湖北省黄冈中学2013届高三10月月考（数学理）教师

湖北省黄冈中学2013届高三十月月考数学试题（理）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的） 1．复数

i1?i12?的共轭复数为（ ）

?1212i

A．? D．

12 B．

12?12i C．?12?12i

i

【答案】 C 【解析】

i1?i?i?(1?i)2??1?i2??12?12i

2．已知p:“a,b,c成等比数列”，q:“b?ac”，那么p成立是q成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分又非必要条件

【答案】D

【解析】若a，b，c成等比数列，则b??ac；若b?ac，则有可能b?0,a或c?0

3．等差数列?an?的前n项和为Sn，若a3?a9?a15?a17?0，则S21的值是（ ）

A.1 B. ?1 C. 0 D.不能确定

【答案】 C

【解析】a3?a9?a15?a17?4a11?0,?a11?0,S21?21a11?0 4．如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是（ ）

A．P1P2?P1P3 C．P1P2?P1P5 【答案】A

【解析】利用向量数量积P1P2?P1Pi(i=1,2,3,4,5,6)的几何意义:数量积P1P2?P1Pi等于P1P2的长度

?????P1P3?????P1P2?????????? B．P1P2?P1P4 D．P1P2?P1P6

???????????????????????????????????????????????与P1Pi?????在P1P2的方向上的投影P1Picos的乘积.显然由图可知

??????????????????在P1P2方向上的投影最大.

5．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体

的俯视图的是（ ）

A．（1），（3） B．（1），（4） C．（2），（4）

D．（1），（2），（3），

（4）

【答案】A

【解析】可以是一个正方体上面一个球，也可以是一个圆柱上面一个球.

?f(x?4),x?0?则f(2012)等于（ ） 6．若f(x)??x21e??dt,x?01?t?A. 0 【答案】D

B. ln2 C. 1?e2 D.1?ln2

【解析】f(2012)?f(0)?e?ln2?1?ln2 7．?ABC中，A???0?3，BC＝3，则?ABC的周长为（ ） ???????3 B．43sin?B???3 3?6??A．43sin?B?C．6sin?B??????????3 D．6sin?B???3 3?6??【答案】D

【解析】方法1：由正弦定理得

3sin?3?bsinB?csinC?b?csinB?sinC2?3?b?csinB?sin(2?3?B)，

得b＋c＝23[sinB＋sin(

??－B)]＝6sin(B??6)．故三角形的周长为：3＋b＋c

＝6sin?B?????3． 6?方法2：可取△ABC为直角三角形时，即B＝C．

?6，周长应为33＋3，故排除A、B、

8．已知实数a,b满足等式2a?3b，下列五个关系式：①0?b?a;②a?b?0;③

0?a?b; ④b?a?0;⑤a?b.其中可能成立的关系式有（ ）

A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ 【答案】B

D．③④⑤

【解析】设2a?3b?k,则a?log2k,b?log3k，分别画出

y?log2x,y?log3x的图像可得.

9. 函数y?f(x)为定义在R上的减函数，函数y?f(x?1)的图像关于

点（1,0）对称， x,y满足不等式f(x2?2x)?f(2y?y2)?0，

?????????M(1,2),N(x,y)，O为坐标原点，则当1?x?4时，OM?ON的取值范围为（ ）

A．?12,??? B. ?0,3? C. ?3,12? D.?0,12? 【答案】D

【解析】函数y?f(x?1)的图像关于点（1,0）对称，所以f(x)为奇函数，

?f(x?2x)?f(y?2y)，?x?2x?y?2y，

2222?x2?2x?y2?2y?(x?y)(x?y?2)?0??，即?，画出可行域，可得

1?x?4??1?x?4x?2y??0,?1 21?x?,x?0?10. 已知函数f(x)??，则方程f(2x2?x)?a（a?2）的根的个数不可能x?x3?3,x?0?为（ ）

A．3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】A

【解析】画出f(x)图像知，当2?a?3时，

f(x)?a有

3个根，一负二正，当3?a时，

t??18f(x)?a有22个正根.令t?2x?x，则.当2?a?3时，f(t)?a有3个

t使之成立，一负二正，两个正

t分别对应2个x，当负t??18时，没有x与之对应，当负t??18时，有1个x与

之对应，当负t??18时，有2个x与之对应，所以根的个数分别为4、5、6个；当3?a时，f(t)?a有2个正根，两个正t分别对应2个x，此时根的个数为4个.所以根的个数只可能为4、5、6个.

