高中数学圆锥曲线小结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆x2y2ab1的不平行于对称轴的弦，M(xb22?2?0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??a2，

即Kb2x0AB??a2y。

0双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5. 若P,yx2y2xxyy0(x00)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0ab0的双曲线的切线方程是0a2?b2?1.

x2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2

abxxyy的直线方程是02?02?1.

abx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲线的

ab?焦点角形的面积为S?F1PF2?b2cot.

2x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

b2x0x2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?2，即

abay0KABb2x0?2。 ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.

abababx2y2x2y2x0xy0y13. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.

ababab椭圆与双曲线的对偶性质--

椭 圆

x2y21. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2

abx2y2交点的轨迹方程是2?2?1.

abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC

abb2x0有定向且kBC?2（常数）.

ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则

aba?c???tancot. a?c22x2y24. 设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记

ab?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin?c??e.

sin??sin?ax2y25. 若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上求

ab一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,

ab当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(x?x0)2(y?y0)222222??1Ax?By?C?07. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. Aa?Bb?(Ax?By?C)0022abx2y21111???2;8. 已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）222ab|OP||OQ|ab4a2b2a2b2（2）|OP|+|OQ|的最大值为22;（3）S?OPQ的最小值是22.

a?ba?bx2y29. 过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，

ab|PF|e?. 则

|MN|22

2

x2y210. 已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则

ab

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x2?y23?1，P为双曲线上一点。

求|PA|?12|PF|的最小值。

解析：如图所示，

?双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知1

2|PF|即点P到准线距离。

?|PA|?1|PF|?|PA|?|PE|?AM?522

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

b，而c?t c ?b2?pc?pt

?p?2

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

??x?c?t ?

??y?b?pt 消去t，得轨迹方程y2?px

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y?R，且满足方程x2?y2?3(y?0)，又m? 解析：?m?y?3，求m范围。 x?3y?3的几何意义为，曲线x2?y2?3(y?0)上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示 x?3 kPA?m?kPB ?3?33?5 ?m?22

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆(x?3)2?y2?4和直线y?mx的交点为P、Q，则|OP||?OQ|的值为________。 解：??OMP~?OQN |OP||?OQ|?|OM||?ON|?5

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

x2y2xy例5. 已知椭圆：??1，直线l：??1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足

1282416|OQ||?OP|?|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

?????????? 解：如图，OQ，OR，OP共线，设OR??OQ，OP??OQ，OQ?(x，y)，则OR?(?x，?y)，OP?(?x，?y)

???2 ?|OQ||?OP|?|OR|

?2?22 ??|OQ|??|OQ|

????2

?点R在椭圆上，P点在直线l上 ??2x2122416x2y2xy 即???

2416128??2y2?1，

?x??y8?1

化简整理得点Q的轨迹方程为：

2(x?1)2(y?1)2 ??1（直线y??x上方部分）

55323

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆x2?y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：

x2?y2?6x?4??(x2?y2?6y?28)?0 (1??)x2?(1??)y2?6x?6?y?(28??4)?0

?3?3?，)，在直线x?y?4?0上 1??1?? ?解得???7

则圆心为( 故所求的方程为x2?y2?x?7y?32?0

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y2例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x??1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。

2 解：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则

2

则x1、x2是上述方程的两根．且|x2?x1|?2AB边上的高h?|F1F2|sin?BF1F2?2c?11?k2|k|S?22c()2c 2221?2k1?k|k|1?k2,

2c1?k2，22c(1?k2)， 2|AB|?1?k|x2?x1|?1?2k21?2k2也可这样求解：

S?1|F1F2|?|y1?y2| 2 ?c?|k|?|x1?x2|

?22c21?k2|k|k2?k412?22c?22c2?2c2. 22411?2k1?4k?4k4?4k?k2ii) 当k不存在时，把直线x??c代入椭圆方程得y??由①②知S的最大值为2c2 由题意得

2c2=12

x212221c,|AB|?2c,S?2c?2c2 222?b2

所以c2?6?y262?1.

a2?122

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：x?my?c????①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 椭圆的方程为：x2?y2ab22?1,A(x1,y1),B(x2,y2)

由e?2得：2a?2c2,b2?c2,于是椭圆方程可化为：x2?2y2?2c2?0??② .2把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0 于是y1,y2是上述方程的两根.

