泸州老窖天府中学高二下期数学第一次月考试题(理)含参考答案

高2010级月考试题

数学（理）

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．方程2x2 5x 2 0的两个根可分别作为 Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率

2．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生课余时间的安排情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生

A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人

3. 已知原命题：“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是

A．逆命题、否命题、逆否命题都为真 B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假 C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真

4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为

A．3 B．4 C．5 D．6

5．下图是某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图。去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

A．84，4.84 B．85，8 C．85，1.6 D．85，4

6．双曲线x2 my2 1的实轴长是虚轴长的4倍，则椭圆x2 my2 1的离心率为

C. D.

44

x 2

7．若直线y x

b与曲线 （ [0,2 )）有两个不同的公共点，则实数b的

y

A

取值范围为

A.(0,4) B.(0, ) C.[0,4]

D.(2

8．在正三棱柱ABC A B C 中，AB AA ，则AB 与平面BB C C所成的角的正弦值为

A

B

C

D

P为圆心，9．已知F1、F2为双曲线的左右焦点，以双曲线右支上任意一点

1

|PF1|为半径的圆与以F2为圆心，|F1F2|为半径的圆内切，则双曲线两条

2

渐近线的夹角为 A.

2

B. C. D.

3432

10．已知抛物线y2 4x上有两点A、B满足 0，则坐标原点O到直线AB的距离的最大值为

A.1 B.2 C.3 D.4

11．曲线y 2x2与直线y x b始终有交点，则b的取值范围是

A．

6622 B. C. D.0 b b b b

2222222

1

2

1

的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那2

12. 点P到点A(,0),B(a,2)及到直线x 么a的值为 A.

131311 B. C.或 D.或 222222

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上. 13．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘

制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70）的学生有40人, 则成绩在[70,90）的有________人. 14.在边长为1的正方形ABCD内随机选一点M，则点M到点D0.04

的距离小于正方形的边长的概率是 . 0.0315．已知圆C:(x 1)2 (y 1)2 4，则过坐标原点的最短弦的长是 . 16．下列命题：

0.020.017

)两点间的距离为13； ①在极坐标系中，A(5,),B(12,

1212

x 2sin 2cos

②曲线C： （ 为参数）表示的图形是一个椭圆；

y 3sin 3cos

5060708090③“m 1”是“直线(m 2)x my 1 0与直线(m 2)x (m 2)y 3 0互相垂直”的充要条

件；

x2y2

1和直线l:y mx 1，则存在实数b，对任意的m R，直线l与椭④已知椭圆C:

4b

圆C恒有公共点.

其中正确的命题的序号是 （把所有正确的命题序号写在横线上）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）

一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有．放回地取球，每次随机取一个，连续取两次. ．．

（I）写出所有的可能结果，并求连续取两次都是白球的概率；

（II）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率.

18. （本小题满分12分）

已知抛物线C：y2 2px(p 0)过点A(1, 2). （I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l

19. （本小题满分12分）

22

设p：实数x满足x 5ax 6a 0(a 0)，q：实数x满足

l的方程；若不存在，请说明理由. 1

0，若 p是2

x 5x 6

q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

20. （本小题满分12分）

已知曲线C的极坐标方程是 =1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，

t

x 1 , 2

直线l的参数方程为 (t为参数）.

y 2 3t 2

（I）写出直线l与曲线C的直角坐标方程； （II）设曲线C经过伸缩变换

x 2x

得到曲线C ，曲线C 上任一点为M(x,y)，求 y y

x 2y的最小值.

21. （本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD， ABC 60 ，E、F分别是BC、PC的中点，PC与平面ABCD所成角为45，AB 2. （Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角E—AF—C的余弦值； （Ⅲ）求点D到平面AEF的距离.

22．（本小题满分14分）

x2y2已知椭圆2 2 1(a b

0)，

直

ab

线l交椭圆于不同的两点A、B. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线l过点（ a，0）和（0，b）时，椭圆上的点P使得|PA| |PB|，求点P的坐标；

（Ⅲ）若坐标原点O到直线l

AOB面积的最大值.

一、选择题

12．到A(,0)和到直线x

1211的距离相等，则P点轨迹是抛物线.再注意B点，用上P到x 22

2

的距离和点P到B的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a的值．

y2y212y22

解答：解：法一 由题意有点P在抛物线y=2x上，设P（，y），则有(+)=( a)

2222

1151

(y 2)2，化简得（-a）y2-4y+a2+=0，当a=时，符合题意；

242

11

当a≠时，△=0，有a= ．故选D．

22

12

法二 由题意有点P在抛物线y=2x上，B在直线y=2上，当a= 时，B为直线y=2与准线的交

2

1

点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．

2

二、填空题

13. 25 14. 三、解答题

17. （1）设事件A：连续取两次都是白球：．P(A)

15. ①②④ 4

1

4

（2）设事件B：连续取两次分数之和为０分，则P(B)

1 161

设事件C：连续取两次分数之和为1分，则P(C)

4

设事件D：连续取两次分数之和大于１分，则P(D) 1 P(B) P(C)

11 16

2)代入y 2px，得( 2) 2p 1，所以p 2. 18. 解：（Ⅰ）将(1，

故所求的抛物线C的方程为y 4x，其准线方程为x 1. （Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y 2x t，

由

2

22

y 2x t，

2

y 4x

，得y 2y 2t 0.