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上）

11．如图，下图为幂函数y＝xn在第一象限的图像，则c1、c2、c3、c4的大小关系为 ．

【答案】c3

【解析】观察图形可知，c1>0，c2>0，且c1>1，而0

所示，则f?1??f?2??f?3????f?2012?? ． 【答案】22?2 【解析】由图象知

??0,??2?T?y 2 0 2 6 x ?4,?f?x??2sin?x4，其图象关于

称

?,?f8

知

?0?4,0?,x?2,x?6f?1??对

f?2?，

?,???????T?f83??f?1??f?2??f?3????f?2012??f?1??f?2??f?3??f?4???2?3?4??? ?f?1??f?2??f?3??f?4??2?sin?sin?sin?sin??22?2.4444??13．已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两

????????????????14点，若AB??AE(??0)，AC??AF(??0)，则?的最小值是 ．

??9

【答案】

2

????????????【解析】由题意得，AB＋AC＝2 AD＝

?????????????λ???μ????λAE＋μAF?AD＝AE＋AF，又

D、E、

2λμ14

F在同一条直线上，可得＋＝1.所以＋＝

22λμ

λμ1452λμ59

(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当2λ＝μ时取等号． 22λμ2μ2λ22

2

214．设p:?x?(1,)使函数g(x)?log2(tx?2x?2)有意义，若?p为假命题，则t的

52取值范围为 ．

【答案】t??12

5【解析】?p为假命题，则p为真命题. 不等式tx2?2x?2?0有属于(1,)的解,即t?∈[?2x122?2x有属于(1,)的解.又1?x?212552时,

25?1x?1,所以

2x2?2x=2(1x?212)?212,0).故t??.

15．对于各项均为整数的数列?an?，如果ai?i(i=1，2，3，?)为完全平方数，则称数 列?an?具有“P性质”．不论数列?an?是否具有“P性质”，如果存在与?an?不是同一数列的?bn?，且?bn?同时满足下面两个条件：①b1,b2,b3,...,bn是a1,a2,a3,...,an的一个排列；②数列?bn?具有“P性质”，则称数列?an?具有“变换P性质”．下面三个数列：①数列?an?的前n项和Sn?n3(n?1)；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，?，11.具

2有“P性质”的为 ；具有“变换P性质”的为 .

【答案】①；②

【解析】对于①当n?2时，an?Sn?Sn?1 ?n3(n?1)?2n?13[(n?1)?1]?n?n, 又a1?0,所以an?n?n(n?N).

222*2 所以ai?i?i(i?1,2,3,?)是完全平方数，数列{an}具有“P性质”； 对于②，数列1，

2，3，4，5具有“变换P性质”，数列{bn}为3，2，1，5，4；对于③，数列1，2，3，?，11不具有“变换P性质”，因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，?，11不具有“变换P性质”.

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．(本小题满分12分) 已知集合M?{x|(x?4)(x?2)(x?7)(x?1)?0}，集合N?{x|2ax?3a?x，a?0}，求集合

T?{a|M?N??}．?3a?x?0，?【解析】M?{x|?2?x??1，或4?x?7}，又2ax?3a?x??ax?0，或

?2?4ax?(3a?x)?x?3a，?3a?x?0，??x?3a，?x?0，或（以上a＜0）?9a?x?3a或 ????ax?0，?x?0?9a?x?a?3a?x?0?9a?x?0，所以N?{x|9a?x?0}；

M?N??，所以9a??1，即a??19，所以T?{a|a??}.

9117．(本小题满分12分)

已知x??62（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）作出函数f(x)在x?[0,?]上的图象简图（不要求书写作图过程）．

是函数f(x)?(asinx?cosx)cosx?1图象的一条对称轴．

【解析】（Ⅰ）∵f(x)?∴f(x)最值是?∵x??61212asin2x?212cos2x，

a?1，

是函数f(x)图象的一条对称

?12a?1，

2轴，∴f()??6∴

12asin2(?6)?12cos2(?6)??12a?12， 整理得

(a2?322)?0，∴a?3；

（Ⅱ）f(x)?sin(2x?

