丁磊 毕业论文

盐 城 师 范 学 院

毕业论文

沃利斯公式的证明及其应用

学生姓名 丁 磊 学 院 数学科学学院 专 业 数学与应用数学 班 级 10（2）班 学 号 10211255 指导教师 韩 诚

2014年 5 月 25 日

毕业论文（设计）承诺书

本人郑重承诺：

1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的.

2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的.

3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.

4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负.

学生（签名）：

2014 年5月25日

沃利斯公式的证明及其应用

摘 要

Wallis公式在求Euler-Poisson积分和推导Stirling公式的过程中扮演了很重要的角色．近几年来，国内很多数学分析的教材都引入Wallis公式，但教材中关于其应用的论述很少．本文针对Wallis公式的证明并将Wallis公式进行两个简单推广，从数列极限计算、积分计算以及级数收敛性判断几个方面探讨Wallis公式的应用，为微积分教学提供有意义的素材和思路．

【关键词】Wallis公式；极限；积分

Proof and Its Applications of Wallis Formula

Abstract

The formula of Wallis plays an important role in the process to obtain the Euler- Poisson integral and the derivation of Stirling formula. In recent years, many domestic analysis mathematics textbooks into Wallis formula, but little about the applications of the teaching material. This paper proves that the little Wallis formula and the Wallis formula is two simple promotion, as well as the series convergence judgment application aspects of Wallis formula from the sequence limit calculation, integral calculation, to provide significant material and ideas for the teaching of calculus.

[Key words] Wallis formula, limit, integral

目 录

引 言 ................................................................ 1 1 沃利斯公式的证明及推广 .............................................. 1

1.1沃利斯公式的新证明 ............................................. 1

1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程 .............. 1 1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式 .............................. 3 1.2沃利斯公式的推广 ............................................... 4

1.2.1含参数的沃利斯公式 ........................................ 4 1.2.2含沃利斯公式的不等式 ...................................... 5

2 沃利斯公式的应用 .................................................... 7

2.1 沃利斯公式在极限计算中的应用 ................................... 7 2.2 沃利斯公式在积分计算中的应用 ................................... 9 2.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用 .............................. 11 3 总 结 .............................................................. 13 参考文献 ............................................................. 14

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引 言

近几年来，国内很多数学分析教材都引入Wallis公式，关于其证明方法有很多种，一般都是利用积分Jn??sinnxdx??cosnxdx证明的，本文将借助类比思维，分别利用根与系数关系的思维方法和含参量定积分来证明Wallis公式．此外，教材中关于其应用论述的很少，这是为什么呢？因为很多可以应用Wallis公式的“高地”被斯特林公式占领了．但本文搜集到一些不能应用斯特林公式却可以能应用Wallis公式的例子．且Wallis公式在推导斯特林公式中扮演很重要的角色，从加深理解Wallis公式的角度探求其一些简单推广以及其在极限计算、积分计算和级数收敛判别方面的应用．

1 沃利斯公式的证明及推广

1.1沃利斯公式的新证明

沃利斯公式??指的是

11?2?4(2n)?? lim???. n??2n?11?3(2n?1)2??2经过开平方后，则Wallis公式可以写为

(n!)222n lim??.

n??(2n)!n现引入这样的数学记号：1?3?5式又可以写成

1?(2n)!!??(2n?1)!!?lim?或lim2n?1?. （1-1） ??n??2n?1(2n?1)!!n??2(2n)!!2??2(2n?1)?(2n?1)!!，2?4?6(2n)?(2n)!!，则Wallis公

1.1.1有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程

类比的思维是人们把个别问题解决后所得到的经验用来解决其他近似问题的一种类似联想的思维的方法，类比这个重要的数学思想方法，曾被波利亚称为科学发现的“伟大引路人”[2]，被17世纪德国著名天文学家和数学家开普勒视为“知道大自然一切秘密”的“导师”.在这我们也将采用类比思维.

2对于有限次代数方程b0?b1x?b2x??nbnx?0，b0?0 假如有n个不同的根

k1,k2,k3,,kn，那么左边的多项式就可以表示为k线性因子乘积，即

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b0?b1x?b2x2??x??x??x??bnxn??1???1???1???k1??k2??k3??x?1??? ?kn?比较这个恒等式两边x的同次幂的系数，就可以得到根和系数的关系. 特别是偶数次方程a0?a1x2?a2x4??(?1)nanx2n?0有2n个不相同的根

?1,??1,?2,??2,,?n,??n，则有

a0?a1x?a2x?二次项系数有

?11a1?a0?2?2???1?21??2?. ?n?24?x2??x2??x2??(?1)anx?a0?1?2??1?2??1?2???1???2??a3?n2n?x2??1?2?，我们比较??n?根据幂级数展开式??，在x?0，则

1sinxx2x4x6x8?1?????x3!5!7!9!.

