数学开放题的教育价值与设计艺术

数学开放题的教育价值与设计艺术

摘 要：

数学开放题有利于学生根据自己的认知结构对问题作出解释，实现对知识的主动建构，获得认知结构的改造和重组。由于数学开放题强调了学生获得解答的过程，体现了学生在教学活动中的真正主体地位，从而极大地提高了学生的学习积极性，是克服“灌输式”教学倾向的解药。因此，对广大数学教师的教学经验进行总结，主动接受建构主义教学理论的指导，构建中国式的数学开放题及其教学模式是对学生进行素质教育的一种有效途径。

关键词：数学；数学开放题；开放题的研究；教育价值与设计艺术。

传统的教师中心“遗传”基因，直到今天依然存在，而且严重地影响着数学教师的教学观念，影响着数学教育的发展。 近年来，数学开放题作为一个具有时代特色的数学教育改革的亮点，已日益引起我国数学教育界的注意，逐渐形成为数学教学改革的一个热点。

一、何谓开放题？

（1）开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的问题。 （2）开放题并不是普通的数学问题，而是为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题。

一道数学题的开放性（开放度）在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式。即使是一道传统的封闭性数学题，也可以通过改变其设问方式而将其改编为具有开放性的习题。要求学生进行多方面、多角度、多层次探索是一种“开放性的解题要求”，通常使用“试尽可能多地??”一类的词语来提出，它对学生具有“鼓励参与，激励优化，追 求卓越”的作用。

二、为何研究开放题

目前人们普遍认为素质教育的核心是培养创新精神和创造能力，而开放题教学是推进数学素质教育的一个切入点和突破口。开放题给学生进行创造性学习提供了宽松、自由的环境，它的作用体现在以下几个方面： 1、开放题的教育作用：

① 发散性 学生必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位、多层次进行探讨，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成。

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② 探索性 因为开放题易使学生形成原有认知结构和新认知结构的冲突，学生必须通过顺应来主动建构新的认知结构，因而有利于培养他们的探索意识和创新精神。

③ 趣味性 开放题独特的叙述方式、宽松的解题环境和极富挑战性的解题策略，为学生在迫切要求下进行数学学习创造了条件，有利于激发学生的好奇心和好胜心，增强了学习的内驱力，对数学探索产生浓厚兴趣。

④ 多样性 在开放题教学中，既要有学生独立思考的个体活动，还需有师生之间、学生之间的合作、讨论、交流的群体活动。开放题答案的多样性，使得其最终的解决只靠个人的力量在有限的时间内难以完成，需要依靠集体的智慧和群体的力量。

⑤ 主体性 开放题教学是以学生为中心，有利于保障学生的主体地位，使学生真正成为学习的主人。

⑥ 竞争性 开放题解答的多样性和差异性，使其有了优与劣、多与少、简与繁的区别。也正是这种差异的存在，激发了学生的好胜心，使竞争意识悄然地渗入学生的头脑，把竞争机制引入开放题的课堂教学。

⑦ 创造性 在开放题的解答过程中，没有固定的、现成的模式可循，靠死记硬背、机械模仿找不到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展智力活动，用多种思维方法（如联想、猜测、直觉、类比，等等）进行思考和探索，因而开放题是提高学生创造能力的有效工具，是培养创造人才的摇篮。

2、开放题的转化作用：

（1）开放题对教师观念的转变： 开放题的出现以及对其教育功能的肯定，一方面反映了人们数学教育观念的转变；另一方面适应了飞速发展的时代的需要。实际上反映了人们对于数学教学新模式的追求，是人们站在新时代历史的高度上对数学教育改革的新探索。 ① 观念转变的原因：

a.当技术的发展已使社会数学化，数学的应用已渗透到开放社会的各个方面的时候，我们不应满足于陈旧的、封闭的教学方法。

b.数学不能仅仅理解为一门演绎科学，数学还有其更重要的一面，即它是一门非逻辑的、生动的、有丰富创造力的科学。

c.数学教学是学生创新活动的过程，仅仅靠教师的传授，不能使学生获得真正的数学知识。

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d.在数学教学活动中，学生是教学认知的主体，没有学生的积极参与就没有名副其实的教学活动，教师的作用主要体现在他是教学活动的组织者、指导者和鼓励者。

② 观念转变的内容：

a.我国教育部基础教育司明确指出：“课程是一个历史范畴，课程目标、课程结构、课程内容都将随着时代的发展而变革。”“教科书”应体现科学性、基础性和开放性。

b.开放题课堂教学中的数学观即对数学本质的认识，教师的数学观直接影响着他的教学观。如果教师能用动态的、全面的观点来理解数学，那么他所采用的教学方法就会是启发式的，其教学观就是以学生为中心。

（2）开放题对教师角色的转变： 在开放题教学中，教师的角色定位，即在教学过程中，教师不是教学活动的主角，而是“编剧”和“导演”；不是知识的传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者、调控者。 在开放题教学中，应特别强调的是教师除要具备传统意义上的那些专业素质外，还应具有创造能力（尤其是进行创造教学的能力）和自觉反省自身数学观、教育价值观和教学观的意识。

