历届全国初中数学联赛试题15套

一九九一年

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．

设等式a(x?a)?a(y?a)?2x?a?2a?y在实数范围内成立，其中

a，x，y是两两不同的实数，则

13x?xy?yx?xy?y22的值是

5 （A）3 ； （B）； （C）2； （D）．

33 答（ ） ２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18．

答（ ） ３． （A）

方程x2?x?1?0的解是

1?21?255； （B）

?1?25?1?2?1?25；

5（C）或； （D）?．

答（ ） ４．

是 （Ａ）1991?1已知：x?121(1991n?1991?1n)（n是自然数）．那么(x?1?x2)n，的值

； （Ｂ）?1991?1；

?1（Ｃ）(?1)n1991； （Ｄ）(?1)n1991．

答（ ）

５．

若1?2?3???99?100?12nM，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的

最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a?b?c，b?c?d，c?d?a，

那么

a?b?c?d的最大值是 （Ａ）?1；（Ｂ）?5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（ ）

７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分

别是S1?1，S2?3和S3?1，那么，正方形OPQR的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．

答（ ）

８．

S2?3

S1?1S3=1

在锐角ΔABC中，AC?1，AB?c，?A?60?，ΔABC的外接圆半径R≤

1121，则

（Ａ）< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤

2；

答（ ）

（C）c > 2； （D）c = 2．

答（ ）

二、填空题

１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ．

２．已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，

3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０，则

(m?2n?p)22q2b?3ca? ．

(x?1)xnm?1?(x?1)xqp恒成立，

? ．

４．四边形ABCD中，∠ ABC?135?，∠BCD?120?，AB?6，BC?5?3，

CD = 6，则AD = ．

120135??

第二试

x + y， x － y， x y，

xy

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．

二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．

求证：BF＝AF＋CF

三、将正方形ABCD分割为 n2个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

一九九二年

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足a?b?ab?1的非负整数(a,b)的个数是

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2.若x0是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根,则判别式??b2?4ac与平方式M?(2ax0?b)2的关系是

(A)?>M (B)?=M (C)?>M; (D)不确定. 3.若x2?13x?1?0,则x4?x?4的个位数字是

(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.

答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.

答( )

5.如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函

y?kx(k?0)的图像分别相交于

数

A点和C点.若Rt?AOB和?COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是

(A)S1?S2 (B)S1?S2 (C)S1?S2 (D)不确定

答( )

6.在一个由8?8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2,则

S1S2的整数部分是

(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

答( )

7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ?A?60?,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.

则AE:EB等于

(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10

答( )

8.设x1,x2,x3,???,x9均为正整数,且

x1?x2?????x9,x1?x2?????x9?220,则当x1?x2?x3?x4?x5的值最大

时,x9?x1的最小值是

(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.

答( )

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

2.若x?0,则

1?x?x24?1?x4x的最大值是__________.

3.在?ABC中,?C?90?,?A和?B的平分线相交于P点，又PE?AB于E点，若BC?2,AC?3，则AE?EB? .

4.若a,b都是正实数，且

1a?1b?1a?b?0，则()3?()3? . abba第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2?6x?a?0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.

二、如图，在?ABC中，AB?AC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且?BED?2?CED??A.

求证：BD?2CD.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：

A：320651 B：105263 C：612305 D：316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.

一九九三年 第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式x12?x6?1除以x2?1的余式是

(A)1; (B)-1; (C)x?1; (D)x?1; 2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x是实数,y?x?1?x?1.下列四个结论: Ⅰ.y没有最小值; Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

?x1?x?2? ?x3?x?4??x5?x2?x3?a1;?x3?x4?a2;?x4?x5?a3; ?x5?x1?a4;?x1?x2?a5.其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且a1?a2?a3?a4?a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是

(A)x1?x2?x3?x4?x5; (B)x4?x2?x1?x3?x5; (C)x3?x1?x4?x2?x5; (D)x5?x3?x1?x4?x2. 5.不等式x?1?(x?1)2?3x?7的整数解的个解

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在?ABC中,?A是钝角,O是垂心,AO?BC, 则cos((A)?3222?OBC??OCB)的值是

2212 (B)

(C) (D)?.

答( )

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于

(A):11abc(C)cosA:cosB:cosC:1; (B)a:b:c

(D)sinA:sinB:sinC.

答( )

8.33(349?329?319)?1可以化简成

(A)33(32?1); (B)33(32?1) (C)32?1 (D)32?1

答( )

二.填空题

1.当x变化时,分式

3x?6x?51222x?x?1的最小值是___________.

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程(x2?1)(x2?4)?k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中,?A?30?.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S?ABC?S?HBC的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.

