不完全信息时高考志愿博弈

不完全信息时高考博弈分析

不完全信息时高考志愿填报博弈

聂海峰 中山大学岭南学院

“志愿优先”的高考录取机制下考生真内容摘要 本文研究了考后知分填报志愿时，

实填报自己偏好是否构成填报博弈均衡的问题。考生对其他人偏好的不完全信息使得志愿填

报成了一个不完全信息博弈。当每个人的信念是独立均匀分布，并且所有学校的录取计划数相等时，每个人真实填报自己的偏好构是序数贝叶斯激励相容的。当学校招生计划数不相等并且名额稀缺时,对于几乎所有的考生信念来说，真实申报都不构成均衡。

关键词 匹配 序数贝叶斯激励相容（OBIC） 志愿优先

The Incomplete Information Game under College Admission

Mechanism

Nie Haifeng

（Lingnan College , Sun Yat-sen University）

Abstract We analyze the game of submitting schools rank order list in college admission

mechanism. A student has incomplete information on other students’ preferences. When the belief is uniform distribution and all schools have the same quota, telling truth is Ordinary Bayesian Incentive Compatible (OBIC). When the school quotas are not equal and scarce, truth telling is not the equilibrium for a generic belief in students’ independent belief set.

Keywords Match, Ordinary Bayesian Incentive Compatibility (OBIC), Preference priority JEL Classification C78, D81, I29

联系方式：广州市新港西路135号中山大学岭南学院（510275）电话：（020）84110652

Email： 。Version: 2007年9月

不完全信息时高考博弈分析

一、 引 言

高考录取“志愿优先，相同志愿分数排序”的特点，使得如果考生没有被第一志愿录取，就会丧失考分的优势，他的第二、三志愿学校可能已经招满，考生只能被靠后的志愿学校录取，甚至落榜。为了减轻“高分落榜”，各地招生机构把志愿填报时间从考前改为考后出分填报，减少考生由于分数未知或者估分不准确引起的不确定因素。在2007年，已经有18个省执行考后知分填报志愿1。形形色色的志愿填报指南都强调“志愿优先”录取机制下填报志愿的策略性，鼓励考生操纵自己志愿，强调考生填报志愿时要“慎重选择第一志愿，注意不同志愿学校之间的差距”。面对这些政策安排和报考指导，政策制定者和考生、家长心中都有一个没有得到明确答案的问题：在高考录取中，真实填报偏好何时是考生的最优选择？考生是否必须费心费力的选择填报的志愿？

“志愿优先”的录取机制下，考生在学校录取时的优先顺序，不仅依赖考生的分数，也依赖学校在他志愿中的位置。事实上，考生在学校内的优先顺序是内生的，考生可以通过操纵他申报的志愿来影响他的优先顺序。高考可以看作是分配入学机会的一个机制，入学机会的稀缺程度影响考生的行为。考生的均衡策略依赖报考生人数和每个学校录取的计划数。当入学机会相对丰裕时，即只有2个考生或者任意两个学校的招生计划之和都大于考生人数，那么每个考生真实申报自己的偏好是他的优势策略(dominant strategy) 。

当考生数较多或者招生名额有限的时候，入学名额的稀缺性使得考生之间要激烈竞争，真实申报不再是考生的优势策略。在出分报考录取机制下，考生的行为依赖他对其他考生偏好和可能申报的志愿的信念，我们放松优势策略均衡的概念，所有考生申报志愿的行为就成了一个不完全信息下的博弈。

由于高考录取机制仅仅需要考生报告他偏好中对学校的排序关系，在本文中，我们考察志愿填报是否序数贝叶斯激励相容（ordinal Bayesian incentive compatible）。这时，真实申报自己的偏好排序最大化每个考生的预期效用，这个预期效用是依照他对其他考生偏好分布的信念以及其他人都真实申报自己偏好（Truth Telling）的假设下，根据表示他对学校偏好的一个基数效用函数计算得到的。和文献中更经常使用的贝叶斯激励相容有一个重要的不同，在序数贝叶斯激励相容时，对任意一个表示考生真实偏好排序的基数效用函数，真实申报都最大化相应的预期效用。因而，序数贝叶斯激励相容是比贝叶斯激励相容更严格的概念，它只依赖偏好的序数性质。考生从学校得到的基数效用依赖许多的影响因素，在考生填报志愿时可能很难判定每一所学校带来的效用具体数值是多少，但是确定学校的相对排序是容易的。因而序数贝叶斯激励相容在这个环境下是一个合适的概念。

当考生对学校偏好的信念是独立的，并且是所有学校排序集合上的均匀分布时，如果所有学校的招生计划相同，每个考生申报真实偏好是序数贝叶斯激励相容的。但这个结果的限制性很强，一般来说真实申报都不成为均衡。我们证明，考生信念独立时，存在全体考生信念集合的一个开、稠密并且补集的测度为0的子集，对这个子集合内的任意一个信念来说，考生真实申报偏好都不是序数贝叶斯激励相容的。

本文的组织结构如下，第二节是相关文献的回顾，第三节建立了高考录取的模型，介绍了“志愿优先”的高考录取机制，第四节是考生信念为均匀分布时志愿填报博弈的分析，第五节证明一般来说，真实填报偏好都不构成均衡，第六节是文章的总结。详细的证明都放1

这18个省市分别是河北、内蒙古、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、湖北、湖南、广西、海南、重庆、四川、云南、西藏、宁夏和青海。其中江苏、浙江、湖南执行“平行志愿”录取方式，不是本文分析的“志愿优先”机制。本文分析的机制是2006年的浙江录取机制，是其他地方执行的“志愿优先”机制的典型代表。关于“平行志愿”录取机制和本文分析的高考录取机制，也可以参见聂海峰（2007a）的分析。

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在附录中了。

二、相关文献

对中国教育的研究已经是经济学的一个重要分支，但对于作为高等教育入口的高考录取制度，研究文献相对较少。钟笑寒、程娜和何云帆(2004)最早分析了高考志愿填报博弈。他们分析了考生偏好相同但是存在分数不确定时，填报志愿时间和志愿数目限制对于不同能力考生高考录取结果的影响。聂海峰（2007a）分析了出分填报时“志愿优先”录取机制下的志愿填报博弈，并比较了双边市场（Two sided Market）文献中Gale-Shapley机制2在高考录取中的应用，表明“平行志愿”机制是一类特殊的Gale-Shapley机制。这些文献中的分析都假设了完全信息，考生的偏好是所有考生的共同知识，使得录取结果总是帕累托有效的。聂海峰（2007b）研究了不完全信息时高考录取的贝叶斯纳什均衡，发现录取结果有可能是无效率的，真实申报可能不是均衡。他的分析局限在考生人数比较少的情形，本文的分析使用了更合适的均衡概念，并且扩展到更一般的情形。