三、 数学开放题的特征

根据戴再平的研究，数学开放题一般具有以下特征：

1． 所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。

2． 没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。

3． 有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。

4． 常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。

5． 在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。

6． 能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。

7． 教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者和指导者。

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t四、开放题的分类

1．对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情景中自行设定与寻找，则称为综合开放题。

（1）设计条件的开放 传统的答题模式多数是条件与结论——对应的定式训练，解题时不必考虑条件的由来。然而现实生活中人们得到的信息对于某个具体问题而言绝大多数是无用的，必须善于从大量信息中筛选出有用的信息。因此有意设计一些条件过剩或不足的开放题会更好地完善学生的认知结构。

（2）设计结论的开放 这类题的条件和问题都很明确，而结论却不惟一，具有发散性和多面性。例如：将“如一把木块平均分成三块完全一样的长方体后表面积增加了多少（单位：厘米）”的常规题去掉图中虚线，则成结论开放题。 （3）设计策略的开放 这类题解题思路多种多样。教学时应充分利用其开放功能，引导学生多角度地进行分析思考，以培养学生思维的发散性和灵活性。

2、从开放题答案的开口情况出发，数学开放题可以定量地分成三类：弱开放题──答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；中开放题──答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题──只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题

五、开放题的功能

美国加里福尼亚教育部指出了开放性问题的五个功能：

1、开放性问题为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观念来表达的机会，这和他们在数学学习中的发展是一致的。

2、开放性的问题要求学生构建他们自己的反映而不是选择一个简单的答案。

3、开放性问题允许学生表达他们对问题的深层次的理解，这在多项选择中是无法做到的。

4、开放性问题鼓励学生用不同的方法去解决问题，反过来要求老师用不同的方法解释数学概念。

5、开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份。 我国的数学教育工作者经过教学试验和理论研究，认为数学开放题有以下几方面的作用：

1．开放题能引起学生认知的不平衡，为学生主动选择信息，超越所给定的信息留下了充分的余地，有利于完善学生的认知结构。

2．开放题由于具有结果开放、方法开放、思路开放等特点，能有效地反映高层次思维，为高层次思维创造条件，因而能更好地培养学生独立思考和探索精神，培养学生创造意识与能力。

3．开放题有助于培养学生对数学的积极态度，调动学生学习的积极性，提高平常数学成绩较差学生的数学学习兴趣，帮助学生体验智力活动的欢乐，体验数学学科的灵感。

4．开放题是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的

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良好载体，使每个学生的数学才能在自己的基础上有一个最大的发展，体现受教育者公平和人人有份的原则。

5．开放性问题的研究和教学，有利于教师转变教育观念，激发教育热情，摆脱一种浅层次的教学循环，体现教师自身的生命活力。

六、数学开放题对数学教学的意义

数学开放题作为一种教学思想反映在以下几个方面：

1．数学开放题强调了数学知识的整体性。封闭式的例题——习题式的数学教学仅停留在分类介绍技巧和方法的水平，指向知识、技能、原理和它们的适用性，往往会导致学生对某个结论或方法的记忆；重视的是学生计算、演绎等严格推理的能力，忽视的是培养学生的数学实践，寻找相似性等非形式推理的能力。 才而数学题开放作为一种教学思想把数学教学作为一个互相联系的有机整体，使学生在数学上得到全面的培养。

2．数学开放题强调了数学教学的思维性。封闭的数学题教学面向事实性的知识和程序性的技能而不是强调高层次的技能，而数学开放题作为一个教学思想强调反映学生高层次的能力和开放性、创造性的思维。学生在解答开放题的过程中，以已有认知结构为基础，对问题作出富有个人意义的解释和理解，经历一个从现实条件到用数学语言表述的数学化过程，不断检索或修正、提出解题设想并尝试解决问题。开放性数学题有利于培养学生关键性思考，应用知识和解决问题，让学生进行数学地思维，更好地培养学生的创新思维能力。

3．数学开放题强调解决问题的过程。数学开放题教学与封闭的数学题教学的另一不同点是侧重学生解决问题的思路和策略而不是问题的答案，侧重学生获得解答的过程。因为在数学教学中，不仅要注意其产物，而且要注意其过程，注意对学生解决问题的思路的分析。

4．数学开放题强调了学生在教学活动中的主体作用。在数学学习中，学生会表现出各种不同的特点，对同一数学问题的理解会有不同侧面深刻程度上的差异，具有强烈的个性特质。数学开放题把数学教学建立在以学生的学习基础之上，更能反映出学生的主动性和创造性，反映出学生的主体作用，有利于改变以教师为中心的教学方法。

5．数学开放题有利于提高学生学习的积极性，提高学习的内在动力。数学开放题提供学生以一种数学活动，在活动中展示和提高自己的数学才能，在活动中交流体会，增强主体意识，在解决问题的过程中感受到数学的美感和解决