二.?ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点

D, E, 使线段DE将?ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

?,三.已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1?,x2??0. 且x1x2?0,x1?x2??0; (1)求证:x1?0,x2?0,x1??0,x2(2)求证:b?1≤c≤b?1; (3)求b,c所有可能的值.

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

(4月3日上午8：30—9：30)

考生注意：本试共两道大题，满分80分.

一、选择题（本题满分48分，每小题6分）

本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.

〔答〕( )

2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0 B．都不大于0

C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0 〔答〕( )

3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长

A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定 〔答〕( )

A．1 B．-1 C．22001 D．-22001 〔答〕( )

5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角

A．4对 B．8对

C．12对 D．16对 〔答〕( )

〔答〕( )

7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若

BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是

〔答〕

( )

A．1001 B．1001,3989

C．1001,1996 D．1001,1996,3989 〔答〕( ) 二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______.

4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.

第二试

(4月3日上午10：00—11：30)

考生注意：本试共三道大题，满分60分. 一、（本题满分20分）

如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：

△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

二、（本题满分20分）

周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？

三、（本题满分20分）

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,??,15)个题的人数的一个统计.

n 0 1 2 3 ?? 12 13 14 15

做对n个题的人数 7 8 10 21 ?? 15 6 3 1

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案 一、选择题；

小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C

二、填空题：

第二试提示及答案.

一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是 ∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ]

A．62π B．63π C．64π D．65π

5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ]

A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]

A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题

1．在12，22，32?，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

第二试

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、

C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a

＜25611＝(44)11＝b。选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组

直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又

有0≤4－4m＜1．

4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在

且唯一．又由

AB2＋AD2 ＝252＋602

＝52×（52＋122） ＝52×132

＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2

故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．

5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选

B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．

不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△

ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得

S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．

若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有

｜CE－DF｜＝2OL．

即M＝N．选B．

6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有

｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．

显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有

两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即

有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B． 二、填空题

1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，?，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有

（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，?，95中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．

2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有

由②－①，得

由③－②并将④代入，得

还可由①得

⑥÷⑤即得所求．

3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数

因而x＝1时，y有最小值1．

4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin

∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下：

与AB2＝AB2＋AC2 ② 联立，可推出

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由

第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S≥2T．

在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD．

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）．

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、

FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后

证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法．

证法1：如图6，连DF，则由已知，有

连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，

得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．

由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心． 证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得

∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．

由这个证明可知，F是△DCB的外心．

证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，

∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1 得∠1＝∠2．

从而∠DCF＝∠GCF， 得CF为∠DCE的平分线．

证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故 △CDE的外心I在直线DF上．

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线

AB是一次函数

y＝-x＋d ①

的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则 x1＋y1＝CH＋IH

＝CH＋HB＝CB＝d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．

还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证． 二、讲解：此题的原型由笔者提供．题目是：

于第一象限内，纵坐标小于横

坐标的格点．

这个题目的实质是解不等式

求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由

及1≤y＜x，

知1＋2＋?＋(x－1)＜1995＜1＋2＋?＋x．

但1953＝1＋2＋?＋62＜1995＜1＋2＋?＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)．

经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．

有x2－x＋18≤10｜x｜．

当x≥0时，有x2－11x＋18≤0，

得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当x＜0时，有 x2＋9x＋18≤0，

得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：

(-6,6),(-3,3)．

对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,?顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x＞9时，由

对x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,?顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x<-6时，由

知y>-x，再无满足y≤｜x｜的解． 故一共有6个整点，图示略．

解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程 x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ②

可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．

再找满足y＜｜x｜的整点，这时 2＜x＜9或-6＜x＜-3，

依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点．

三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，?，n－2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记

B＝n－A≥2， 有n＝A＋B．

此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．

但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来．

(1)当n为奇数时，有 n＝2＋(n－2)，

(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有

(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有

1996年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

A．M＞N

B．M=N C．M＜N D．不确定

A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在

3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [ ]

4．设x1、x2是二次方程x2+x?3=0的两个根，那么x13?4x22+19的值等

于 [ ]

A．?4 B．8 C．6 D．0

5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [ ]

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [ ]

A．4个 B．8个 C．12个 D．24个 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．

3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

第二试

一、（本题满分20分）

某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

二、（本题满分25分）

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

三、（本题满分25分）

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题 1．B 2．A 4．D 5．A 二、填空题

3．B 6．C

第二试

一、

解 据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145，而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

综上可知，每人捐款数为25元或47元．

二、

证 作AD、BO的延长线相交于G，∵OE

三、

解 据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(?1，0)中，故

经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．

一九九七年 第一试

一.选择题

本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

(3)a2的平方根是?a;

(4)大于直角的角一定是钝角.