本文的研究属于从机制设计的角度研究学校录取制度的文献。Abdulkadiroglu and Sonmez（2003）第一个从机制设计角度研究了学校录取问题，分析了美国波士顿地区公立中学的择校机制。波士顿机制类似高考录取机制，也有“第一志愿优先”的特点。Ergin and Sonmez (2006)研究了波士顿机制下考生填报志愿的博弈，他们的结论被Fuhito Kojima(2006)扩展到了学校对学生排序更加一般化时的情况。Chen Yan and Sonmez（2006）利用试验经济学的方法比较了不同机制的录取效果，发现当考生偏好相似时，波士顿机制相对于Gale-Shapley机制有较大的效率损失。关于Gale-Shapley机制在美国中学录取中的应用，见Abdulkadiroglu, Pathak, Roth and Sonmez（ 2005a, 2005b,2006）。

研究不完全信息下双边匹配机制的文献日渐增多，目前的文献可以归纳为两类研究方向。一类文献从决策角度考察在给定匹配机制时参与人在不同信念下的最优策略。Roth and Rothblum(1999)研究了在实行Gale-Shapley学校最优机制时考生的最优策略问题。Lars Ehlers（2004）把他们的结论扩展到考生对学校具有更一般的信念的情形。Lars Ehlers（2003）讨论了英国医学院毕业生和实习医院匹配机制下医生的最优策略问题3。

另一类文献则从单人决策角度扩展到分析不完全信息博弈的均衡。Roth(1990)最早研究当考生对其他人的偏好不确定时的双边市场机制，证明如果使用Gale-Shapley学生最优匹配机制，即使考生对于其他人的偏好不确定，每个考生的真实偏好仍是他的均衡策略。Cole（2007）分析了Gale-Shapley学校最优机制下，当考生对学校的偏好信念是独立均匀分布时的贝叶斯纳什均衡。

关于序数贝叶斯激励相容的分析文献，Ehlers and Massó（2007）考察了不完全信息时，在一对一匹配问题（类似每个学校招生计划只有1个人的情形）中，任意稳定匹配机制下真实申报序数贝叶斯激励相容的条件4。和本文的分析最接近的是D. Majumdar（2007）的文章，他研究了一对一匹配问题中是否存在稳定的匹配机制使得所有人真实申报偏好序数贝叶斯激励相容的问题。高考录取机制不是稳定的机制，并且是一对多匹配的问题。因此，我们的2

Gale-Shapley机制由Gale and Shapley (1962)最早提出，Roth（1982）发现这个机制更早时已经被用在美国医学院毕业生劳动力市场的匹配中。关于这个机制的研究以及在其他劳动力市场的应用见（Roth and Sotomayor,1989; Roth,2003）。 3

对英国内科医生劳动力市场匹配机制的研究，也参见（Roth，1991）。 4

“稳定”是指在双边匹配中的重要概念，是指在最后的结果中，不存在一对参与人同时偏好对方超过自己的匹配对象。如果对于任意给定的偏好，一个机制给出的结果相对于这个偏好是一个稳定的匹配，那么这个机制就是稳定的机制。在高考录取中，稳定对应这不存在“高分低就”。Gale-Shapley机制是一个稳定的机制，而本文分析的“志愿优先”机制不是稳定机制。更多内容见（聂海峰，2007）。

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分析也是对不完全信息时非稳定机制研究文献的补充。

三、高考录取问题

（一） 录取模型

为了分析考生的填报行为，我们先引入高考录取的模型。我们有m所大学和N位考生。大学是入学资格的提供者，学校的集合为C={c1,c2,...,cm}5。每个大学ci都有一个招生计划qci，录取的考生不能超过招生计划。所有大学的招生计划的组合记为

q=(qc1,qc2,...,qcm)。同时，我们用c0表示落榜，并且qc0=N。

考生的集合S={1,2,...,N}，每个考生i有一个分数fi，全体考生的分数组记为

f=(f1,f2,...,fN)。我们假设考生的分数都不相同，对于任意的i,j,都有fi≠fj。每个考

生i有一个对于招生学校C的严格偏好。我们假设对于所有考生i，任何一所大学都比落榜强，即 c∈C,cPc 就是m所学i0，每个学校都是可接受的。因而，考生i的偏好的集合Pi 给定考生i的一个偏好P和任意的i∈S，一个全体考校所有可能严格排列的集合P6。i∈P 生的偏好组记为P=(P1,P2,...,PN)，所有全体考生偏好的集合就是P

N

。为了强调=×Pi

i∈S

考生i的偏好，我们用P i表示除了考生i之外其他考生偏好的组合，全体考生的一个偏好组记为P=(P表示所有P i的集合，因而P i=Pi,P i)。我们用P i

N 1

。

高考录取结果就是一种大学入学资格的分配方案，我们称之为一个匹配（Match）。匹配就是满足下列性质的一个函数：σ:S→C∪{c0}，满足对任意的i∈C，都有

|σ 1(i)|≤qci。每个考生至多被一个学校录取，而每个学校录取的考生不能超过招生计划。

如果σ(i)=c0，则考生i名落孙山。我们把所有可能的学校和考生匹配的集合为M。

（二）录取机制

高考录取就是对于任意一个考生、考生分数和偏好组、学校及其招生计划的五元组

(S,f,P,C,q)，按照考生的分数和志愿，根据一定程序达到考生和学校的一个匹配。由于

5

在实际高考录取中，不仅有学校志愿，而且有学校内的专业志愿，这里我们没有考虑专业。当学校是按照分数排序来分配专业时，整个学校是一体的；而当专业只招收有志愿的学生时，学校+专业可以看作单独的一个招生单位。因此，我们这里不作区分，统一称为学校。 6

