2007-2012“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

1

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

1．方程组12,6

x y x y ?+=??+=??的解的个数为（ ）．

（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4

答：（A ）．

解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=???+=??于是6y y -=-，显然不可能． 若0x <，则 12,6,x y x y -+=???+=??

于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-．

所以，原方程组的解为?

??=-=,9,3y x 只有1个解． 故选（A ）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．

（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20

答：（B ）．

解：用枚举法：

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4

4 3，4，5，6 3，2，1，0 4

3 4，5，6，7 3，2，1，0 4

2 5，6，7，8 3，2，1，0 4

所以，共16种．

故选（B ）．

3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）

垂心

答：（B ）．

2

解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠．于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．

若△ABC 的外心为1O ，则12BO C BAC ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC 的外心．

故选（B ）．

4．已知三个关于x 的一元二次方程

02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则222

a b c bc ca ab

++的值为（ ）． （A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

答：（D ）．

解：设0x 是它们的一个公共实数根，则

0020=++c bx ax ，0020=++a cx bx ，002

0=++b ax cx ．

把上面三个式子相加，并整理得

200()(1)0a b c x x ++++=． 因为22000131()024

x x x ++=++>，所以0a b c ++=． 于是

222333333

()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc

+++-+++== 3()3ab a b abc

-+==． 故选（D ）．

5．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）．

（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多

答：（A ）．

解：原方程可化为

2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y ++++=-++（），

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．

（第3题答案图）

3

故选(A).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．

答：4．

解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称

点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之

差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而

1122222

BPO S PO CO ?=?=??=． 因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

7．如图, 点A ，C 都在函数33(0)y x x

=>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标

为 ．

答：（26，0）．

解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别

为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE ＝3a ，CF ＝3b ，

所以，点A ，C 的坐标为

（a ，3a ），（2a ＋b ，3b ），

所以 2333,3(2)33,a b a b ?=??+=??

解得

3,63,

a b ?=??=-?? 因此，点D 的坐标为（26，0）．

8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．

答：1-≤12

a <-，或者323a =-． 解：分两种情况：

（第6题答案图） （第7题答案图）

4

（Ⅰ）因为二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以

[][]

032)3(231)3(1

22<+?-+?+?-+a a ， 得112a -<<-． 由031)3(12=+?-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；

由032)3(22=+?-+a ，得12

a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意． （Ⅱ）令()2330x a x +-+=，由判别式0?=，得323a =±． 当323a =+时，123x x ==-，不合题意；当323a =-时，123x x ==，符合题意．

综上所述，a 的取值范围是1-≤12

a <-，或者323a =-． 9．如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=??，则n ＝ ． 答：6．

解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则

AQG A D G ∠=∠+∠+∠，

于是

A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠

B C E F AQG =∠+∠+∠+∠+∠

B C E F BQF =∠+∠+∠+∠+∠

540690=?=??．

所以，n ＝6．

10．已知对于任意正整数n ，都有 312n a a a n +++= ，

则 23100111111

a a a +++=--- ． 答：

33100

． 解：当n ≥2时，有 3121n a a a a n n =++++- ，

3121(1)n a a a n -+++=- ，

（第9题答案图）

5

两式相减，得 2331

n a n n =-+， 所以 ),111(31)1(3111n

n n n a n --=-=- ,4,3,2=n 因此

23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100

=-+-++- 1133(1)3100100

=-=． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214

y x =上的一个动点．

（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系；

（2）设直线PM 与抛物线214y x =

的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．

解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则 PM ＝22222200001

11(1)(1)1444

x x x x +-=+=+; 又因为点P 到直线1y =-的距离为220011(1)144

x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．

…………5分

（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂

足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM

＝QR ．

因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH ∥

MN ∥QR ，于是

QM MP RN

NH =， 所以 Q R P H R N H N

=， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．

（第11A 题答案图）

6

于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠．

…………15分

12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02

x abx a b -++=是 否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有

1212,1(),2x x ab x x a b +=???=+??

所以 12121122

x x x x a b ab --=+-，

124(1)(1)(21)(21)5x x a b --+--=. …………5分

因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，11x -≥0,21x -≥0，21a -≥1,21b -≥1，所以

12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b --=??--=? 或 ???=--=--.

1)12)(12(,1)1)(121b a x x （

（1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b --=??--=?

时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得 a ＝1，b ＝3，

此时，一元二次方程为2320x x -+=，它的两个根为11x =，22x =．

（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b --=??--=?

