2018年高考数学二轮复习第一部分专题七系列4选讲第一讲坐标系与参数方程教案选修4 - 4

余幼时即嗜学。家贫，无从致书以观，每假借于藏书之家，手自笔录，计日以还。天大寒，砚冰坚，手指不可屈伸，弗之怠。录毕，走送之，不敢稍逾约。以是人多以书假余，余因得遍观群书。既加冠，益慕圣贤之道。又患无硕师名人与游，尝趋百里外，从乡之先达执经叩问。先达德隆望尊，门人弟子填其室，未尝稍降辞色。第一讲坐标系与参数方程(选修4－4)

[考情分析]

坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，由于本部分在高考中考查的知识点较为稳定，在备考时应重点关注极坐标系中直线的方程，或者求解极坐标系中曲线的某个特征值，及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位置关系，求最值问题等．本部分内容在备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题.

年份 卷别 Ⅰ卷 2017 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 考查角度及命题位置 直线与椭圆的参数方程及应用·T22 极坐标方程及应用·T22 参数方程与极坐标方程的应用·T22 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系·T23 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用·T23 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23 [真题自检]

1．(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

π

(2)设点A的极坐标为(2，)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

3解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

cos θ

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0)．

2

2

2016 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 2015 余幼时即嗜学。家贫，无从致书以观，每假借于藏书之家，手自笔录，计日以还。天大寒，砚冰坚，手指不可屈伸，弗之怠。录毕，走送之，不敢稍逾约。以是人多以书假余，余因得遍观群书。既加冠，益慕圣贤之道。又患无硕师名人与游，尝趋百里外，从乡之先达执经叩问。先达德隆望尊，门人弟子填其室，未尝稍降辞色。(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin(α－)|＝2|sin(2α－)－

π

当α＝－时，S取得最大值2＋3.

12所以△OAB面积的最大值为2＋3. 2．(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy12π3π33

|≤2＋3. 2

??x＝acos t，

中，曲线C1的参数方程为?

??y＝1＋asin t，

(t为

参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中 α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解析：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x＋(y－1)＝a，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ－2ρsin θ＋1－a＝0.

??ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组?

?ρ＝4cos θ.?

2

2

2

2

2

2

2

若ρ≠0，由方程组得16 cosθ－8sin θcos θ＋1－a＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cosθ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.

2

2

22

?x＝3cos α，

3．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?y＝sin α

(α为

参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为π??ρsin?θ＋?＝22. 4??

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 解析：(1)C1的普通方程为＋y＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

3(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．

因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，

x2

2

余幼时即嗜学。家贫，无从致书以观，每假借于藏书之家，手自笔录，计日以还。天大寒，砚冰坚，手指不可屈伸，弗之怠。录毕，走送之，不敢稍逾约。以是人多以书假余，余因得遍观群书。既加冠，益慕圣贤之道。又患无硕师名人与游，尝趋百里外，从乡之先达执经叩问。先达德隆望尊，门人弟子填其室，未尝稍降辞色。d(α)＝

π??|3cos α＋sin α－4|??＝2?sin?α＋?－2?， 3????2

π?31?当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为?，?.

6?22?

简单曲线的极坐标方程及应用

[方法结论]

1．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；

2

2

2

?π?(3)当圆心位于M?a，?，半径为a：ρ＝2asin θ. 2??

2．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

?π?(3)直线过M?b，?且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2??

3．极坐标与直角坐标的互化方法

点M 互化公式 直角坐标(x，y) ?x＝ρcos θ，????y＝ρsin θ极坐标(ρ，θ) ρ＝x＋y，?? ?ytan θ＝x?x?222 [题组突破]

1．(2017·太原模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线

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