本文的分析中我们把考生的偏好限制在所有学校都是可接受的情形，我们在后文中讨论本文中的结果扩展到偏好允许不可接受学校的情形。

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在我们下文的分析中，(S,f,C,q)都是给定，因此我们用全体考生的偏好组P来表示一个录取问题。这个达到考生和学校匹配的系统的程序，我们称为录取机制。一个录取机制如果需要考生报告他对学校的偏好，这个机制就是直接机制。高考录取机制是一个直接机制，所有考生向招生组织机构申报他对学校的偏好，这在录取操作中被称为考生的志愿。考生志愿中学校的排序被解释为考生对学校的偏好次序，考生最偏好第一志愿学校，其次是第二志愿学校，然后依次类推。根据全体考生的志愿和分数，给定学校的招生计划，招生机构和学校共同按照录取机制达到考生和学校的匹配。形式上来说，高考录取机制就是函数：

:PN→M，对于任意一个全体考生的偏好组P∈PN，给出一个匹配 [P]∈M。我们

用 [P](i)或者 i[P]表示考生i在偏好组为P时由高考录取机制 得到的匹配学校。

在目前执行出分报考的各省中，下面的录取机制最为典型。这个录取机制是一种“志愿优先”的机制，具体匹配程序如下：

第一轮 先考虑所有考生的第一志愿，招生机构把志愿是同一学校的所有考生按照分数排序后发送给学校，学校根据分数从高到低一次一个依次录取。如果考生数超过计划数，超过部分的考生被拒绝；否则，录取所有的考生。

第二轮 考虑所有没有被录取的考生的第二志愿学校。如果学校已经没有空余名额，则停止招生。有空余名额的学校把志愿是该校的考生根据分数从高到低排序后依次一次一个录取，直到录取所有考生或者用完剩余的名额，拒绝掉其他的考生。

第三轮 这时还没有被录取的所有考生根据分数从高到低排序，依次考虑每个考生的剩余志愿。首先是排在第一位的考生，按照志愿顺序从高到低顺次考虑这个考生的每个志愿学校。如果考察的志愿学校没有空余名额，就考虑考生的下一个志愿；如果志愿学校仍有空余名额，考生被这个学校录取，学校的名额减少一个，如果学校的名额用完，学校停止招生；接着处理排序中下一位考生的志愿。如果没有考生愿意接受的学校，或者该考生的所有志愿学校都已经停止招生，则这名考生落榜，处理排序中下一位考生的志愿。这样，一直到所有考生都被考虑或者所有招生学校的名额都用完，录取程序停止。

高考录取机制对考生的第一志愿给予了极大的权重，并且每一轮考生的录取都是最终录取。由于考生在学校的排序依赖她申报的偏好和他的分数，他可以通过操纵自己的志愿来改变他的优先顺序。在高考录取机制下，志愿填报就成了考生之间的显示偏好博弈。考生如何申报他的偏好依赖于他对其他人偏好的信息。

在完全信息时，如果所有考生的偏好是共同知识，显示偏好博弈的纳什均衡是一个帕累托有效的匹配（聂海峰，2007a）。但是每个考生都知道所有其他考生对学校的偏好是一个非常强的假设。更加现实的情形是，考生对学校的偏好是每个人的私人信息。

7

（三） 不完全信息

对于考生不完全信息的刻画，类似机制设计文献中的传统做法，我们假设考生对于全体考生的偏好分布有一个共同的先验信念，每个考生对其他考生的偏好分布的信念是根据贝叶7

高考录取是按照省为单位来执行录取的，高考录取机制的主要特点是“志愿优先，相同志愿分数排序”，各省在具体细节上略有出入。本文中的高考录取机制为浙江省2006年使用的录取机制，这里的分析对其他省的录取机制也适用。

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斯法则计算得到的后验分布。考生的共同先验信念是P上的一个概率分布μ，满足

N

P∈Pn

∑μ(P)=1。在本文分析中，所有可行的信念是独立的，也就是说，对所有的

Nk=1

k=1,2,...,N，都存在概率分布μk:P→[0,1] ，满足下面的条件μ(P)=×μk(Pk)。由于 是m所学校的所有可能全排列集合P，这样的排列有m!个。因而，每个考生得偏好集合Pi

每个考生类型的边际分布都是P上的一个概率分布。我们把P上所有概率分布的集合记做

Δ，所有可行考生信念的集合就是ΔN。对于任意的μ∈ΔN, 对于任意的考生i∈S，考生

偏好Pi和其他人偏好P i，我们用μ(P i|Pi)或者μ i(P i)表示给定Pi时P i的条件概率。

对于任意的考生i∈S，效用函数ui:C∪{c0}→R表示了偏好P当且仅当对于i∈Pi，任意的cm,cn∈C∪{c0}，有cmPcin ui(cm)>ui(cn)。我们用Ui(Pi)表示所有表示考生i的偏好Pi的效用函数的集合。对应一个偏好序数关系，可以有多种效用函数来表示这个排序，每个表示都是考生的一个von Neumann-Morgenstern （vNM）效用函数。

在高考录取机制中，考生和学校的匹配时使用的只是考生偏好中的序数关系。下面我们定义本文中使用的序数贝叶斯激励相容的概念。这个概念最早是 d’Aspremont and Peleg（1988）研究委员会表决机制时提出的，D. Majumdar and A. Sen（2004）考查了它在投票机制设计中的应用。与通常的贝叶斯激励相容相比，序数贝叶斯激励相容要求考生的策略只依赖基数效用函数导出的排序。

对于信念μ，真实申报偏好是序数贝叶斯激励相容的，如果对于所有的i∈S，对所有的Pi,Pi∈P，对所有的ui∈Ui(Pi)，我们有如下性质成立：

'

P i∈P i

∑

ui( i[Pi,P i])μ(P i|Pi)≥

P i∈P i

∑

ui( i[Pi',P i])μ(P i|Pi)

给定高考录取机制 和一个共同信念μ，我们就得到了一个不完全信息博弈。这时，每个考生i的类型集合是Pi，这也是考生行动的集合。如果考生i的类型是Pi，全体考生选择的行动组合是P，这时考生i的支付就是u( i[P])，这里u是表示Pi的一个效用函数。如果真实偏好是序数贝叶斯激励相容的，那么真实偏好就是这个博弈的一个贝叶斯纳什均衡。由于高考录取机制是序数的，因此没有合适的计算预期效用的基数效用函数。这时，序数贝叶斯纳什激励相容要求不论用哪一个效用函数来表示考生的偏好，考生都不可能通过不真实的申报的他的偏好来得到更高的预期效用。

如果对于表示考生真实偏好排序关系的任意的vNM-效用函数，考生真实申报自己的偏好的排序都构成考生在录取机制和共同信念下导出的显示偏好博弈中贝叶斯纳什均衡，那么实话实说就是序数贝叶斯激励相容的。