时，可得 a ＝1，b ＝1，

此时，一元二次方程为210x x -+=，它无整数解.

综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x =，22x =． ……………15分

13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB

上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与

半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，

⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：

MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．

证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点

（第13A 题答案图）

7

C ，

D 作AB 的垂线，垂足分别为,

E

F ，则CE ∥DF ．

因为AB 是⊙O 的直径，所以

90ACB ADB ∠=∠=?．

在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得

22PA AC AE AB ==?，

22PB BD BF AB ==?．

……………5分

两式相减可得

()22PA PB AB AE BF -=-，

又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-， 即 PA AE PB BF -=-， 所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．

因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．

……………15分

14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+？

（2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得

()(1)m m k n n +=+？

解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+，则

22(1)1m n n +=++，

显然1n >，于是

2221(1)n n n n <++<+，

所以，21n n ++不是平方数，矛盾． ……………5分

（2）当3k =时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n +=+，则

2241244m m n n +=+，

22(23)(21)8m n +=++，

(2321)(2321)8m n m n +--+++=，

8

(1)(2)2m n m n -+++=，

而22m n ++>，故上式不可能成立．

………………10分

当k ≥4时，若2k t =（t 是不小于2的整数）为偶数，取

22,1m t t n t =-=-，

则 2242()()()m m k t t t t t t +=-+=-

， 2242(1)(1)n n t t t t +=-=-，

因此这样的（m ，n ）满足条件．

若2k t =＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取

222,22

t t t t m n -+-==， 则 224321()(21)(22)224

t t t t m m k t t t t t --+=++=+--， 2243221(1)(22)224

t t t t n n t t t t +-++=?=+--， 因此这样的（m ，n ）满足条件．

综上所述，当3k =时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．

……………15分 注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．

11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交 于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间.

（1）求线段AB 的长；

（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．

解：（1）解方程组

9

2234,34,

y x x y x x ?=--+??=--?? 得 112,6,x y =-??=? 22

2,6,x y =??=-? 所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．

于是

22(22)(66)410AB =++--=．

…………5分

（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为

)43,(2+--t t t ， )43,(2--t t t ， 22t -<<，

因此 PQ 22(4)t =-≤8，

当0t =时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．

……………15分

12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ++=，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式

a b +≥k c

恒成立．

解：当32a b ==-，322

c =时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分 下面证明：不等式a b +≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立． 由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c >．因为

2110,0ab a b c c

=>+=-<， 所以a ≤b 0<．

由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程

22110x x c c

++= 的两个实数根，于是

414c c

?=-≥0， （第11B 题答案图）

10

所以 3c ≤

14． ……………10分 因此 2

1()a b a b c +=-+=≥44c c =． ……………15分

13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE AD CF BC

=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证： （1）

AD PD BC PC =； （2）△PAB ∽△PDC ．

证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，

所以PDC PEF ∠=∠．

又因为PCG PFG ∠=∠，所以

△PDC ∽△PEF ，

于是有 ,PD PE CPD FPE PC PF

=∠=∠， 从而 △PDE ∽△PCF ，

所以 PD DE PC CF

=． 又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD BC PC =． ………………10分

（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有

,PA PD PB PC

= DPA CPB ∠=∠， 所以APB DPC ∠=∠，因此

△PAB ∽△PDC ． ………………15分

14（B ）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u ，v 满足

1≤152

u v +<． 证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c >>．若结论不成立，则必有

a b ≥152

+， ○1 （第13B 题答案图）

11 b c ≥152

+． ○2 ………………5分

记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然,0s t >，代入○1得

c s t c s +++≥152

+， 11s t c c s c

+++≥152+， 令,s t x y c c

==，则 11x y x +++≥152

+． ○3 由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1t y c

=

<． 由○2得 1b c s x c c +==+≥152

+， ○4 由○3，○4得

y ≥151(1)2x ??+-+ ? ???≥5115122-+?=， 此式与1

………………15分

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）

1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x

4＋y 4的值为 （ ）

（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132 （D ）5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是

（ ）

12

（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12

3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有

（ ） （A ）6条 （B ）8条 （C ）10条 （D ）12

4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为

（ ）

（A ）52a （B ）1 （C ）32 （D ）a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有

（ ）

（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14

有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______．

7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．

8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，

AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______．

9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆

心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的

长为______．

10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11．在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交

于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于｜OA ｜＋｜OB ｜＋3．（1）用b 表示k ；（2）求△OAB 面积的最小值．

12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程px 2－qx ＋p ＝0有有理数根？

F M D C B A

13

13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△

ABC ？证明你的结论．

14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），

它们的和能被10整除，求n 的最小值．

简答：

一．选择题 ACBBD ；

二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9. 163

； 10. x ＝48， x ＝160， y ＝32； y ＝32．

三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 2

2(b ＋3)

，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，

方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12

， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B .

