中国科学院2006年硕士研究生入学试题参考答案

2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

说明：全部答题包括填空、选择题必须答在考点下发的答题纸上，否则，一律无效。 试题名称：固体物理 一 简要解释下列问题

1 第一布里渊区（First Brillouin Zone）：在倒格子空间，以一格点为原点，此格点与其余格点连线的垂直平分面所围成的区域称为布里渊区，其中包含原点在内的最小封闭区域（WS原胞）为第一布里渊区。

2 布洛赫定理（Bloch theorem）：当势场具有晶格周期性时

???? V(r)?V(r?Rn)，Rn为晶格矢量

波动方程的解具有如下性质

?????ik?Rn ?(r?Rn)?e??r?

????ik?Rn其中?k为一矢量，即当平移一晶格矢量Rn时，波函数只增加一位相因子e

根据Bloch Theorem，波函数可表示为

???????ik?r ?(r)?eu?r?,ur?Rn?u?r?

??

3 德·哈斯——范·阿尔芬效应（De Hass——Van Alphen effect）：低温强磁场下材料（的别是金属材料）磁化率等物理量随磁场强度的倒数周期性变化，这一振荡同磁场下Laudau能级上电子的填充有关

4 作为能带轮基础的三个基本近似：

绝热近似：电子与原子实巨大的质量差使两套系统的处理可以分开，即没有能量的交换。单电子近似：固体中其余电子的相互作用可以用一个平均场来代替，使解多个电子的波动方程问题可以简化为解单个电子的波动方程。 周期场近似：无论单个电子在晶体中所受离子实的相互作用和其余电子的相互作用形式如何，都假定单个电子在晶体中所受的总势场为周期场。 5 费米面、费米能、费米速度：费米面为电子填充非填充的分界面，费米能为费米面上电子能量，费米速度为费米面上电子所对应的速度。

二 布拉菲格子原胞和基矢的选择不是唯一的，如下图所示的正方格子中画出了两种基矢选取方法。

· · · · ′

· · a2 ·

′· · a1 · ·

a2 · · ·

· · · ·

a1

1 说明用这两种基矢为棱边所构成的是否为该布拉菲格子的原胞 2 求出这两种基矢所对应的倒格子基矢，并说明由这两种倒格子基矢为棱边是否分别构成

相应倒格子的原胞

3 画出图中所示正方格子相应的倒格子点阵。 解：1 两种基矢为棱边都构成布拉菲原胞。

2

???? aa2 b2 b22

?a1

? ? ? a 1 （注意倒格矢基矢长度）

b1 b1

3 倒格子点阵同正格子点阵相似，只是长度为三 设两原子间的相互作用能可表示为

2? aiU(r)???r2??r10

其中r是两原子间的距离，α、β是两个待定系数。当两原子构成一稳定分子时，其核间距

-10

为3×10m。离解能为4eV。试计算： 1 α、β的数值。

2 计算使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距。 解：1 当两原子构成一稳定分子时，其相互作用势能取极小值，于是：

du?r?drr?r0?2?8???0 r03r09 所以，由此得出平衡时两原子的平衡距离 r0??4??4???10?1066 ??3?10m,(3?10)m?????16 两原子平衡时的能量 u?r0????r02??r08??3? 4r02?193?42?1.6?9?392 题意给出：4?1.6?10J? ????10J?m4r023 所以

??7.68?10?38J?m2??1.4?10J?m?958

d2u?r?2

dr2r?rm?0给出原子间引力最大值距离rm

d2u?r?6?72?即???10?0 24drrmrm?72???10?rm????3.6?10m

?6??力F??16?u?r??rr?rm??2?8??9?0.44?10?8N 3rmrm

四 设有N个相同原子组成的一维原子链，原子间距为a，质量为m，链长L＝Na。

1 在值考虑最近邻相互作用（待定力常数为β）和简谐近似下，试证明其晶格振动波的色散关系为：

qa?4??2????sin2 ?m? 2 推出其态密度的表达式并绘图表示。

3 从该简化模型出发，试说明晶格振动波和介质弹性波的差异。 4 何谓声子？并说明它与真实粒子间的异同点

解：1只考虑最近邻时，其运动方程可写作：

1d2?nm???(2?n??n?1??n?1) 2dt其通解形式为?nq?Aei(?t?naq)

1aq?4??2代入方程后给出???得证。 ?sinm2??2 上述解是在无限大介质中得到的，有限介质必须考虑边界条件，一般采用周期性边界条件（即波恩－卡门条件）即假定u?0??u?L?

e?iq?0?e?iq?L?1,?qL?n2?,n?0,?1,?2,...所以在固体中被允许传播的晶格振动波波矢2?q?n?L不是连续变化的，而是一些分立的值，这是和介质弹性波的区别之一。 从物理上看，有意义的q值取值是有范围的，这是原子周期排列的结果

??a?q??a

这是和弹性波的区别之二

综合上述两点，亦可说一维晶格振动波波数q在第一布里渊区内只有N个分立的数值。 3 根据态密度定义可以给出

g???d??Ldq （这里L＝Na） 2? 一维原子链应考虑正负两支

L 所以 g????2?2? 将上式???msind?L?dq?d? dqg（ω） aq代入 21d?aqaa2 ??mcos?(?m??2)2 dq222得：g????ωm ω 2N???2m??122?，其中?m?4? m4 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子，一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为??q当这种振动模处于?nq?

五 二维简单正方晶格，晶格常数为a。每个原胞有一个原子，每个原子只有一个s态价电子，使用紧束缚近似，只计入近邻相互作用： 1 求出s电子组成的s能带的E（k）函数 2 求出s能带带顶和带底的位置和能量值。 3 求出电子在能带底部和顶部的有效质量。 4 求出电子在波矢k（kx，ky）状态的速度。

5 在kx，k y，划出几条有代表性的等能曲线，并画出费米面的近似形状。 6 画出沿W－X的E（k）曲线。（W和X的位置如下图所示） Ky

X KX

Γ W

解：1 E?k??Es?Js?2Js(coskx?a?cosky?a)

001??1????q时，说明有nq个声子。 2?2 带底为E?0,0??Es?Js?4Js

001 带顶为E?????????1 ,??E??,???Es0?Js0?4Js?aa??aa??3 有效质量m???2?2E2?k?21s

?? 带底mx?m?y?22aJ2

?? 带顶mx?m?y??12a2Js1a1?E2Js4 v?k????(sinkx?a?sinky?a)

??k?k?y 5

ky kx

kx 对自由电子（T＝0时）来说，N个电子在k空间填充在一个半径为kF的费米球面里，则球内包含状态数恰好等于N

2?S2?N12??2??k?N?k??2n??2????? FF22Saaa?2??所以，费米面离第一布里渊区边界较远，在紧束缚近似下费米面为一个近似的圆。

6

1 Es0?Js0?4Js

Es0?Js0

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