我们也可以通过随机占优来定义序数贝叶斯激励相容。对任意的i∈S，对于任意的

'

'

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Pi∈P，令k=1,2,3,...,m,m+1，我们用rk(Pi)表示偏好Pi上排位第k的学校。也就是说，rk(Pi)=cj意味着|{c|cPcij|=k 1。显然，rm+1(Pi)=c0。对于所有的i∈S，对于任意的

%|cPc%}∪{c}，Pi∈P和c∈C∪{c0}我们令B(c,Pi)={c因而B(c,Pii)是偏好Pi下不差于学

校c的学校集合。

由于考生的不完全信息，他的每一个策略对他来说都得到一个可能录取学校的概率分布。真实申报偏好对于信念μ是激励相容的，如果下面的条件成立：对于所有的i∈S，所有的整数k=1,2,3,...,m,m+1和所有的Pi,Pi∈P，

'

μ({P i| i[Pi,P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)≥μ({P i| i[Pi',P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)

这个定义意味着，给定考生的信念和其他考生真实申报偏好的假设，对于学生偏好中的任意一个学校，考生真实申报自己的偏好时录取他的学校不差于给定学校的概率不小于申报任意其他可行的偏好时的概率，真实申报就是序数贝叶斯激励相容的。这类似于一阶随机占优的概念，这个学校的排序是根据考生真实的偏好。这两个定义是等价的，证明可以参见d’Aspremont and Peleg（1988）中的定理3.11。

在进入分析之前，我们在说明一下序数贝叶斯激励相容和优势策略（dominant

strategy）之间的关系。如果不论其他人如何申报，每个考生真实申报自己偏好都不比申报其他偏好的结果差，那么真实申报就是优势策略均衡。如果真实申报是优势策略均衡，对于任意的信念，考生真实申报得到得可能匹配学校的概率分布必然占优于其他策略下的概率分布，考生真实申报也是序数贝叶斯激励相容的。

四、均匀分布信念

不论考生对其他人的信念如何，一个显而易见的情形就是考生的策略依赖学校的招生人数。如果每个学校的招生人数都大于考生的人数，每个考生真实填报自己的志愿就可以被自己最喜欢的学校录取，每个学校都录取了第一志愿是自己的考生，考生不存在任何风险和策略问题。下面的两个命题表明，如果录取没有竞争性，每个考生真实申报他的偏好是优势策略。

命题1 当考生数n<3时，每个考生真实申报是他们的优势策略，因而也是序数贝叶斯激励相容的。

证明：如果n=1，显然考生真实申报是他的优势策略。

当n=2有两个考生的时候，对于分数最高的考生，显然真实申报是他的优势策略，

她总是被她的最偏好的学校录取。对于第二个考生，给定第一个考生的任意策略，如果他的第一志愿和第一个考生相同，并且这个学校只有一个名额时，他才不会被他的最偏好的学校录取。否则他真实申报时总是被最偏好的学校录取，因此没有其他策略优于真实申报。当他真实申报不能被第一志愿录取时，他真实申报时总被他第二偏好的学校录取。由于他最偏好的学校已经没有录取名额，任何其他策略都不可能改善他的录取结果，因此第二个考生真实申报是他的优势策略。

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命题2 如果学校的录取名额满足对于任意的两个学校ci,cj∈C，都有qci+qcj≥n，那么每个考生真实申报构成他的优势策略。因而对于任何信念，真实申报是序数贝叶斯激励相容的。

证明：对任意的考生i，给定其他人申报的策略组Q i，不妨假设考生i的真实偏好

Pi:c1,c2,...，这里我们只列出了他最偏好的两个学校。我们考虑如下两种情形：

(1) 如果在Q i把学校c1作为第一志愿且分数高于i的考生人数多于学校c1的录取计划qc1，

申报任何其他策略他都不能被学校c1录取，因那么考生i真实申报Pi时被学校c2录取，此没有其他策略可以改善他的录取结果。

(2) 如果在Q i把学校c1作为第一志愿且分数高于i的考生人数小于学校c1的录取计划qc1，

那么考生i真实申报Pi时被学校c1录取，比申报任何其他策略都不差。

因此，不论其他人如何申报，每个考生真实申报自己的偏好总是他的优势策略。

以上结果成立，是因为考生不用担心第一志愿没有被录取时，他的第二志愿也不能被录取。高考机制中依赖考生的分数和报告的偏好来配给入学机会，当学校录取人数有限，入学机会的稀缺性使得考生间必须竞争。“志愿优先”的机制下，考生在报告自己的偏好时要考虑其他人的偏好和学校的招生计划分布情况，权衡被第一志愿录取的概率和一旦第一志愿不能录取也不能被第二志愿录取的概率。我们下面的分析假设至少有两个学校的招生计划之和小于考生人数，并且最少有3个考生。

在这一节里，我们证明一个存在性的结果，表明在特定的条件下，真实申报对考生来说是他的激励相容的。

如下：对所有的i∈S，对任意的P,P∈P，和任意的我们先定义均匀分布信念μiii

'

(P|P)=μ (P'|P')。 P i,P 'i∈P i，我们都有 μ ii ii

在这个假设下，由于每个考生的偏好是独立的，因而每个考生的每一种可能偏好的概率

相等。每个考生偏好的边际分布就是所有学校全排列集合上的均匀分布。

由于每个考生的偏好可行集是所有学校的可能排序，均匀分布可以看作是考生的偏好中不存在热门学校的情形，对于考生来说，每一种学校排序都是可能的，并且概率相等。另一方面，均匀分布在决策模型中常常是表示决策者信息缺乏的情形，也可以是所有考生缺乏信息的刻画。

当考生的缺乏信息时，人们的直觉就是考生真实申报自己偏好对考生来说应当是均衡策略。下面的定理表明，这个直觉在一定程度上是正确的，定理的证明放在附录中了。

时，如果所有学校的招生计划数相等，每个考生定理1 当考生的共同信念是均匀分布μ

真实申报自己的偏好是序数贝叶斯激励相容的。

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评注4.1 如果考生的信念满足独立均匀分布，所有招生学校有相同的招生计划数，如果考生的分数分布和对学校偏好的信念独立，那么不论考前还是出分，每个考生真实申报自己的偏好都是序数贝叶斯激励相容的。因为如果考生对学校的偏好的分布和考生的考分分布是独立的，那么对于每一个分数的实现，真实申报都随机占优其他策略的分布。考前填报时只是使用了不同的分数分布概率进行加权，随机占优关系保持不变。因此，真实申报仍然构成序数贝叶斯纳什均衡。