利用无穷多项方程

x2x4x6x81?????3!5!7!9!?0. （1-2）

由于方程（1-2）的根为：??,?2?,?3?,?4?,?5?,?6?，则

sinxx2x4x6x8?1?????x3!5!7!9!即

?x2??x2??x2???1?2??1??1?2??2??(2?)(3?)???????x2??1?2?(n?)???x2????1?2?(n?)n?1???sin?x??x2? ???1?2?. （1-3）

?xnn?1??x2因为?绝对收敛，所以这无穷乘积是绝对收敛的. 2n?1(n?)?在（1-3）中令x?1，得 222??(2t)!!?1(2n)2?t2n?1???lim???lim, ??t??(2t?1)!!2n?1(2n?1)(2n?1)t???n?12n?1?2n?12t?1????沃利斯公式（1-1）得证.

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1.1.2应用含参量积分证明沃利斯公式

引理1 设J(m,n)??2sinmxcosnxdx(m,n???)，则有

0?3?? J(m,n)?定理1 设In??xn01n?1m?1J(m,n?2)?J(m?2,n). m?nm?nn?1In?2. 1?x2dx，n???，证明In?n?2证明 令x?sint，根据引理1得

?n?1n?1n?222In??2sintcostdt?J(n,2)?J(n?2,2)?sintcostdt ?00n?2n?2n2?n?11n?21?x2n?11n?2n?12 令sinxdx?x1?xdx?In?2. t?x??200n?2n?2n?21?x由于

I0??101?xdx?2?1，I1??x1?x2dx?，

0431因此当n?2m(m?1,2,)时，即

I2m?2m?12m?3?2m?22m31?(2m?1)!!?. ???644(2m?2)!!2当n?2m?1(m?0,1,2,)时，

I2m?1?2m2m?2?2m?32m?1421(2m)!!???. 753(2m?3)!!则

1In??xn0?(2m?1)!!?n?2m,?(2m?2)!!2,? 1?x2dx???(2m)!!,n?2m?1.?(2m?3)!!?另一方面，由定积分的保不等式性质知，当x?(0,1)时，有

?从而得到

10x2m?11?x2dx??x2m1?x2dx??x2m?11?x2dx,

0011(2m)!!(2m?1)!!?(2m?2)!!??，

(2m?3)!!(2m?2)!12(2m?1)!!从上式可得到

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?22?(2m)!!?12m?2??(2m)!!??(2m?1)???2m?1?2m?3?2???(2m?1)!!???12m?1?2m?22m?1. ?(2m)!!?2在上式中，令A1m???(2m?1)!!???2m?1，则 2m?22m?3??12m?22A?. m2m?1由于lim2m?2m??2m?3?lim2m?2m??2m?1?1，因此根据迫敛性可知lim?m??2?1A?1，因而

mlimA??(2m)!!?21m??m?2?limm????(2m?1)!!??2m?1??2. Wallis公式（1-1）得证. 1.2沃利斯公式的推广 1.2.1含参数的沃利斯公式

对任意非负实数x和正整数n，则有

2 lim?(2?x)(4?x)(2n?x)?1n????(1?x)(3?x)(2n?1?x)??2n?1?x?Ix(1?x)I 1?x?其中I2x??sinxtdt[4]0.

证明 由分部积分法知，当?u?2时，则有?

I2uu??0sintdt??2?sinu?10tdcost

?(u?1)Iu?2?(u?1)Iu.

因此有Iu?1u?uIu?2. 于是

I2n?1?x2n?3?x1?x2n?x?2n?x?2n?2?x2?xIx，

I2n?x2n?2?x2?x2n?1?x?2n?1?x?2n?1?x3?xI1?x，

从而

0?I2n?1?x?I2n?x?I2n?1?x，

即

2n?x?1?x?I2n?1?xI?I2n?1?x2n?1，

2n?1?xI2n?x令n??，利用夹逼定理并整理得到（1-4）式.

