MATLAB多元函数导数求极值或最优值

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最小值；

步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。 3．函数求偏导数的MATLAB命令

2222 1

MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。

diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。 可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息

【实验方法与步骤】

练习1 求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数

>>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y)

42结果为

ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即

?z?z?4x3?8y,??8x?4y.再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符?x?y号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为：

>>clear;

>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')

结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：

>>clear; syms x y;

>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2)

结果为

A=2*x^2 B =-8 C =4

由判别法可知P(?4,?2)和Q(4,2)都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，

P(?4,?2)和Q(4,2)是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍

点。

>>clear;

>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);

2

>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z)

>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') 结果如图6.1

图6.1 函数曲面图

可在图6.1种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.

>>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.2

图6.2 等值线图

由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点

P(?4,?2)和Q(4,2).根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指

向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点Q(0,0)周围没有等高线环绕,不

3

是极值点,是鞍点.

练习２ 求函数z?xy在条件x?y?1下的极值..构造Lagrange函数

L(x,y)?xy??(x?y?1)

求Lagrange函数的自由极值.先求L关于x,y,?的一阶偏导数

>>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k)

得

?L?L?L?y??,?x??,?x?y?1,再解正规方程 ?x?y??>>clear; syms x y k

>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')

得x?111,y?,???,进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 222

22练习3 抛物面z?x?y被平面x?y?z?1截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.

这个问题实际上就是求函数

f(x,y,z)?x2?y2?z2

在条件z?x?y及x?y?z?1下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数

22L(x,y,z)?x2?y2?z2??(x2?y2?z)??(x?y?z?1)

求Lagrange函数的自由极值.先求L关于x,y,z,?,?的一阶偏导数

>>clear; syms x y z u v

>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v)

得

?L?L?L?2x?2x???,?2y?2y???,?2z???? ?x?y?z 4

?L?L?x2?y2?z,?x?y?z?1 ????再解正规方程

>>clear;

>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')

得

???3?511?1?33,???7?3,x?y?,z?2?3. 332上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f在有界闭集{(x,y,z):x?y?z,x?y?z?1}，上连续，从而存在最大值与最小值），故由

22f(?1?3?1?3,,2?3.)?9?53 22求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为9?53，最短距离为9?53。

练习4 求函数z?x?y?4x?2y?7在上半圆x?y?16,y?0上的最大值和最小值。

首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为：

>>clear;

>>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y')

2222结果如图6.3

420-2-4-4y-20图6.3 x等值线 24 5

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