评注4.2 如果招生学校的招生计划不相等，即使考生对学校的信念是均匀分布的，由于分数排序固定，真实申报时最后的录取结果分布不是对称的，因而真实申报可能不会构成均衡。当学校招生名额不相等时，真实申报可能不再是序数贝叶斯激励相容的。

例1 我们引入如下的招生问题：S={s1,s2,s3,s4}，学校C={c1,c2}，考生的分数排序从高到低依次是s1 s2 s3 s4，学校的招生名额q={qc1=1,qc2=2}。考生对学校的偏好是他的私人信息，每个考生的偏好独立同分布，每个考生有两种类型，他们的偏好服从如下的均匀分布：

1

Prob(P1:c1 c2)=2,

Prob(P2:c2 c1)=12。

在这个例子中，由于学校c2有两个位置，考生s2申报P2时以概率1被学校c2录取，而他申报P1时存在正的概率落榜，因此当考生s2的真实类型为P1时，真实申报的概率分布不可能随机占优申报P2的概率分布。因而，实话实说不是序数贝叶斯激励相容的。

五、非均匀分布信念

前面我们知道，在非常特殊的一种情形时，即当考生缺乏信息并且所有学校招生计划相

等，真实申报是考生的均衡行为。这时，考生被任意两所学校录取的概率有一种对称性，一旦招生学校招生计划不等，这种对称性就被破坏掉了。下面的定理表明，真实申报构成激励相容一般来说都是不可能的。

定理2 当考生人数N≥3，存在两个学校ci,cj，他们录取名额之和小于考生人数，也就是说qci+qcj<N时，则有：

1） 存在Δ中的一个开、稠密集合D 2） Δ D的Lebesgue 测度为零

3） 对于任意的信念μ∈D，真实申报不是序数贝叶斯激励相容的8。 8

N

N

这和D. Majumdar 和A. Sen（2004）考察序数贝叶斯纳什均衡可执行的社会选择函数的情形很类似，他们证明在信念不是均匀分布时，在信念分布的稠密开集中实话实说序数贝叶斯纳什均衡可执行的社会选择函数是独裁的社会选择函数。

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这个定理证明的关键在于“志愿优先”的录取制度下，考生真实申报时面临着一个权衡：他可能被第一志愿录取，也有可能会由于分数不够高而无法被录取，但他第二志愿学校可能会在第一轮用完招生名额，即使他的分数较高。考生要权衡满足自己第一志愿和丧失分数优势之间的风险。真实申报有可能第一志愿录取不了时，第二志愿也不能被录取，“高分落榜”的可能性使得真实填报自己的偏好不是一个最优的行为。详细的证明放在附录中了。

结合命题1和命题2，定理2意味着对于普遍的信念来说，真实申报在当前的录取机制下都不是均衡行为。这个定理解释了，为什么在现实的高考录取中，考生不得不操纵自己申报的志愿。

评注5.1 定理2中构造的信念集合D相对于独立信念集合Δ的开稠子集合，不是对于任意的信念的集合。

评注5.2 我们可以放松共同信念μ的假设，结论仍然成立。这时，允许每个人对其他人偏好有不同信念，但是关于其他人的信念仍然是独立的。这时，在每个人的信念中存在一个开稠子集，其补集的Lebesgue测度为0，真实申报相对于属于这个子集中的信念都不是序数贝叶斯激励相容的。放松共同信念的做法，可以参见D. Majumdar（2007）。

我们通过下面的例子来说明定理2的含义。

例2 我们考虑一个非常简单的考生对学校偏好信念非均匀分布的情形。在这个招生问题中有3个考生S={s1,s2,s3}，两个学校C={c1,c2}，每个学校只有一个名额，因此必然有一个人落榜。由于是考后知分填报，考生分数排序是考生的共同知识，从高到低的排序是

N

s1 s2 s3。考生对学校的偏好是每个考生的私人信息，每个考生的偏好是独立分布的。每

个考生si有两种可能的偏好，其中c0表示不上大学的选择：

Prob(P1:c1 c2 c0)=pi,Prob(P2:c2 c1 c0)=1 pi

这里，pi∈[0,1]表示考生si的偏好概率，我们取[0,1]的均匀分布作为概率pi分布的度量。 每个考生有两种偏好类型，每个考生的行动集合就是所有两所学校的完全排序集合。每个考生可以申报任意数目的学校，但是任何不完全申报都是劣策略，因此我们分析局限在了两种行动的集合上，考生行动集合包含的两种行动就是两种可能的考生类型。

在个这高考录取问题中，考生s1的分数最高，因此不论她的类型如何，真实申报她的偏好是她的优势策略。考生s3由于分数最低，两种策略下都只可能被一所学校录取，这使得如果要考生s3的不同类型真实申报，必须真实申报时被录取的概率足够高。给定其他人真实申报，他申报P1时以概率(1 p1)(1 p2)的概率被学校c1录取，而以概率

1 (1 p1)(1 p2)落榜；他申报P2时以概率p1p2的概率被学校c2录取，概率1 p1p2落榜。

因此，为了使得考生s3类型P1时真实申报，必然需要真实申报的概率一阶占优另一种申报

不完全信息时高考博弈分析

的概率：(1 p1)(1 p2)≥0,(1 p1)(1 p2)≥p1p2；同理，为了使得考生s3类型P2时真实申报，必然需要：p1p2≥0,p1p2≥(1 p1)(1 p2)，因此我们得到p1p2=(1 p1)(1 p2)。同样的推理，给定其他人真实申报，如果对于考生s2的两种类型都要真实申报最优，必然使得下面的式子成立：p1(1 p3)=(1 p1)p3。 因而，当且仅当下面的条件成立时：

(1 p3)p2(1 p1)3

==，真实申报才是序数贝叶斯激励相容的。显然，这在[0,1]中p1p3(1 p2)

是一个零测度的集合。

评注5.3 这里，我们讨论一下允许考生偏好中存在不可接受的学校时，定理1和定理2是否成立的问题。这涉及到考生的偏好为C∪{c0}严格排序时，当不是所有学校都是可接受的，即存在学校c∈C满足c0Pc，我们如何对待包含不可接受的学校的排序的问题。具体来说，假设有3个学校， C={c1,c2,c3}，对C∪{c0}上的如下2个严格偏好：