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1-4） （

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注1 令x?0，可以得到著名的Wallis公式 1.2.2含沃利斯公式的不等式

关于Wallis公式

(2n?1)!!(2n)!!1的研究一直以来都受数学家的关注[5]，1956年?nKazarinoff给出了如下含Wallis公式形式的不等式[6]

1(2n?1)!!1 ??(2n)!!?(n?12)?(n?14)本文将含Wallis公式不等式推广为 当K?2时，有下列式子成立 或 K?1K?12K?1??kK2KKnnK?1K?1, （1-5） ?knKn(K?1)?K?1KK2K??(K?1)knK?12K?1nKK. （1-6） ?nK?1kn(K?1)?K?4证明 如果K?1，式（1-5）显然成立.

如果K?2，用数学归纳法证明，式（1-5）左边 当n?1时，显然成立.

假设对式子（1-5）的左边对于正整数n成立，则下面证明对于n?1同样成立，由归纳假设，只要证明

K?1K?1(n?1)K?1??, kk(n?1)KKn?1Kn即证明

n?1kk?(n?1)K?1???(n?1)K?, nk?n?1?11?亦即 ??1. （1-7）n?(n?1)K??根据伯努利不等式[7]

1K?.0 ) (1?x)k?1?Kx (x??1,K?或令x??1，则

(n?1)K第 5 页 共 14 页

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?n?1?1n?1?1?1??1??1. ????n?(n?1)K?n?n?1?k所以式（1-7）成立.因此，对任意正整数n，式子（1-5）的左边成立.

下面证明式（1-5）的右边成立.

当n?1时，要证明(1-5)的右边成立，只要证明

K?1K?1, ?kK2K即可，化简可知这个不等式成立的充要条件为Kk?2K，又由于K?2时，有

. Kk?2K?K(Kk?1?2)?0因此，此时式（1-5）的右边成立 .

假设式（1-5）的右边对于正整数n，下面证明n?1同样成立，只要证明

K?1(n?1)K?1K?1, ??nn(K?1)?K?1k(n?1)K(n?1)(K?1)?K?1而此不等式成立的充要条件为

?(n?1)(K?1)?K?1??(n?1)K?1?即

kk??n(K?1)?K?1??(n?1)K?,

kk ??(n?1)K?1??(n?K?1)???(n?1)K?1????(n?1)K?1??n????(n?1)K?1??1? （1-8）但是，由Newton二项式公式，式子（1-8）的右边不小于下面的式子：

K(K?1)kk?1k?2?(n?1)K?1?n?(n?1)K?1?K(n?1)K?1?????????(n?1)K?1?????

2????(n?1)K?1???(n?1)K?1?k?1kk?1?K(K?1)??(n?K)?(n?1)K?1????nK??(n?1)K?1?

2??k?1?(n?K)?(n?1)K?1???(K?1)?nK??(n?1)K?1?kk?1

??(n?1)K?1?k?1?(n?K?1)?(n?1)K?1?

kk???(n?1)K?1??(n?K?1)???(n?1)K?1?.

所以式子（1-8）成立.

因此，对任意正整数n,式子（1-5）的右边成立.

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2 沃利斯公式的应用

2.1 沃利斯公式在极限计算中的应用

由于沃利斯公式和极限有关，所以在计算一些极限的问题可以通过沃利斯公式会很容易出来.

例1 求极限lim1?3?5(2n?1).

n??2?4?6(2n)解 利用沃利斯公式（1.3），可得

lim1?3?5?(2n?1)(2n?1)!!?lim

n??2?4?6n??(2n)!!(2n)?(2n?1)!!1? ?lim??2n?1?? n??(2n)!!2n?1???(2n?1)!!?1 ?lim? ?2n?1??limn??n??2n?1?(2n)!!? ?2??0?0.

例2 设an?n(n?1)!!（n??），试证 n!!liman?n???2，liman?n??2?. 解 由于

a2n?22n?22n?12n?1????1， a2n2n?22n2n(2n?2)a2n?12n?12n2n????1， a2n?12n?12n?1(2n?1)(2n?1) 因此?a2n?，?a2n?1?是递增数列.根据沃利斯公式，则

lima2n?n??2?， lima2n?1?n???2. 得证.

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例3 求极限lim??6?8(2n?4)?2n???5?7(2n?3)??.

解 由沃利斯（Wallis）公式的推广（1-4），则有

2 lim?(2?x)(4?x)(2n?x)?1n????(1?x)(3?x)(2n?1?x)??2n?1?x ? ??20sinxttd?.