18．(本小题满分12分)

?6) ,画出其简图如下：

已知数列?an?满足a1?1，a2??13，an?2?2an?1?an?2n?6 （Ⅰ）设bn?an?1?an,求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求n为何值时，an最小（不需要求an的最小值）

【解析】（I）?bn?an?1?an,?an?2?2an?1?an?bn?1?bn?2n?6 ?bn?bn?1?2(n?1)?6,bn?1?bn?2?2(n?2)?6,....,b2?b1?2?6将这n?1个等式相加，得bn?b1?2[1?2?...?(n?1)]?6(n?1)2

?bn?n(n?1)?6(n?1)?(a2?a1)?n?7n?82即数列{bn}的通项公式为bn?n?7n?8

（Ⅱ）若an最小，则an?an?1且an?an?1.即bn?1?0且bn?1?0

2??n?7n?8?0注意n是正整数，解得8≤n≤9 ??2??(n?1)?7(n?1)?8?0∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小 19．(本小题满分12分)

某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)?kn?1n?Z（k＞0，k为常数，

且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元． （Ⅰ）求k的值，并求出f(n)的表达式；

（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

【解析】（Ⅰ）由g(n)?kn?1，当n＝0时，由题意，可得k＝8，

所以f(n)?(100?10n)(10?8n?18n?1)?100n．

（Ⅱ）由f(n)?(100?10n)(10?)?100n?1000?80

(n?10n?1)?1000?80(n?1?9n?1)?1000?80?29?520．

当且仅当n?1?9n?1，即n＝8时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元. 20．(本小题满分13分)

已知函数f?x??1?x221?x?x?x?R?.

（Ⅰ）求函数f?x?的极大值；

（Ⅱ）若?et?2?x2?etx?et?2≥0对满足x≤1的任意实数x恒成立，求实数t的

取值范围（这里e是自然对数的底数）；

（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、?、?，恒有

222???a??b?2??a??b??a2??b2???a??b?. f???≥????f?????????????????????????【

f??x??解

?2x?1?x?x2析

2】（Ⅰ

3??）

?3和

x???2?3????x???2????2x?1??1?x????????1?x?x??1?x?x?2222?∴f?x?的增区间为??2?3,?2??3,?2，f?x?减区间为??????2?3,??.极大值为f?2?t??3?2?233. ≤1时，

（Ⅱ）原不等式可化为e∴

2?1?x2≥2?1?x?21?x?x433由（Ⅰ）知，xf(x)的最大值为

2333.

?21?x?x的最大值为，由恒成立的意义知道et≥22433，从而t≥ln43 （Ⅲ）设g?x??f?x??x?则g??x??f??x??1?1?x21?x?x?x?x?0?

x?2x?4x?6x?2432??x?4x?1??1?x?x?22?1???1?x?x?22.

∴当x?0时，g??x??0，故g?x?在?0,???上是减函数，

22???a?b???a??b??a??b??≤0 又当a、b、?、?是正实数时，???2?????????????22??a??b??a??b∴?. ≤?????????222???a??b?2???a??b?2??a2??b2由g?x?的单调性有：f???????≥f?????????????????????a2??b2， ??????222???a??b?2???a2??b2???a??b??a??b即f??. ?≥????f?????????????????????????21．(本小题满分14分)

已知数列{an},a1?a2?2,an?1?an?2an?1(n?2) （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）当n?2时,求证:

1a1?1a2?...?1an?3

2*（Ⅲ）若函数f(x)满足：f(1)?a1,f(n?1)?f(n)?f(n).(n?N)

n 求证：?k?11f(k)?1?12.

【解析】?an?1?an?2an?1,两边加an得: an?1?an?2(an?an?1)(n?2),

?{an?1?an} 是以2为公比, a1?a2?4为首项的等比数列.

?an?1?an?4?2n?1

?2?2---------①

n由an?1?an?2an?1两边减2an得: an?1?2an??(an?2an?1)(n?2)

?{an?1?2an} 是以?1为公比, a2?2a1??2为首项的等比数列. ?an?1?2an??2?(?1)n?1

?2?(?1)-----------②

n①-②得: 3an?2[2n?(?1)n] 所以,所求通项为an??1an?13?1an?31123[2?(?1)]

nn (2) 当n为偶数时,

?[n?1?n]??n?1nnn?122?12?122?2?2?2?1nn?1n32n?1?2n

2?232?2311?n?1n???(?)(n?2)n?1n?1nn?1n22?2?2?122?2222n?111?n111311131???...??(1??2?...?n)??2?3?3?n?3

1a1a2an2222221?2当n为奇数时,?an?23[2?(?1)]?0,?an?1?0,nn1an?1?0,又n?1为偶数

?由(1)知,

1a1?1a2?...?1an?1a1?1a22?...?1an?1an?1?3

（3）证明：?f(n?1)?f(n)?f(n)?0

?f(n?1)?f(n),?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?????f(1)?2?0

又

1f(n?1)1f(n)?1?1f(n)?f(n)1f(n)12?1f(n)[f(n)?1]?1f(n)?1f(n)?1

???f(n?1)n??k?11f(k)?1?[?1f(1)1f(1)??1f(2)1]?[?1f(2)1??1f(3)12.]?????[1f(n)?1f(n?1)]

f(n?1)f(1)

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