:c,c,c,c，P 2:c,c,c,c P110231032

在这两个严格偏好排序中，只有学校c1是可接受，其他两个学校都是不可接受的。如果这两

:c,c，只有包含可接受的学校是可行的。这时，如果每个学个偏好看作是同一个偏好P010

生的偏好结集合为C∪{c0}所有严格排序进行类似的等价性化简后得到的严格偏好集合，适当修改证明，定理1和定理2的结论也是成立的。这时考生偏好的集合包含所有学校都可

接受的集合。

六、总 结

人们通常的直觉认为，在信息不充分的情况下，每个人申报自己的真实偏好是一个对他最有利的方式。我们证明了这个直觉在部分程度上是正确的：在高考这样一个很多人参与的博弈中，仅当所有学校录取计划数相同时，如果每个人的信息很少，真实申报是每个人的均衡策略。如果考生人数大于3个，至少有两个学校的招生计划之和小于考生人数时，对于几乎所有的考生信念来说，真实申报自己的偏好都不是序数贝叶斯激励相容的，考生不得不操纵他申报的偏好。如何在总多的招生学校中选择一个恰当的学校排序作为最后的策略，对大部分考生和家长来说都不是一件容易的事情。

这里的分析对于理解高考制度变革中的现象也有启发意义：2000年北京市把高考填报志愿的时间从考前填报改为考后知分填报，但是许多考生发生“高分低就”，许多著名学校的录取也出现了志愿不足的小年，使得北京市有关部门把填报志愿的时间改回考前填报。发生这种现象，一方面可能是人们对变革没有充分理解而产生的保守行为，另一方面则是因为

不完全信息时高考博弈分析

即使在考后知分填报，填报志愿的策略行为使得这种现象难以避免。2007年复旦大学在上海市文科录取线达到了最低录取分数线。这种现象是学校也不愿意见到的。但是在考生操纵志愿的现状下，这可能是不能避免的。

我们的分析也有很强的政策含义：为了便于学校录取考生和考生选择学校，仅仅是提示考生操纵志愿是不够的，必须进行录取机制的改革，给考生和学校都提供充分的选择机会，才能减轻考生家庭的负担。考生“高分低就”常常挫伤考生的学习积极性和主动性，而建设创新型国家的首要任务，就是发挥人的主动性。改革录取机制，使考生和学校更好的匹配在一起，对于社会和考生个人来说，都是一件值得的事情。

我们的研究仍然有一些未解决的问题，这构成了未来研究的方向。第一，考虑任意的信念分布，当信念分布满足什么样的条件时，真实申报是序数贝叶斯激励相容的？本文证明对独立的信念一般来说不成立，因而需要限制信念的支撑集合或者允许考生间偏好的相关性。第二，考虑更一般的序数贝叶斯纳什均衡，这时一个策略组合对每一个考生的任意的和真实排序一致的基数效用函数都是预期效用最大化的。由于这要求对考生偏好的所有的基数表示同时成立，是对贝叶斯纳什均衡的精练，因而序数贝叶斯纳什均衡可能不存在。序数贝叶斯纳什均衡是否对任意的信念都存在，或者存在的条件是什么？第三，对于存在序数贝叶斯纳什均衡的信念，均衡的性质是什么？这些问题的解决，将使我们更好的解释考生的行为，了解录取机制的运行。

附 录

1）定理1的证明：

这里我们证明的思路是当所有学校的招生计划相等时，说明高考录取机制满足匿名性和正向联系性。这是Lars Ehlers (2003)考查英国内科医生劳动力市场的匹配机制中提出的概念。他证明对于满足匿名性和正向联系的机制，如果考生的信息结构中这两个学校是对称的，则在申报的志愿中保持学校真实的排序的策略占优相反排序的策略。使用这个引理，我们证明每个人真实申报时的概率分布随机占优其他策略时的分布。为了完整起见，我们重复了他的证明。

在高考招生录取的环境下，如果在其他考生的偏好中学校c和c'偏好排序是等可能的，我们就说考生对学校c,c'的信念是对称的。令Pi表示考生i的偏好，Pi

c c'

表示在Pi中，学

c c'

校c和c'位置对换后得到的偏好。如果Pi的偏好形式是c c1 c' ...cm，则Pi

就是

c' c1 c ...cm。任意一个考生i∈S，一个其他考生的偏好组P i，则P ci c'=(Psc c')s∈S\i

表示其他每个考生的偏好都把学校c和c'位置对换后形成的新偏好组。我们称考生i的信念

μ(P i|Pi)是{c,c'}对称的，如果对于任意的P i，下面的条件成立：

μ(P i|Pi)=μ(P ci c'|Pi)

下这个条件对任意i∈S和任意的{c,c'} C组合都成立。 显然，在均匀信念μ

接下来，我们先说明在所有学校有相同的招生计划数时，高考录取机制满足的两个性质： 1）匿名性 （Anonymous） 对于匹配σ，一个新的匹配σ变换得到的匹配：（1）如果σ(i) {c,c'}，则σ

c c'

c c'

是通过对σ进行如下的

(i)=σ(i)；（2）如果σ(i)=c，则

不完全信息时高考博弈分析

c c'

σc c'(i)=c；（3）如果σ(i)=c'，则σ(i)=c。当所有学校有相同的招生计划数时，

高考录取机制满足这个性质：对于高考录取机制 ，给定考生的申报偏好的Q，如果

[Q]=σ，则有 [Qc c']=σc c'。

我们考虑在Q

c c'

% {c,c'}都时，高考机制的录取过程。考虑第一轮，这时每个学校c

有和偏好为Q时同样的考生集合，而学校c的考生集合是偏好为Q时在c'的考生集合，而学校c'的考生集合是偏好为P时在c的学生集合。由于所有学校都有相同的录取计划数，因此在这一轮被拒绝的考生和剩余的学校招生计划数在偏好为Q学校c'的剩余计划数交换，所有本轮录取的被录取的考生有 [Q

c c'

和Q相同，学校c的和

c c'

]=σc c'。考虑第二轮，

Q时第二志愿是学校c的学校集合在Qc c'是学校c'的学生集合，在本轮录取考生在Qc c'

时的录取结果和第一轮类似，也满足 [Q也满足 [Q

c c'

c c'

