1-12命题逻辑

离散数学讲义

参考书

离散数学，左孝凌、李为鉴、刘永才编著， 上海科学技术文献出版社离散数学，陈莉、刘晓霞编著，高等教育 出版社 Discrete Mathematical Structures, Kolman, Busby and Ross

2013-5-26

第一篇 数理逻辑

第一章 命题逻辑 第二章 谓词逻辑

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第一章 命题逻辑1-1 命题及其表示法定义 1-1.1 命题(Proposition): 可以辨别真假的语句称为命题。 定义 1-1.2 真值： 命题总是具有一个“值”,称为真值。 真值只有“真”、“假”两种，记作 True(真)和False(假),分别用符号T和F 表示。2013-5-26 4

1-1 命题及其表示法例1: (1) 不在同一直线上的三点确定一个平面。 (T) (2) 煤是白的。 (F) (3) 我学英语，或者我学日语。 (4) 如果天气好，那么我去散步。 以上是命题，其中(3)、 (4) 是复合命题。

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1-1 命题及其表示法例2:别的星球上有生物。到目前为止，人们还不能判断别的星球 上是否有生物，但也许将来的人可以判断， 并且只能是别的星球上有生物或没有两种 情况之一。因此是命题。

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1-1 命题及其表示法例3: (1) 全体立正！ (2) 明天是否开大会？ (3) 天气多好啊！以上祁使句、疑问句、感叹句都不是命题。

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1-1 命题及其表示法例4: 1) 我正在说谎。 这是悖论，没有确定的真值，不是命题。

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1-1 命题及其表示法例5: 1+101=110在二进制中为真，在十进制中为假，需 根据上下文才能确定真值。故也是命题。 由这些例子我们知道：有确定真值的 陈述句是命题。

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1-1 命题及其表示法定义 1-1.3 原子命题和复合命题： 不能分解为更简单的陈述语句称为 原子命题。 由联结词、标点符号和原子命题复 合构成的命题称为复合命题。

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1-1 命题及其表示法在数理逻辑中，我们使用大写字母A, B,…,P,Q,…,或用带下标的大写 字母或用数字表示命题。 例如： P:今天下雨。 [12]:今天下雨。 A1:今天下雨。 P、 [12]和 A1称为命题标识符。2013-5-26 11

1-1 命题及其表示法定义1-1.4 命题常量和命题变元： 如果一个命题标识符表示确定的命题， 就称为命题常量。 如果一个命题标识符只表示任意命题的 位置标志，就称为命题变元。命题变元可以表示任意命题，所以它不 能确定真值，故命题变元不是命题。

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课堂习题

1-1(1)

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1-2 联结词(1) (2) (3)

(4)(5)

否定 合取 析取 条件 双条件

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(1) 否定定义1-2.1 否定(Negation): “非”,用“ ”表示。 设P为一个命题，P的否定是一个新的 命题，记作 P。 读作“非P”。PT F201

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PF T15

(1) 否定例 P:上海是个大城市。 P:上海并不是个大城市。 P:上海是个不大的城市。

否定联结词是一个一元运算。

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(2) 合取定义1-2.2 合取(Conjunction): “和”,“与”,用“ ”表示。两个 命题P和Q的合取是一个复合命题，记作 P Q。读作“P合取Q”,“P与Q”, “P并且Q”。当且仅当P、Q同时为T时， P Q为T,在其它情况下， P Q的真值 都是F。P Q P QT T F F2013-5-26

T F T F

T F F F17

(2) 合取例 P:今天下雨。 Q:明天下雨。 P Q:今天下雨而且明天下雨。 P Q:今天与明天都下雨。 P Q:这两天都下雨。

“合取”是一个二元运算。2013-5-26 18

(3) 析取定义1-2.3 析取(Disjunction) : “或”,用“ ”表示。两个命题P和 Q的析取是一个复合命题，记作P Q。 读作“P或Q”, “P析取Q”。当且仅 当P、Q同时为F时， P Q的真值为F, 否则P Q的真值为T。PT T

QT F

P QT T

FF2013-5-26

TF

TF19

(3) 析取例1 今天晚上8:00我在家看电视或去剧场看戏。 例2 他可能是100米或400米赛跑的冠军。 在例1中的“或”是“排斥或”,例2中的 “或”是“可兼或”,而析取指的是“可兼 或”。 例3 他昨天做了二十或三十道习题。 这个“或”字，只是表示了习题的近似数目， 不能用联结词析取表达，例3是个原子命题。 “析取”是二元运算。2013-5-26 20

(4) 条件定义1-2.4 条件(Condition): 给定两个命题P和Q,其条件命题是一 个复合命题，记作P Q,读作“如果P, 那么Q”,或“若P则Q”。当且仅当P 的真值为T,Q的真值为F时， P Q的真 值为F,否则P Q的真值为T。P T T Q T F

P QT F

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F F

T F

T T

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