14. n 的最小值是5，当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（5分）

当n=5时，设a 1，a 2，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数．

若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a 1，a 2，a 5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．

于是a 1，a 2，…，a 5中必定有一个数是5．

若a 1，a 2，…，a 5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；

于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾．

14

若a 1，a 2，…，a 5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；

于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾．

综上所述，n 的最小值为5．（15分）

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于（ ）．

（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

【答】C ．

解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．

2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，

且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．

（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2 【答】A ．

解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以

BO BC AB AC

=，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．

由0a >，解得152

a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为

b ，则使关于x ，y

的方程组322ax by x y +=??+=?

， 只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）36

13 （第2题）

15

【答】D ．

解：当20a b -=时，方程组无解．

当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -?=??-?-?=?-?

由已知，得???????>-->--,0232,0226b a a b a b 即???????<>>-,3,23,02b a b a 或???????><<-.

3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得

2345612a b =??=?，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =??=?，，

，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为36

13． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=?. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．

（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32

【答】B ． 解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故

S △ABC ＝12

×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．

（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组

【答】C ．

解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为

（第4题）

图1

图2

16

22(229)0x yx y ++-=．

由于该方程有整数根，则判别式?≥0，且是完全平方数．

由 2224(229)711

6y y y ?=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.577

≈．于是 2y 0

1 4 9 16 ?

116 109 88 53 4 显然，只有216y =时，4?=是完全平方数，符合要求．

当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；

当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．

所以，原方程的整数解为

111,4;x y =-??=? 223,4;x y =-??=? 331,4;x y =??=-? 443,4.

x y =??=-? 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．

【答】3750．

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000

k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

,50003000,50003000

kx ky k ky kx k ?+=????+=?? 两式相加，得 ()()250003000

k x y k x y k +++=，

17

则 2

37501150003000x y +==+．

7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，

与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB

的值为 ． 解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13

AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=?，FAH EAF ∠=∠

所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE

=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．

【答】 10．

解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．

又因为()()2009117741=?-??-?，所以

1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．

由123459a a a a a ++++=，可得10b =．

9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ． 【答】6027

．

（第7题）

18

解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=?．

作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452

ECF ACB ∠=∠=?，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以

E F B F A C B C

=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以60227CE x ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：

每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告

诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉

他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报

3的人心里想的数是 ．

【答】2-．

解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．

于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以

4x x =--，

解得2x =-．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，

且3222221-+=+t t x x .

（1）求实数t 的取值范围；

（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.

解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程

（第9题）

（第10题）

19

2(21)0x t x c --+= ①

有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以 2221212121[()()]2

c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2

t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分 把②式代入方程①得

221(21)(364)02

x t x t t --+-+=． ③ ………………10分

t 的取值应满足

22212

23t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即

22(21)2(364)t t t ?=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤

解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 222-

≤t ≤222

+. 所以，t 的取值范围为

222-≤t ≤222+. ⑥ ………………15分

(2) 由②式知22131(364)(1)222

c t t t =-+=-+. 由于231(1)22c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的，所以，当222

t =- 时,2min 3211162(21)2224

c -=--+=. ………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．

解：由3192191a +可得31921a -．619232=?，且

20

()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．

………………5分

因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．

………………15分

又02009a <<，所以0110k = ，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的

和为

11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分

13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．

解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分 因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得

CD DF BE AB

=?

． 同理可得 CE EG AD AB =?． ………………10分 又因为tan AD BE ACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ?=?

，于是可得 DF EG =

．

………………20分

解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．

……………… 5分

连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=?，所以A ，B ，D ，E

四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分

又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．

………………20分

（第13A 题）

（第13A 题）

21

14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ； 且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大

值．

解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1

n i i a a a a b n +++-=- ． 于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有

1j i

i j a a b b n --=-，

从而 1(

)j i n a a --． ………………5分 由于 11200811

n n a a b b n n --==--是正整数，故 312

251n -?． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-

≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，

所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.

结合312251n -?，所以，n ≤9． ………………15分

另一方面，令123801,811,821a a a =?+=?+=?+，…，8871a =?+， 982511a =?+，则这9个数满足题设要求．

综上所述，n 的最大值为9. ………………20分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若20 10a b b c

==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011

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