]=σc c'。类似的，在其他步骤中录取的考生

]=σc c'。因而，当所有学校有相同的招生计划数时，高考录取机制满足匿

名性。当学校的招生计划不相等时，这个性质可能不成立。

2）正向联系 （Positive Association） 给定一个偏好组，一个考生把他在这个偏好组下录取他的学校和偏好中排在前边的一个没有录取他的学校交换位置形成新的偏好，如果其他人的排序不变，考生提交这个新的偏好得到的录取结果仍然是原来的录取学校。用符号表示，就是对于所有的P∈P，任意的考生i，任何两所学校c，c'∈C，如果 [P](i)=c，并且c'Pci，则有 [Pi

c c'

N

,P i](i)=c。

在高考录取机制下，这个性质成立。如果考生i在 [P]是在第二轮录取，那么此前学校c有空余名额，给定其他考生偏好不变，学校c在第一轮的剩余名额不变，因此

[Pic c',P i](i)=c。如果考生在 [P]是在第三轮排序录取，则给定其他人偏好不变，在

考生i选择时剩余的招生学校计划不变。因而， [Pi

c c'

,P i](i)=c。

引理A.1 (Lars Ehlers, 2003) 令 为一个满足正向联系和匿名性的机制，对于i∈S，

c,c'∈C，μ(P i|Pi)是一个{c,c'}对称的信念分布。令Pi,i∈Pi满足cPci'，i'，则有

对所有的整数k=1,2,3,...,m,m+1：

μ({P i| i[i,P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)≥μ({P i| i[i c',P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)

不完全信息时高考博弈分析

引理A.1的证明：对于任意的v∈F，且v {c,c'}。对于任意的P i，根据录取机制的匿名性，我们有 [P](i)=v当且仅当 [P

c c'

](i)=v。因为在{c,c'}对称偏好分布下， i和

c c' c'

的概率是相同的，因而 μ i( [Pi,P i](i)=v)=μ i( [i,P i](i)=v) （1） i

对于P i，如果

[P](i)=c'，根据i'和录取机制的正向联系性，必然有

[i c',P i](i)=c'。因此，μ i( [Pi,P i](i)=c')≤μ i( [i c',P i](i)=c') （2）

因而，根据（1）（2），由于cPci'，我们对所有的整数k=1,2,3,...,m,m+1：

μ({P i| i[i,P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)≥μ({P i| i[ic c',P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)

Q.E.D.

证明：当所有学校招生计划数相同时，高考录取机制 满足匿名性和正向联系性。当考生

时，对任意i∈S和任意的{c,c'} C组合，给定其他考生真实申报自己信念是均匀分布μ

的偏好，对于任意两所学校{c,c'}，考生i对其他人偏好的信念满足{c,c'}对称性。

对任意考生i,真实偏好为Pi，不妨设Pi为c1Pci2Pci3...Pcim。对于任意i∈Pi，若

i≠Pi，令σ:{1,2,..m}→{1,2,..m}是一个一一在上映射使得cσ(1)iσ(2)iσ(3)...iσ(m)。

由于i≠Pi，存在i,k∈{1,2,..m}，使得

σ(i)≥i+k,σ(i+k)≤i,且对于所有的

j∈{i+1,...i+k 1},σ(j)=j。因而，我们有cσ(i+k)Pciσ(i)和cσ(i)iσ(i+k)，根据引理A.1，

我们有对所有的整数k=1,2,3,...,m,m+1：

μ({P i| i[iσ()

i

c

cσ(i+k)

,P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)≥μ({P i| i[i,P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)。 ≠Pi，我们可以令P=i

i

cσ(i) cσ(i+k)

如果这时i

cσ(i) cσ(i+k)

，对P

i继续刚才的步骤。我们

可以看到，每次变换不改变和真实偏好相同位置的学校的位置，仅是把和真实偏好次序相反的学校排序交换。这样，经过有限步后，我们可以得到和真实偏好相同的排序，每一次变换后的偏好随机占优变换前的偏好。根据传递性，我们最后有对所有的k=1,2,3,...,m,m+1

μ({P i| i[Pi,P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)≥μ({P i| i[i,P i]∈B(rk(Pi),Pi)}|Pi)

这样，给定其他人真实申报自己的偏好，考生i真实申报自己的偏好随机占优其他偏好。因此，实话实说是序数贝叶斯激励相容的。Q.E.D.

不完全信息时高考博弈分析

2）定理2的证明：

定理证明由以下几个步骤完成，在第一步，我们定义信念的集合D,并表明它是信念集合

ΔN中的开、稠密子集，并且它的补集的Lebesgue测度为0。在第二步，我们表明对于集合D中的任意信念μ，如果实话实说是序数贝叶斯激励相容的，需要满足一定的性质，我们

把这个性质记为性质T。 在第三步，我们表明“志愿优先”高考录取机制中性质T并不成立，来完成证明。

第一步：构造信念集合。

我们知道，所有可行的信念是独立的，也就是说，对所有的k=1,2,...,N，都存在概率分布μk:P→[0,1] ，满足下面的条件μ(P)=× 对任意的Q P

N

N

k=1

μk(Pk)。

，我们定义Q的概率μ(Q)=

N

∑

P∈Q

μ(P)。集合D定义为满足如下

性质的信念μ的集合： 对所有的Q,T P

，

[μ(Q)=μ(T)] [Q=T]。

首先我们表明D是Δ中的开集。对任意的μ∈C，我们定义

N

φ(μ)=

S,T P

minN

,S≠T

|μ(S) μ(T)|

N

∈Δ并且可以看到φ(μ)>0。因为φ是μ的连续函数，因而存在ε>0满足对所有的μ

)<ε（这里的距离d( , )为ΔN上的欧式距离） )>0。 ∈D。d(μ,μ，我们有φ(μ这意味着μ

因此， D是Δ中的开集。

接着我们说明Δ D的Lebesgue测度为0。一个事实就是Δ是N个单形的Cartesian乘积，每个单形m! 1维。另一方面，我们也有Δ D=

N

N

N

N

N

N

Q,T PN

U

{μ∈ΔN|μ(Q)=μ(T)}。

从而，Δ D是有限个与Δ相交的超平面的并集。这就意味着它是一个低维集合因而它的Lebesgue测度为0。

对任意的μ∈Δ，考虑以它为中心的一个半径为ε的开领域。因为它的领域的测度是严格正数而Δ D的测度为0，这个领域和集合D的必定有非空交集。这就表明集合D是

N

N

ΔN的稠密集合。

这样，我们就完成了第一步证明。

必然满足性质T。 第二步：我们证明如果在信念μ∈D下真实申报是序数贝叶斯激励相容的，为了完成第二步，我们证明下面的中间结果。对于μ∈Δ和任意的i∈S，μ i(P i)表示除

N

不完全信息时高考博弈分析

了考生i之外其他考生的偏好为P i的概率。类似地，μi(P i)表示考生i的偏好为Pi的概率。引理 A.2 对任意μ∈D，对所有的Q,T P

N 1

，[μ i(Q)=μ i(T)] [Q=T]。

N 1

证明：假设命题不成立，那么必然存在一个μ∈D和Q,T P，并且Q≠T，但是有

μ i(Q)=μ i(T)。考虑考生i的一个偏好Pi，我们有如下的结果：

这意味着

μ i(Q)μi(Pi)=μ i(T)μi(Pi)

μ(Q×{Pi})=μ(T×{Pi})。但是Q和T不相同，因而Q×{Pi}和T×{Pi}也不相

同。这和μ∈D的假设矛盾。Q.E.D.