(1?x?)20sxi?1nttd令x?4则

?2lim(2?x)(4?x)(2n?x)?n????(1?x)(3?x)(2n?1?x)?? ?lim?6?8(n2??42n????5?7?)(n2?3?) ?2 ?lim?0sin4tdtn????(2n?5)

5??20sin5tdt ?l9?n??im128?(n2??5?). 例4 求极限lim?11n????1?9?25??1?(2n?1)2?. ?解 因为(arcsinx)'?12?121?x2?(1?x)

(?1)(?1?1)(?1)(?1?1)(1 ?1?(?1)x2?22?x42?2)22!?223!x6? ?1?11?32x2?22?2!x4?1?3?5623?3!x? ? ?1??(2n?1)!!x2n，x?(n?1(2n)!!?1,1). ?因此 arcsixn???2n?1)!0?(?1(x2!n)n?1(2n)!!dx ??x??(2n?1)!!?x2n?1 n?1(2n)!!2n?1 第 8 页 共 14 页

2-1）

（ 盐城师范学院毕业论文

由于当x?1时，级数?(2n?1)!!1在x?1处收敛[8]（本文下面给予证明），又由于?2n?1n?1(2n)!!?函数项级数M-检验法知，级数(1)在??1,1?上一致收敛.

在（2-1）中，令x?sint(??2?t???2)，有

(2n?1)!!sin2n?1t， （2-2） t?sint???2n?1n?1(2n)!!???对（2-2）所在区间?0,?取积分，并且由逐项积分公式，则有

?2??(2n?1)!!2n?1222tdt?sintdt??sintdt， ??0?0?0n?1(2n)!!(2n?1)????2??(2n?1)!!?1????2sin2n?1tdt，

08n?1(2n)!!(2n?1)?又由沃利斯公式可知，?2sin2n?1tdt?0(2n)!!，

(2n?1)!!于是

?28?1???(2n?1)!!(2n)!! ?(2n)!!(2n?1)(2n?1)!!n?1??11 ?1?? ??22n?0(2n?1)n?0(2n?1)即

11lim(1???n??9252.2 沃利斯公式在积分计算中的应用

1?2. ?)?(2n?1)28对于一些不易用积分法求出原函数的积分，但是利用沃利斯公式却可能很容易解决这些问题.

例5[9] 求积分I??e?xdx.

0??2解 假设x?0，由

x4x61?x?1?x???2!3!22?ex?1?x2?x4?2?1, 1?x2第 9 页 共 14 页

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可知

1, 21?x注意，前者仅对0?x?1正确，而后者对任一x?0都对，由此可得

1?x2?e?x?2(1?x2)n?e?nx (0?x?1)，

e?nx?221 (x?0).

(1?x2)n取积分

?10(1?x2)ndx??e?nx??e?nx??0012?2?0dx. 2n(1?x)但用替换u?nx可得

?又

?0e?nx2dx?1I. n?即

1?0(1?x)dx??2sin2n?1tdt?02n2?4?6(2n?2)?(2n),

1?3?5(2n?1)?所以

n??0?dx1?3(2n?3)?2n?22, ?sintdt?(1?x2)n?02?4(2n?2)22?4?6(2n?2)(2n)1?3(2n?3)??I?n??.

1?3?5(2n?1)2?4(2n?2)2平方得

n(2?4(2n?2)(2n))2n(1?3(2n?3))2(2n?1)???2?I????. 222n?1(1?3?5(2n?1))(2n?1)2n?1(2?4(2n?1))?4?由沃利斯公式得

2(2?4(2n?2)(2n))2?. lim?2n??(1?3?5(2n?1))(2n?1)2可知，当n??时

1?1???I2??, 2222即

I2??4.

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因此

?

??0e?x2dx??2. 例6 求J10??xsin10xdx的值.

0?解 J10???2sin10xdx???059753?3152??????. 1086442560例7 求积分?x(5?4x?x)dx的值.

?13229?(x?2)?解 ?x(5?4x?x)dx??x??dx ?1?1?令x?2?3sin?,则dx?3cosd?.

?22?53225232原式???(2?3sin?)(9?9sin?)(3cos?d?)

232???2?(2?3sin?)?27cos3??3cos?d?

?2??81?2?(2?3sin?)cos4?d?

?2?4????162?2?cos?d??243?2?cos4?sin?d?

22??162?2?2cos4?d??0

0 ?324?3!!?243???. 4!!242.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用

对于一些级数收敛性的判别问题，文献[10]指出若利用沃利斯公式可能会起到事半功倍的效果.

