后分子数不变，摩尔数不变，故有：

????pVkpV1??2?3?……+?k,T??ii

n?1Ti２．道尔顿分压定律：各种不同化学成分的理想气体组成的混合气体，当其中各组分之间无化学反应，又无其它相互作用，混合理想气体的总压强等于各种气体n组成部分的分压强之和。即p总??pi

i?1３．状态图线：Ｐ－Ｖ图，Ｖ－Ｔ图，Ｐ－Ｔ图。一个点表示一个状态，一段曲线表示一个过程 ４．气体实验三定律

在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律

a、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P1V1 = P2V2或PV = 恒量

b、查理定律：一定质量气体体积不变时，P1T = P2或P = 恒量

1T2Tc、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时，V1T = V2或V = 恒量

1T2T５．理想气体状态方程：一定质量的理想气体，P1V1T = P2V2T或PV = 恒量

12T【例题5】如图6-7所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm ，内有一段长20cm的水银柱，当温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气

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柱长为60cm。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？

【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。

?60如果是前一种可能，似乎应该这样解：P1L1 = P2L2，即 （76?20） = 76?96，

T1T2300T2得：T2 = 380K

但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。

为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为P 。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为x 。从初态到这个一般的末态

P1L1T1?60 = PL ，即 （76?20） = P(96?x)，得 P = 19.2T

T300T96?x隔离水银柱下面的液面分析，可知 P ≤ 76 + x时准静态过程能够达成（P可以随升温而增大，直至不等式取等号），而P ＞ 76 + x时准静态过程无法达成（T升高时，P增大而x减小），水银自动溢出。

所以，自动溢出的条件是：T ＞ 考查函数 y =

119.2119.2（－x2 + 20x + 7296）

（－x2 + 20x + 7296）发现，当x = 10cm

时，ymax = 385.2K

而前面求出的x = 0时，T只有380K，说明后阶段无须升温，即是自动溢．．．．．．．．．．．．．出过程（参照图6-8理解）。而T ＞ ymax即是题意所求。 ．．．

【答案】385.2K 。

【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A ，上端是压力计B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温T0下充气至大气压P0 ，然后加以密封，再将A浸入待测液体中，当A和待测液体达到热平衡后，B的读数为P ，已知A和B的容积分别为VA和VB ，试求待测液体的温度。

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【解说】本题是“推论2”的直接应用

P0(VA?VB)T0 = PVA + PVB

TAT0PVAT0P0(VA?VB)?PVB【答案】TA =

【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T图线，该图线是以C点为圆心的圆。P轴则C点的纵坐标PC为单位（T轴以TC为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T0 ，则在此过程中，气体密度的最大值ρ1和最小值ρ2之比ρ1/ρ2应等于多少？

【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。

P1?1T1 =

P2?2T2 ? ?1 = P1T2 =

?2P2T1P1/T1P2/T2

此式表明，P越大时，ρ就越大。故本题归结为求P的极

TT大值和极小值。

方法一：P与T的关系服从圆的方程（参数方程为佳） T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ 引入 y = P =

TPC?rsin? ，然后求这个函数的极值?

TC?rcos?方法二：见图6-11，从P的几何意义可知，P等于状态点到原点的连线与T

TT轴夹角的正切值，求P的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显

T然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。

θ

max

= α + β ，θ

TCmin

=α ? β

而 tgα= PC sinβ=

rT?P2C2C ? tgβ=

TC?T02TCT0

（注意：依题意，r = TC ? T0 ） 所以 tgθ

max

=

P2TT?T(T?T)tg??tg? = CC0CC01?tg?tg?TC2TCT0?PC(TC?T0)P2TT?T(T?T)tg??tg? = CC0CC01?tg?tg?TC2TCT0?PC(TC?T0)

tgθ

min

=

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【答案】〔

PC2TCT0?TC(TC?T0)TC2TCT0?PC(TC?T0)〕/〔

PC2TCT0?TC(TC?T0)TC2TCT0?PC(TC?T0)〕。

三．热力学定律的应用：

iii１．理想气体的内能：E?N?kT???RT?pV，式中Ｎ为分子总数，?为

222摩尔数，k为玻尔兹曼常数，Ｒ为普适气体恒量。i为分子的自由度。对于单原子分子气体（如He,Ne,Ar）,i=3,对于双原子分子（如O2,H2,CO），i=5,对于多原子分子气体i=6

２．理想气体内能的变化：?E??４．吸放热的计算

初中所学的通式Q = cmΔT仍适用，但值得注意的是，对固体和液体而言，比热容c基本恒定（和材料相关），但对气体而言，c会随着过程的不同而不同。

对理想气体，我们一般引进“摩尔热容”C（从克拉珀龙方程知，我们关心气体的摩尔数更甚于关心气体的质量），物理意义：1摩尔物质温度每升高1K所吸收的热量。摩尔热容和比热容的关系C =

cm?iiR?T?(p2v2?p1v1) 22 。

摩尔热容：１ｍｏｌ物质每升高１Ｋ所吸收的热量。对气体而言，可分为定

容

摩

尔

热

容

和

定

压

摩

尔

热

容

。

1i?2定容摩尔热容：Cv?iR,定压摩尔热容：Cp?Cv?R?R

22①等容过程的吸热：Q = ?CVΔT ②等压过程的的吸热： Q = ?CPΔT

对于其它的复杂过程而言，摩尔热容的表达比较困难，因此，用直接的途径求热量不可取，这时，我们改用间接途径：即求得ΔE和W后，再用热力学第一定律求Q 。

６．气体做功的计算：

气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数累计?），并最终得出这样一个非常实用的结论：准静态过程理想气体

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