学校火灾逃生问题 数学建模论文

《学校火灾逃生问题》数学建模论文作者： 光善军

《学校火灾逃生问题》数学

建模论文

作者： 光善军、刘一泽、李袭宝

摘 要

学校作为人员较为集中且火灾极易发生的场所，火灾中逃生能力的提高和有效的人员疏散方案的确立显得格外重要。本文首先通过分析学校教学楼人员疏散的特点以及影响人员疏散时间的各种因素建立数学模型，采用人流密度计算疏散时间的方法，并提出采用人流密度计算速度的方法和水平通道节点法来分析计算教学楼的人员疏散使用时间。从而得出了在人流密度较大的教学楼内计算火灾中人员疏散使用时间的方法，并且利用我们建立的数学模型从不同的角度提出教学楼人员紧急撤离的处理方法。 关键词：人流密度、疏散时间、水平通道节点

一、问题的提出与重申 1.1 问题的提出

学校是人员比较集中的地方，当发生火灾后，如何采取有效的途径缩短人员疏散时间使教学楼人员紧急撤离是我们需要思考的问题。现在考虑A小学的一座教学楼,一共五层，其中每层楼有四间教室,如图1所示:

图1 教学楼平面图

在图中, D为教室门的宽度；楼房的层高为H ；N1为第1个教室中的人数，N2为第2个教室中的人数，以此类推；L1为第1个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离，以此类推；楼里的师生们可以沿教室外的走道一直走到楼梯间下楼。在这种情况下，通过建立数学模型计算教学楼的所有人员撤离需要的最短时间；并且利用数学模型，从不同角度为人员的紧急撤离提出有效的解决措施。 1.2 问题的重申

⑴.在1.1中所说的情况下，通过建立的数学模型计算教学楼里所有师生疏散所用的时间。 ⑵.根据模型，列出最佳撤离方案。

⑶.结合实际，就教学楼紧急撤离的设计方案给出合理化的建议。

⑷.通过考虑不同年龄的学生的运动能力不同,运用建立的数学模型，为学校应合理的安排教室以便紧急撤离提出合理化的建议。

二、问题分析

问题一：计算教学楼里所有师生疏散所用的时间。设全部人员撤离完毕所用的时间T ，经过走廊所用时间T1、经过楼梯所用时间T2、经过通道节点所用时间T3

T = T1+ T 2+ T3。所以只要计算出T1、T 2、T3，我们就可以得到教学楼所有人员撤离所用的时间。

问题二：只有保持单位时间内涌入楼梯口的人数与撤离的人相同且人群密度保证在最佳人群密度，这样求出来的时间即为最短撤离时间。根据建立数学模型从而寻找最佳撤离方案使得人员疏散所用时间最短。

问题三：结合实际，为了减少火灾造成的人员伤亡和损失，向教学楼紧急撤离的设计方案提出合理化的建议。

问题四：因为不同年龄段同学的运动能力和火灾中逃生的能力不同，通过建立的数学模型，利用人流密度计算疏散时间的方法，安排合理的教室使得同学们全部撤离时间最短化。 三、模型假设 1. 疏散人群是一个有着共同行走特征的群体，他们沿指定的路径进行疏散。在分析过程中，只考虑人流的行走速度且匀速撤离， 忽略个体的部分行为特征。

2. 火灾发生在第一层的最左边的教室内，火灾中产生的烟雾对人员逃跑速度的影响忽略不计；

3. 教学楼内安装有集中火灾报警系统，但没有应急广播系统；

4. 假设在上一层的学生到达下一层楼梯口时，下一层的学生恰好完全撤离； 5. 每层楼都有四间教室，且每间教室的学生人数差距不大；

6. 所有师生中不存在残疾人，以及所有师生精神状况正常；撤离过程中不会出现踩踏，推拉挤现象。

7. 人群密度在通道各处相等，不会因方位不同发生改变。

四、符号说明 D为教室门的宽度； H 为楼房的层高； N1为第1个教室中的人数； N2为第2个教室中的人数； N3为第3个教室中的人数； N4为第4个教室中的人数；

L1为第1个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离；

L2为第2个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离，以此类推； F为人员流量，其单位是人/ s；

Ρ为人员密度, 人/㎡ W为有效宽度； Q为使用楼梯的人数；

T为全部人员撤离所用的时间 ； S为教室的面积

五、模型的建立与求解 5.1 对于问题一

首先，我们求出教室内人员密度分别为P1=N1/S1、P2=N2/S2、P3=N3/S3、P4=N4/S4，根据所参考的文献资料，在进行了大量的观测分析后，得出正常状态下人员行走速度和密度的关系如下

V = － 0.000029P5 ＋ 0.0016P4 － 0.0281P3 ＋ 0.2122P2 －0.7357P+1.416 (1) 即我们可以求出人员在教室中的行走速度V。

令Pmax为走廊最大人员密度，则我们可以根据(1）求出人员在走廊的速度V0

这样我们就能求出T1=（L1+L2+L3+L4+3D)/V0 (2) 又在所给的条件，教室门的宽度是D，在疏散过程中，这个宽度不可能完全利用，它的等效宽度就是W1。根据资料，可以得到关系式 Fn