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?m2|y2?y1|?1?m24m2c2?4c2(m2?2)m2?222c(1?m2), ?m2?2AB边上的高h?222c1?m2,

1m2?1?1?2m?12从而S?1|AB|h?1?22c(1?m2)2c1?m22??22c2m2?2(m?2)2?22c1?m2?2c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax?2c2. 由题意知

2c2?12,

于是 b2?c2?62,a2?122.

x2122?y262?1.

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2y2例5 已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x?2y?0上（１）.

ab求此椭圆的离心率；

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2?y2?4上，求此椭圆的方程.

?y??x?1，讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由? 得 ?x2y2?2?2?1b?a(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0,

2a22b2根据韦达定理，得 x1?x2?22,y1?y2??(x1?x2)?2?22,

a?ba?ba2b2 ∴线段AB的中点坐标为（22,22）.

a?ba?b2a22b2 由已知得22?22?0,?a2?2b2?2(a2?c2)?a2?2c2，故椭圆的离心率为e? .

2a?ba?b （2）由（1）知b?c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x?2y?0的对称点为

(x0,y0),则y0?01x?by34???1且0?2?0?0,解得 x0?b且y0?b

55x0?b22220203242x2y22由已知得 x?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4，故所求的椭圆方程为??1 .

5584 例6 已知⊙M：x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

（1）如果|AB|?42，求直线MQ的方程；（2）求动342，可得 3弦AB的中点P的轨迹方程.

讲解:（1）由|AB|?|MP|?|MA|2?(|AB|22221)?12?()?,由射影定理，得 233|MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3,

在Rt△MOQ中，

|OQ|?|MQ|2?|MO|2?32?22?5，故a?5或a??5， 所以直线AB方程是2x?5y?25?0或2x?5y?25?0;

（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得

2y?2?,(*) ?ax由射影定理得|MB|2?|MP|?|MQ|,即x2?(y?2)2?a2?4?1,(**) 把（*）及（**）消去a，并注意到y?2，可得x2?(y?)2?

741(y?2). 16适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

2。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E2 例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=

过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设围．

讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB

22y=?22?()2?22∴动点P的轨迹是椭圆∵

22x2?y2?1 . 是 2A O B C DM??，试确定实数?的取值范DN|=| CA |+| CB |

a?2,b?1,c?1∴曲线E的方程

（2）设直线L的方程为 y?kx?2, 代入曲线E的方程x2?2y2?2，得(2k2?1)x2?8kx?6?0设M（1x1,y1),则

????(8k)2?4(2k?1)?6?0,① ? 8k?, ② ?x1?x2??22k?1? 6?x1x2?2.③ ?2k?1?N(x2,y2),

i) L与y轴重合时，??|DM|1? |DN|332ii) L与y轴不重合时， 由①得 k2?. 又∵??∵x2?x1?0, 或 x2?x1?0,∴0＜?＜1 ,

xDMxD?xM??1, DNxD?xNx2(x?x2)2(x1?x2)2x1x264k2321??∴ ???2????2∵

1x1?x26(2k2?1)x1?x2x2x1?3(2?2)k而k2?, ∴6?3(2?321)?8.∴ 4?2k323(2?1)2k?16116, ∴ 4????2?, 3?3??0???1,?110?1 2????,????2,?3??110????,??3??1?1????1.∴?的取值范围是?,1? . 3?3? 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

例8 直线l过抛物线y2?2px(p?0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.

（1）求证：4x1x2?p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程为x?P,显然xx2212P2?4.若l不垂直于x轴，可设y?k(x?P),

2P代入抛物线方程整理得x2?P(1?2P)x?2kP2?0,则x1x2?442. 综上可知 4x1x2?p2.

2（2）设C(cd2,c),D(,d)且c?d，则2p2p2CD的垂直平分线l?的方程为y?c?d??c?d(x?c22p?d2 )4p假设l?过F，则0?c?d2c?dpc2?d2整理得 ??(?)2p24p

(c?d)(2p2?c2?d2)?0 ?p?0

?2p2?c2?d2?0，?c?d?0. 这时l?的方程为y=0，从而l?与抛物线y2?2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的

交点，因此l?与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长

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