?(2n?1)!!?例8 判别正项级数??，（s?R）的敛散性. ?n?1?(2n)!!??s?(2n?1)!!?证 由于通项un???含有双阶乘的运算，原则上想到运用比式判别法，但(2n)!!??s是由于limun?1?1，因此比式判别法失效.

n??un第 11 页 共 14 页

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??2n?2?s?an?1)?limn???若运用拉贝判别法，由于limn?(??1? n??n??an?12n?1???????s?1??s ?limn??1??????1??，

n???n??2?2n?1s?1时，即s?2时收敛，当s?2时则发散，但当p?2时拉贝判别法则无法进2行判别.

所以当

但如果利用沃利斯公式，不仅对于s?2和s?2时的情况可以判别，而且对s?2时的情况也能判别.比如： 由沃利斯公式得

?(2n?1)!!(2n)!!s2??12n?12??1n12(n??).

??(2n?1)!!?1则正项级数??与正项级数的敛散性相同.由上分析可得正项级数??s(2n)!!n?1?n?12?n?(2n?1)!!???(2n)!!?当s?2时收敛，当s?2时发散 . n?1???s例9 二项式级数

(1?x)?1??mn?1?m(m?1)(m?n?1)nx

n!当x?1，?1?m?0时条件收敛 .

证 令u0?1，un表示二项式级数在x?1时的通项，则 un?(?1)nm(m?1)n!?m?n?1?(n?1,2,3)，

故此二项式级数是一交错级数，且

un?un?1(n?0,1,2)， 由于0?m?1，则必存在两个正整数K和J，使

1K?1?m?， JK再结合沃利斯公式的推论中式子（1-5）可得

K?1K?1(?1)KKun?n!?K?1??n?1???K?

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?K?12K?1?K2KknK?1 nK?K?1. n(K?1)?K?1?即limun?0，由Leibniz判别法可知级数?un收敛.

n??n?0又

1?1???1?J?J?un??1???n?1??J? n!沃利斯公式推广中公式(1-6)得

1J?1un??J2J(n?1)J?1 nJ?J?12J?1???J2J?nJ?1?1 ?nJ?nJ?1? ?J?n(J?1)?J?41?2.

J(nJ?1)2Jn?1再由调和级数?发散可知级数?un发散.

n?1nn?1所以当x?1，?1?m?0时二项式级数条件收敛.

3 总 结

本文针对沃利斯公式的应用进行研究，给出了沃利斯公式在求某些极限计算、积分计算、级数收敛的简便之处.并且将沃利斯公式进行简单的推广，在证明某些级数收敛性问题时，运用达朗贝尔法与拉贝判别法时会失效，但运用沃利斯公式会很简单有效的解决这类问题，此外我们知道在有关二项式级数在收敛区间端点的收敛性是一个较为困难的问题，有的教材对此置之不理，有的则要借助于几何级数来解决，本文利用对沃利斯公式的推广能有效的解决一些此类型的问题.当然还有更多问题值得我们探讨，例如对含参数的沃利斯公式的更多应用以及含沃利斯公式的双边不等式的推广可以给出更

n

为精确的结果，以及沃利斯公式在二项式C2这些问题将另文研究. n的上下界的研究等，

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参考文献

[1] 华东师范大学数学系．数学分析上册（第四版）．北京：高等教育出版社，2001． [2] 屈芝莲.Wallis公式新证明.科学技术与工程,2011,1:549-550.

[3] Mikhail Kovalyov. Elementary Combinatorial-Probabilistic Proof of the Wallis Formulas.

Journal of Mathematics and Statistics,2009,5:408-409.

[4] 李建军.一种含参数的Wallis公式与Stirling公式.数学理论与应用,2008,3:52-53. [5] 赵德钧.关于含Wallis公式的双边不等式.数学的实践与认识，2004,34(7):167-168. [6] D.k Kazarinoff. On Wallis’ formula. Edinburgh Math Notes,1956,40:19-21. [7] 张文亮.一个不等式的探讨.2004,3:19-21.

[8] Jeffrey H. Wallis’ formula for ?.Methods of Mathematical Physics,1988,3:468-467. [9] 王振芳,陈慧琴.沃利斯(Wallis)公式及其应用.山西大同大学学报,2011,10:5-6. [10] 张国铭.Wallis公式的几个应用.高等数学研究,2008,9:37-40.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r1iw.html