七、开放题的设计艺术：

数学开放题的教学需要开放和设计大量的开放性问题，与当前的数学教学实际密切相关且被广大数学教师认可的开放性问题。

开放题的优点： ① 开放题顺应开放化的社会需要 ②开放题教学可以使全体学生主动参与，符合素质教育面向全体学生的要求③开放题可以使学生更全面地理解数学的本质，体会数学的美感④开放题可以给予学生更多的体验成功的机会，增强学习自信心，激发学生学习数学的兴趣 ⑤开放题有助于培养学生的创造意识和创新能力⑥开放题追求卓越，有助于培养学生的优化意识，提高解决问题的能力 ⑦开放题教学是以学生为中心，有利于实现教学民主，建立新型的师生关系⑧学生解答开放题时不但要综合运用、重组已学的知识，而且时常需考虑

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问题解决的策略，对自己的解题活动进行认识、评价和监控，这有助于发展学生的元认知⑨教师在研究开放题的过程中，可以在教学观念、解题能力、扩大知识面等多方面得到提高，这有利于提高教师素质

存在的问题： ①开放题在单一的技能训练、知识学习上费时费力，效率较低 ②开放题教学易受课时的制约，在课堂上常常出现学生的思维在低层次上重复，不易进行深入的研究 ③开放题教学对教师的要求较高，不易推广 ④对有些开放题很难制定出客观公正的评分标准，故在用开放题作考试题时困难重重 ⑤现有的适合教学使用的开放题数量太少，开发和设计更多的数学开放题又面临较多困难 ⑥受考试文化的影响，要使更多的教师重视、认识、接受开放题，还有一段艰巨漫长的道路要走

因此， 在开放题的编制、开发中，要十分重视开放题的设问方式。语言的暗示性要恰当，防止将思维导入歧途；要把握问题的开放度，不同水平的学生应采用不同的设问方式，提出不同的解题要求；开放题中所包含的事件应为学生所熟悉，其内容是有趣的，是学生所愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题；要注意问题的可发展性，给学生一个提问题的机会，也许比解题本身更重要。

八、开放题的解题艺术：

1、传统教学法解题摸式

这种解题模式，学生在得出结论后没有自我反馈的过程，去发现总练习题的内在联系，总结经验，找出规律，举一反三，因而浪费了大量的宝贵信息。 2、反馈教学法的解题模式

在反馈教学法解题模式中特别注重解题后的自我反馈和自我小结。引导学生去发现习题中潜在的知识信息，去联想、归纳、类比，以寻找知识间的联系、巩固和发展教学思想方法和处理技巧，重视培养学生的独立思维与创造思维能力

结束语:

数学开放题不应该排斥传统教学，它是传统教学的一种补充。通过教学开放题实践体会到：数学开放题只是为学生高层次思维的发展提供了一种可能性；数学开放题对学生的要求很高，不仅要求学生有较高认知水平，还要有较强的主动参与意识，才能有开放的气氛；在教学过程中，不仅要求教师能放开，还要求教师收得回来，这样才能收放自如。只有在教学实践中逐步摸索经验，才能真正有效地体现数学开放题的教育价值。

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问题解决的策略，对自己的解题活动进行认识、评价和监控，这有助于发展学生的元认知⑨教师在研究开放题的过程中，可以在教学观念、解题能力、扩大知识面等多方面得到提高，这有利于提高教师素质

存在的问题： ①开放题在单一的技能训练、知识学习上费时费力，效率较低 ②开放题教学易受课时的制约，在课堂上常常出现学生的思维在低层次上重复，不易进行深入的研究 ③开放题教学对教师的要求较高，不易推广 ④对有些开放题很难制定出客观公正的评分标准，故在用开放题作考试题时困难重重 ⑤现有的适合教学使用的开放题数量太少，开发和设计更多的数学开放题又面临较多困难 ⑥受考试文化的影响，要使更多的教师重视、认识、接受开放题，还有一段艰巨漫长的道路要走

因此， 在开放题的编制、开发中，要十分重视开放题的设问方式。语言的暗示性要恰当，防止将思维导入歧途；要把握问题的开放度，不同水平的学生应采用不同的设问方式，提出不同的解题要求；开放题中所包含的事件应为学生所熟悉，其内容是有趣的，是学生所愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题；要注意问题的可发展性，给学生一个提问题的机会，也许比解题本身更重要。

八、开放题的解题艺术：

1、传统教学法解题摸式

这种解题模式，学生在得出结论后没有自我反馈的过程，去发现总练习题的内在联系，总结经验，找出规律，举一反三，因而浪费了大量的宝贵信息。 2、反馈教学法的解题模式

在反馈教学法解题模式中特别注重解题后的自我反馈和自我小结。引导学生去发现习题中潜在的知识信息，去联想、归纳、类比，以寻找知识间的联系、巩固和发展教学思想方法和处理技巧，重视培养学生的独立思维与创造思维能力

结束语:

数学开放题不应该排斥传统教学，它是传统教学的一种补充。通过教学开放题实践体会到：数学开放题只是为学生高层次思维的发展提供了一种可能性；数学开放题对学生的要求很高，不仅要求学生有较高认知水平，还要有较强的主动参与意识，才能有开放的气氛；在教学过程中，不仅要求教师能放开，还要求教师收得回来，这样才能收放自如。只有在教学实践中逐步摸索经验，才能真正有效地体现数学开放题的教育价值。

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