=

Vn

×

Pn

×

W1

(n=1,2,3,4)

(3)

根据（1）和（3）我们可以求出每个楼层四个教室中出来的人员流量F。

令W2为楼梯的有效宽度，Pauls提出,下楼梯的人员流量F0与楼梯的有效宽度W2和使用楼梯的人数Q 有关,根据我们的假设条件，我们可以记

Q=N1+N2+N3+N4 (4)

则F0计算公式为: F0= (5)

式中,流量F0 的单位为人/ s , W2 的单位为mm。此公式的应用范围为0. 1 < Q/ W2 < 0. 55。

其中，从电路的串并联得到思路，我们认为， Fn < F0< F1+F2+F3+F4在这里给出一个定量关系只是为了说明一下我们的探索和创新思路。 则由 (4)、(5)可得，通过楼梯所用时间

(

W2/

8040)

0.

73

×Q0.

27

T (6)

下面是对水平通道节点所用的时间的求解。

2=Q/F0

水平通道是指在同一楼层内具有一定宽度和长度的通道，建筑空间内德水平通道课认定为这类节点。在这里，我们认为当一个教室内的人经过前一个教室，即到了一个节点。根据文献资料，

通过此类节点的时间可表示为

tn=sn/V0 (7) 其(8) 那(9)

综上，我们可以求得疏散所用的时间 5.2 对于问题二

我们查阅相关资料，并结合实际最后由公式 V = － 0.000029P5 ＋ 0.0016P4 － 0.0281P3 ＋ 0.2122P2 －0.7357P＋1.416 可以得出，要减少疏散所用时间，就要使速度达到一个较大值，也就是要使P保持在一个最佳值即可。 5.3 对于问题三

结合模型一、二，我们就教学楼中火灾逃生的紧急撤离提出如下几个建议：

第一：学校在一定范围内要尽量增加教室门的宽度，走廊以及楼梯的宽度，从而增加走道宽度减小在走廊上以及出教室所用的时间；第二：教学楼应该在两侧均设有楼梯不应是单方的，这样可以减缓一个楼梯带来的压力，加快撤离速度，从而使人员更加快速的撤离；第三：学校应该完善每个班级的火灾报警设备，以防万一；第四：学校平时应该加强演练，加强学生对临时事故的应对能力。 5.4 对于问题四

上面我们所求在走廊的时间，所利用的速度是正常状态下人员行走速度与密度具有如下关系:V = － 0.000029P5 ＋ 0.0016P4 － 0.0281P3 ＋ 0.2122P2 －0.7357P＋1.416 （1），但考虑实际情况：高年级同学的运动能力大于低年级同学，那么根据我们的分析，即同样情况下高年级同学的疏散时间要小于低年级的疏散时间，而且高年级同学在危险情况下的反应时间要小于低年级同学且心理受的影响要小于低年级同学，因此综上我们认为高年级应该在上层而把低年级同学安排在下层以达到最短的撤离时间，在此我们就不做详细的数据及表格分析了。

六、模型的评价与推广

么

通

过

水

平

通

道

节

点

的

时

间

就

是

中

sn=L1+L2+...+Ln

T3=t1+t2+t3

6.1 优点：

⑴我们在建立数学模型的过程中，查阅大量资料，运用相关科学数据、科学依据并结合实际情况，从而使得建立后的模型具有较强的科学性；

⑵ 我们在建立该模型的过程中充分考虑了许多影响因素，从而使得该模型能够更好地与实际情况接轨，具有更强的实际可操作性。 6.2 缺点：

⑴为了使建立的模型简单化，我们不能全面考虑所有的影响因素，比如：火灾中产生的烟雾必然会影响疏散人员的逃跑速度，但我们将此作为忽略不计的因素处理；

⑵有些问题的处理有点理想化，考虑到的实际情况有时候也难以通过简单的数学模型得以考虑；

⑶我们组成员作为数模新手，必然没有建模经验，建立的数学建模有待在实践中去检验。漏洞百出望老师指出。 6.3 推广：

在学校、大型超市、商场等人员密集的地方，一旦发生火灾，必须要采取有效的措施使建筑物内的人员得以疏散。利用人流密度计算疏散时间的方法，我们就可以大致计算出该建筑物内人员撤离的时间，从而使火灾造成的损失最小化。所以，我们建立的数学模型中的一些方法可以运用到实际中去。 参考文献：

[1]黎锦贤.教学楼火灾安全疏散预测模型研究[A].江西.2009

[2]陈智明，霍然，王浩波，曾德云.教学楼火灾中人员安全疏散时间的预测[A].2003 [3]Shields , T. J . ( Editor) . Human Behavior in Fire [A] . Pro2 ceedings of the First International Symposium on Human Be2 havior in Fire , Fire SERT[C] . University of Ulster , August 30th 2 September 2nd , 1998 , 820.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r1hh.html