09高考文科数学解析几何压轴题（含解析）

第一部分 五年高考文科荟萃

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题

x2y2?2?1(a?b?0)2ab1（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴， 直????????y线AB交轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（D ） 1132A．2 B．2 C．3 D．2 1????????OA?2OF,?a?2c,?e?2 【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则

2y?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)l2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线

的面积为4,则抛物线方程为( ).

2222y?4xy??4xy??8xy?8x A. B. C. D.

aay?2(x?)(,0)2yy?ax(a?0)l44【解析】 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为a1aa(0,?)||?||?42y??8x,故选B. a??82242A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为

【答案】B

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.

x2y2??1222633.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线的渐近线与圆(x?3)?y?r(r?0)相切，则r= ( A )

A.3 B.2 C.3 D.6

【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=3.

2FA?2FBy?k(x?2)(k?0)y?8x相交A、42009全国卷Ⅱ文）（已知直线与抛物线C:B两点，F为C的焦点。若,

则k= ( D )

12222Ａ.3 Ｂ.3 Ｃ.3 Ｄ.3

【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由

FA?2FB及第二定义知

22xA?2?2(xB?2)联立方程用根与系数关系可求k=3.

x2y2?2?1?a?o?235.（2009福建卷文）若双曲线a的离心率为2，则a等于( D )

A. 2 B.

33 C. 2 D. 1

x2y2ca2?3??1可知虚轴b=3，而离心率e=??223aa【解析】 由a，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.

6（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是 (B )

A. B. C. D.

cx2y2c6e???1e??2a可判断得.b2a2.选B。 【解析】依据双曲线a的离心率

x2y2?2?12FFF，F2，P(0,2b)是正三角形的三b7（2009江西卷文）设1和2为双曲线a(a?0,b?0)的两个焦点, 若1个顶点,则双曲线的离心率为 B

35 A．2 B．2 C．2 D．3

tan【解析】由

?6?cc3e??2?2222a2b3有3c?4b?4(c?a),则,故选B.

x2y2?2?1(a?0,b?0)2ab8（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为（C ）

A.y??2x B .y??2x C .

y??12y??xx2 2 D.

22b?1,c?3,a?c?b?2，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【解析】由已知得到

y??b2x??xa2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

x2y2?2?1(b?0)y?x，b9（2009四川卷文、理）已知双曲线2的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为

点

P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝( )

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

22y?xx?y?2，于是两焦点坐标分别是（－2，【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是

)，PF2?(2?3,?1). 1?(?2?3,?10）和（2，0），且P(3,1)或P(3,?1).不妨去P(3,1)，则PF)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0 【答案】C 1·PF2＝(?2?3,?1∴PF2y??8x的焦点坐标是（ ） 10.（2009湖南卷文）抛物线

A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）

【解析】由y??8x,易知焦点坐标是

2(?p,0)?(?2,0)2， 【答案】B

22mx?ny?1”表示焦点在y轴上的椭圆”的 m?n?011.（2009陕西卷文）“”是“方程

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x2y2??11111?0,?0,22mx?ny?1mnn【解析】将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足m所以11?nm. 【答案】C

x2y2－2＝1?a＞0，b＞0?221相切，则该双曲线的离心b12.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线a的渐近线与抛物线y＝x＋率等于（ ）

A.3 B.2 C.5 D.6 bxx2y2y?－＝1a＞0，b＞0??2a，代入抛物线方程整理得b2【解析】由题双曲线a的一条渐近线方程为

22ax2?bx?a?0，因渐近线与抛物线相切，所以b2?4a2?0，即c?5a?e?5，故选择C.

x2y2x2y2??1的准线经过椭圆?2?124b13.（2009湖北卷文）已知双曲线2（b＞0）的焦点，则b=( )

A.3 B.5 C.3 D.2

a2x???? 122c【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为(?4?b,0)所以有4?b?1.即b2=3故b=3.【答案】C

二、填空题

x2y2?2?1(a?b?0)2F(?c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点b1.（2009重庆卷文、理）已知椭圆a的左、右焦点分别为1ac?P使sinPF1F2sinPF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． PF2PF1??PF1F2中，由正弦定理得sinPF1F2sinPF2F1

【解析1】因为在

ac?PFPF1?cPF2 11，即aPF则由已知，得12设点

(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1?a?ex0,PF2?a?ex0则a(a?ex0)?c(a?ex0)

x0?a(c?a)a(e?1)a(e?1)?x0??a则??ae(c?a)e(e?1)由椭圆的几何性质知e(e?1)，整理得

记得

e2?2e?1?0,解得e??2?1或e?2?1，又e?(0,1)，故椭圆的离心率e?(2?1,1)

PF1?cPF2a由椭圆的定义知

【解析2】 由解析1知

c2a2PF1?PF2?2a则PF2?PF2?2a即PF2?ac?a，由椭圆的几何性质知

2a2PF2?a?c,则?a?c,既c2?2c?a2?0,2ec?a所以?2e?1?0,以下同解析1.

【答案】

?2?1,1?

x2y2??1F,F|PF1|?4，则|PF2|? ；?F1PF222（2009北京文、理）椭圆9的焦点为12，点P在椭圆上，若

的大小为 .

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.

22a?9,b?3， ∵

∴c?a?b?9?2?7， ∴又

22F1F2?27，

，∴

PF1?4,PF1?PF2?2a?6cos?F1PF2?PF2?2，

22?42?272?2?4??2??又由余弦定理，得

12，

???FPF?1202,12012∴，故应填.

2y?4x的焦点到准线的距离是 . 3.（2009四川卷文）抛物线

【解析】焦点F（1，0），准线方程x??1，∴焦点到准线的距离是2. 【答案】2

x2y2?2?12222(a?0,b?0)x?y?aab4.（2009湖南卷文）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，

B，若?AOB?120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 .

?【解析】??AOB?120??AOF?60??AFO?30?c?2a,

????e?c?2.a

【答案】2

5.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若

P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 。

【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，

22x?xy?4xy?4x 12得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故. 【答案】

三、解答题

1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

3已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为2,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离

22Cx?y?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak. k之和为12.圆:

(1)求椭圆G的方程 (2)求(3)问是否存在圆

?AkF1F2的面积

Ck包围椭圆G?请说明理由.

x2y2?2?12b解（1）设椭圆G的方程为：a （a?b?0）半焦距为c;

?2a?12???a?6?c3????c?33 , ?b2?a2?c2?36?27?9 2 , 解得? 则?ax2y2??1 所求椭圆G的方程为：369.

(2 )点

AK的坐标为??K,2?

11SVAKF1F2??F1F2?2??63?2?6322 （3）若k?0，由

62?02?12??0?21?15?12??0可知点（6，0）在圆Ck外，

22(?6)?0?12??0?21?15?12??0可知点（-6，0）在圆Ck外； k?0 若，由

?不论K为何值圆

Ck都不能包围椭圆G.

2.（2009浙江文）（本题满分15分）

17已知抛物线C：x?2py(p?0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为4．

2（I）求

p与m的值；

（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t?0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．

y??解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：

p2，根据抛物线定义

4?p171?p?24，解得2

点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即

2?抛物线方程为：x?y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m??2

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