2

因为直线l与抛物线C有公共点，所以得 4 8t 0，解得t 另一方面，由直线OA与l的距离d

1。 2

，解得t 1。

） ）因为 1 [ ，，1 [ ，，

1

212

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x y 1 0.

19. 解： a 0, p:3a x 2a(a 0)，

1

0 x2 5x 6 0 2

x 5x 6

q:x 6，或x 1

p是 q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件 2a 6，即a 3.

所以a的取值范围是( , 3].

又

20解：（1）l:x y 2 3 0 C:x2 y2 1

（2分）

21．解法一：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形， ABC 60 ，知△ABC为正三角形，

∵E为BC的中点 ∴AE⊥BC， 又BC//AD ∴AE⊥AD， ...................................... 1分 ∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD ∴PA⊥AE ， ................ 2分 且PA AD=A, ∴AE⊥平面PAD， .......................................... 3分

（Ⅱ）w过E作EO⊥AC于O，过O作OS⊥AF于S，连结ES，

∵PA⊥平面ABCD，PA 平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABCD， 则EO⊥平面PAC， ....................... 4分 ∴SO是ES在平面PAD上的射影， ∴SE⊥AF，

则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角， .... 5分 ∵PA⊥平面ABCD，∴PC在平面ABCD的射影是AC， ∵PC与平面ABCD所成角为45 ，

∴ PCA 45 ， ........................ 6分 ∵AB 2,∴PA=2，

3

在Rt△AOE

中，EO AE sin30 AO AE cos30

2

又F为的中点，∴ SAO 45 在Rt

SOA中，SO AO sin45

,

又SE ......................... 7分 SO

SE在Rt

ESO中，cos ESO ， ............................. 8分 1

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：在Rt PAC中，PA AC

2，∴AF PC ，

2

1∴S AEF AF SE................................. 9分

211

又S AED AD AE，点F到平面AED的距离h PA 1， .. 10分

22

设点D到平面AEF的距离为d，

11

∵VF AED VD AEF，∴SAED h SAEF d， ................... 11分

33

S h∴d AED. ................................ 12分

SAEF21.解法二：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PC在平面ABCD的射影是AC，

∵PA与平面ABCD所成角为45 ， ∴ PCA 45 ， ........................................... 4分 ∴PA=2，

由（1）知： AP、AD、AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，

1

∴A(0,0,0),B 1,0),C,0),D(0,2,0),P(0,0,2),EF,1)

2

1

∴AE AF ,1), ............................. 5分

2

设平面AEF的一个法向量为m x1,y1,z1 ，

m AE 0

则 ，

m AF 0

1 0因此, 1

y z 0111

2

取z1 1，则m 0,2, 1 ， ................................ 6分

∵BD AC,BD PA,PA AC A，∴BD⊥平面AFC,

故BD 为平面的法向量. .......................... 7分

m BD∴cosm,BD ,

m BD

, .............................. 8分 （Ⅲ）由（2）知，平面AEF的一个法向量为m 0,2, 1 ，

又∵AD 0,2,0 ， ....................................... 10分

∴点D到平面AEF的距离为d

m ADm

...................... 11分

. ............................................. 12分 22．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，

c

依题意 a， ............................................. 2分

a

解得c

由a2 b2 c2,得b 1. ......................................... 3分

x2

所求椭圆方程为 y2 1. ................................... 4分

3

（Ⅱ）∵直线l过点（－a，0）和（0，b），

∴直线l与椭圆交于不同两点A

（，0）和B（0，1），

故直线l

的方程为y

x 1， .................................. 5分 ∵椭圆上的点P使得|PA|=|PB|，∴P在线段AB的中垂线上，

1

， ）

∴线段AB的中垂线方程为y

1， .......................... 6分

∵A、B

的中点坐标为（ x2x 2

x 0 y 1 由 3，得 或 ， ....................... 7分

y

14 y 1 y

5

4

∴点P的坐标为(0, 1)，()， ............................. 8分

5

（Ⅲ）当直线l的斜率存在时，设l:y

kx m，

将y kx m代入椭圆方程，整理得(1 3k2)x2 6kmkx 3m2 3 0. (6km)2 4(1 3k2)(3m2 3) 0(*)，

3

，可得m2 (k2 1) ....................... 9分 4

6km3m2 3

............................... 10分 x1 x2 ,x1 x2 .

1 3k21 3k2

|AB|2 (1 k2)(x2 x1)2 ........................................ 11分

36k2m212(m2 1) (1 k)[2 ]

(3k 1)23k2 1

2

12(k2 1)(3k2 1 m2)3(k2 1)(9k2 1)

，

(3k2 1)2(3k2 1)2

12k212

3 4 3

19k 6k2 12

9k 2 6

k

12

....................................... 12分 3 4(k 0)，

2 3 6

1

k ，即时等号成立，

k2

经检验，k 满足（*）式

当且仅当9k2

当k 0或直线l

的斜率不存在时，|AB| ..................... 13分 综上可知|AB|max 2.

当|AB|最大时，△AOB

的面积最大值S 2

12. ....... 14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r1t1.html