(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.

答( )

2.已知

43?2?x?45?3,那么满足上述不等式的整数x的个数是

答( )

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.

答( )

3.若实数a,b,c满足a2?b2?c2?9,代数式(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的最大值是

(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.

答( )

4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( )

5.在梯形ABCD中,AD?DC,?B?300,?C?600,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为

(A)4 (B)4

12 (C)5; (D)6. 答( )

6.如图,已知?A??B,AA1,PP1,BB1均垂直于

A1B1,AA1?17,PP1?16,BB1?20,A1B1?12,则AP+PB等于

（A）12； （B）13； （C）14； （D）15. 答( )

二、填空题

1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .

2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是 .

3.若a,b满足3a?5b?7,则S?22?3b的取值范围是 . 4.若正整数x, y满足x2?y2?1997,则x?y等于___________.

第二试

一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD=PC,试证:BC?BD,且BC=BD.

二.已知a,b为整数,且a?b,方程

3x?3(a?b)x?4ab?02

的两个根?,?满足关系式

?(??1)??(??1)?(??1)(??1)

试求所有的整数点对(a,b).

三.已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a?5b?c,则a?b?c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

1998年全国数学联赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且a?b?c，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）ab?bc（Ｂ）a?b?b?c（Ｃ）a?b?b?c（Ｄ）

2ac?bc

2、如果方程x?px?1?0?p?0?的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）

（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知abc?0，并且

a?bc?b?ca?c?ab?p，那么直线y?px?p一定通过第（ ）

象限

（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组??9x?a?0?8x?b?0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b

的有序数对（a、b）共有（ ）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax??3a?8a?x?2a?13a?15?0（其中a是非负整数），至少有一个整

22222数根，那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

三、解答题：（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点AE为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△

EBFCCEF的面积。

12、设抛物线y?x??2a?1?x?2a?254的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）

求a18?323a?6的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18

台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

1998年全国初中数学联赛参考答案

一、选择题 1．B

根据不等式性质． 2．D

由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程 的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，

得l2=(-p)2-4．∴p2=5，

3．C

如图连ED，

又∵DE是△ABC两边中点连线．

故选C．

4．B

得 2(a+b+c)=p(a+b+c)．

∴有p=2或a+b+c=0．

当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限． 当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是

∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B． 5．C

在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图

∴a=1，2，3?9，共9个．

∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，?， 3×8+8．共8个．

∵9×8=72（个），故选C．

二、填空题

6．解 如图，过A作AG⊥BD于G，

∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”． ∴PE+PF=AG． ∵AD=12，AB=5， ∴BD=13．

7．解 如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，

∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O

8．解 如图，当圆环为3个时，链长为3a+

故a可取1，3或5．

10．解 如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．

∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|．

三、解答题

11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，

∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠CED+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽△CED，

又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．

解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．

∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠FEH．

∴Rt△EHF∽Rt△BAE．

即EH=2h，

又∵HC=FH，

12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得 a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，

a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13， a16=(21a+13)2=441a2+546a+169 =987a+610．

a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597．

∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1， 即 (8a+5)(8a-13)=-1．

∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．

13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是

W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10) =-800x+17200．

∴5≤x≤9．

∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)

由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．

(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是

W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10) =-500x-300y-17200

∴W=-500x-300y+17200，

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18+17200=9800．

当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800． 又W=-200x-300(x+y)+17200

≤-200×0-300×10+17200=14200．

当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．

1999年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试 （4月4日上午8:30--9:30）

考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（ ）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设

，将一次函数

与

的图象画在同一平面直角

坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、?、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ ）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若

是不相等的无理数，则

是无

理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若

是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。

1、已知且，则＝________。

2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。

3、已知为整数，且满足，则

＝________。

4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。

=============== =============== ===============

第二试 （4月4日上午10:00--11:30）

考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分。 一、（本题满分20分） 某班参加一次智力竞赛，共中题

满分20分，题

、题

三题，每题或者得满分或者得0分。其

满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答

的人数

对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题与答对题答对题

的人数之和为29，答对题的人数与答对题

的人数与答对题

的人数之和为25，

的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？

二、（本题满分25分）

如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。

三、（本题满分25分） 已知和

为整数，方程

的两根都大于－1且小于0，求

的值。

=============== =============== ===============

第一试参考答案

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（ D ）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

解：原式＝。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。

∴。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角

坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。

解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点

横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于

，小于

的数，不等于

，故图D不对；故选B。

4、若函数，则当自变量1、2、3、?、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 解：

当。∴当自变量

时，函数值都为0。而当

取1、99、100时，

，故所求的和为：

时，

取

取2、3、?、98

。

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ C ）。

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