我们构造的信念集合D有一个重要的性质：对这个集合内每个信念导出的任意考生偏好的边际分布都对所有的偏好都有正的概率。否则就存在不相等的偏好集合有相同的概率。这一点意味着没有对可行的偏好的范围进行限制。

令P为全体考生的一个偏好组，i为任意一个考生，Pi'和Pi的最偏好的两个学校相同，但是第一和第二位的学校交换了位置。性质T的含义是，给定其他人申报的志愿，如果把一个学校作为第一志愿被录取而作为第二志愿他不被录取，那么把第二志愿学校作为第一志愿的时候他应该被第二志愿学校录取。正式的，我们定义如下：

性质T定义： 对所有的考生i∈S，对于整数k=1,2，对所有的P i和所有的Pi,Pi'，

Pi:c1,c2,...，Pi`:c2,c1,...（除了排名前两位的学校，对其他学校的排序任意）。如果真实

申报偏好是OBIC，对于任意的学生i∈S，必然有如下性质成立：

P i∈{P i| i(Pi,P i)=c1, i(Pi',P i)≠c1} P i∈{P i| i(Pi',P i)=c2, i(Pi,P i)≠c2}

接下来我们证明高考录取机制下，如果共同信念μ∈D，真实申报是OBIC，必然满足性质T。

如果对信念μ∈D真实申报是OBIC，考虑任意的考生i∈S，考虑他的偏好Pi:c1,c2,...，

Pi':c2,c1,...，如果考生i的真实偏好是Pi,必然有如下性质成立：

μ i(P i| i(Pi,P i)=c1)≥μ i(P i| i(Pi',P i)=c1) （3）

μ i(P i| i(Pi,P i)∈{c1,c2})≥μ i(P i| i(Pi',P i)∈{c1,c2}) （4）

如果考生i的真实偏好是Pi',必然有如下性质成立：

μ i(P i| i(Pi',P i)=c2)≥μ i(P i| i(Pi,P i)=c2) （5）

μ i(P i| i(Pi',P i)∈{c1,c2})≥μ i(P i| i(Pi,P i)∈{c1,c2}) （6）

不完全信息时高考博弈分析

下面我们定义几个集合，

令T1={P i| i(Pi,P i)=c1}，S1={P i| i(Pi',P i)=c1}

T2={P i| i(Pi,P i)=c2}，S2={P i| i(Pi',P i)=c2}

T1\S1={P i| i(Pi,P i)=c1, i(Pi',P i)≠c1} S2\T2={P i| i(Pi',P i)=c2, i(Pi,P i)≠c2}

根据（4）和（6），我们得到如下的等式：

μ i(P i| i(Pi`,P i)∈{c1,c2})=μ i(P i| i(Pi,P i)∈{c1,c2})

因为μ∈D，因此T2∪T1=S2∪S1

由于Pi和Pi'的第一志愿不同，根据高考志愿优先的性质，给定其他人的偏好P i，如果可以被第二志愿录取，那么把该学校列为第一志愿一定也可以被录取，因而

S1 T1,T2 S2。

根据

(T1∪T2)\(T2∪S1)=T1\(T2∪S1)=T1\S1(S2∪S1)\(T2∪S1)=S2\(T2∪S1)=S2\T2

可以得到T1\S1=S2\T2，这意味着下面等式成立：

{P i| i(Pi,P i)=c1, i(Pi',P i)≠c1}={P i| i(Pi',P i)=c2, i(Pi,P i)≠c2}

这表示如果

P i满足 i(Pi,P i)=c1, i(Pi',P i)≠c1，必然也满足

i(Pi',P i)=c2, i(Pi,P i)≠c2。这就完成了第二步的证明。

第三步，我们证明性质T不成立。

不妨假设学校c1,c2的录取名额满足qc1=k,qc2=t，并且k+t<N。把考生按照分数排序后，我们考虑考生i=k+t+1，我们考虑其他考生的一个偏好组P i*如下：

考生 1的偏好P1:c2,c1,.......... 考生2的偏好P2:c2,c1,..........

*

:c,c,.......... 考生3―考生k+1的偏好P112 :c,c,.......... 考生k+2—考生i 1的偏好P221

*

不完全信息时高考博弈分析

:c,c,.......... 考生i+1—考生N的偏好P321

*

:c1,c2,..........,Pi*':c2,c1,..........。这里，省略号表示其他学对于考生i，他的两个偏好Pi*

校的任意排序。

我们有 i*(P,P i*)=c1, i*(Pi*',P i*)≠c1，考生i把学校c1作为第一志愿，在第一论i*

该校有空余名额他可以被录取，但是他把学校c1作为第二志愿时，第二轮他的分数不够高，不会被录取c1录取。 但是即使把学校c2列为第一志愿，他由于分数不是很高，根本不会被学校c2录取

*

*

i(Pi',P i)≠c2。因此，存在考生i*∈S，对于两个偏好

*

*

*

Pi*:c1,c2,..........,Pi*':c2,c1,..........，存在P i*满足P i*∈T1\S1,P i* S2\T2，使得T1\S1≠S2\T2。

由于μ的性质，考生i的边际偏好分布的支撑集合必然是全部可能的偏好，因此上面的偏好是可能的。在志愿优先的机制下，低分考生可以利用高分考生的偏好“撞车”来得到

比较好的结果，但这也使得真实填报志愿不能构成均衡。因此，对几乎所有信念来说，实话实说不是序数贝叶斯激励相容的。Q.E.D.

*

参 考 文 献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r1n4.html