2015年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）

2015年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知全集为R，A={x

≤0}，B={x|x＞0}，则?R（A∩B）=（ ）

A． （﹣∞，0]∪（1，+∞） B． （﹣∞，0][1，+∞） C． （﹣∞，﹣1） D． （﹣∞，﹣1]

2．已知i是虚数单位，若（﹣1﹣2i）z=1﹣i则在复平面上所代表的点在（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3．给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，3）则p（ξ＜1）=；

④对分类变量X与Y它们的随机变量K的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小．

其中正确的说法的个数是（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．已知点M（﹣6，5）在双曲线C：则它的渐近线方程为（ ） A． y=±

x B． y=±

x C． y=±x D． y=±x

﹣

=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，

22

5．如图，在网格状小地图中，一机器人从A（0，0）点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，问6秒后到达B（4，2）点的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

6．若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11=tan（a6﹣b6）为（ ） A．

B． ±

C．

D． ±

π，{bn}为等比数列，b5?b7=

，则

7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（ ） A． 函数f（x）的最小正周期为2π B． f（x）的最大值为 C． f（x）的图象关于直线x=﹣ D． 将f（x）的图象向右平移

8．已知抛物线y=8x，P为其上一点，点N（5，0），点M满足|的最小值为（ ） A． B． 4 C．

n

2

对称

，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象

|=1，?=0，则||

D． 2

9．设函数f（x）=（2x+a），其中n=6中x的系数是（ ）

A． ﹣240 B． 240 C． ﹣60 D． 60

10．已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3

4

cosxdx，=﹣12，则f（x）的展开式

+2+=，3

，则S△PAB：

S△QAB为（ ）

A． 1：2 B． 2：5 C． 5：2 D． 2：1

11．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP=，则球的体积为（ ） A．

12．定义：如果函数（fx）在[a，b]上存在x1，x（满足f（′x1）=2a＜x1＜x2＜b）f′（x2）

3

2

B． C． D．

，

，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）

=x﹣x+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ） A． （，） B． （0，1） C． （，1） D． （，1）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．设实数x?y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 ．

14．执行如图程序框图，如果输入的依次为3，5，3，5，5，4，4，3，4，4，则输出的s为 ．

15．若函数f（x）=|1nx|﹣mx恰有3个零点，则m的取值范围为 ．

16．如图，在△ABC中，AB=则AC= ．

，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=

，cos∠C=

，

三、解答题（共5小题，满分60分） 17．（12分）（2015?上饶三模）已知数列{an}的首项a1=1，an+1=2an+1． （1）求证：{an+1}是等比数列； （2）求数列{nan}的前n项和Sn． 18．（12分）（2015?上饶三模）对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社会实践的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图： 分组 频数 频率 [10，15） 20 0.25 [15，20） 48 n [20，25） m p

[25，30） 4 0.05 合计 M 1

（1）求出表中M，p及图中a的值；

（2）在所取样本中，从参加社会实践的次数不少于20次的学生中任选3人，记参加社会实践次数在区间[25，30）内的人数为X，求X的分布列和期望．

19．（12分）（2015?上饶三模）如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是

BC的中点，将△BAE沿AE折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F为B1D的中点． （1）证明：AE⊥B1D；

（2）求二面角F﹣AC﹣B1的余弦值．

20．（12分）（2015?上饶三模）已知圆A：（x+1）+y=和定圆A相内切，与定圆B相外切，

（1）记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；

（2）M?N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M?N的一点，求证kPM．kPN为定值；

（3）过B点作两条互相垂直的直线l1，l2分别交曲线C于E?F?G?H，求四边形EGFH面积的取值范围． 21．（12分）（2015?上饶三模）已知函数f（x）=（mx+1）（1nx﹣3）． （1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；

（2）设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足1nx1?1nx2=31n（x1?x2）﹣8，（x1≠x2），判断是否存在点P（m，0），使得∠APB为直角？说明理由；

（3）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．

四、选考题：请考生在第22?23题中任选一题作答?若多做，则按所做的第一题计分（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

2

2

2

2

，圆B：（x﹣1）+y=，动圆D

22．（10分）（2015?上饶三模）已知直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为（φ为参数）．

（1）在极坐标系下，若曲线犆与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB的面积；

（2）在直角坐标系下，给出直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线

l的交点坐标．

【选修4-5：不等式选讲】 23．（2015?上饶三模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求不等式f（x）≥3的解集；

22

（2）若关于x的不等式f（x）＞a﹣x+2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．

2015年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知全集为R，A={x

≤0}，B={x|x＞0}，则?R（A∩B）=（ ）

A． （﹣∞，0]∪（1，+∞） B． （﹣∞，0][1，+∞） C． （﹣∞，﹣1） D． （﹣∞，﹣1]

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．

分析： 求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B交集的补集即可． 解答： 解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0， 解得：﹣1＜x≤1，即A=（﹣1，1]， ∵B=（0，+∞）， ∴A∩B=（0，1]，

则?R（A∩B）=（﹣∞，0]∪（1，+∞）， 故选：A．

点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．已知i是虚数单位，若（﹣1﹣2i）z=1﹣i则在复平面上所代表的点在（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数的代数表示法及其几何意义．

分析： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 解答： 解：∵（﹣1﹣2i）z=1﹣i，

∴z=则=

==

在复平面上所代表的点

，

在第四象限．

故选：D．

点评： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．

3．给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，3）则p（ξ＜1）=；

④对分类变量X与Y它们的随机变量K的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小．

其中正确的说法的个数是（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 综合题；概率与统计．

分析： ①由绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，即可判断；

2

2

②线性回归直线一定经过样本中心点（，）；

2

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，3），利用对称性可得结论；

2

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，可得结论．

解答： 解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②错； ③设随机变量ξ服从正态分布N（1，3）则p（ξ＜1）=，正确；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：A．

点评： 本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

4．已知点M（﹣6，5）在双曲线C：则它的渐近线方程为（ ） A． y=±

x B． y=±

x C． y=±x D． y=±x

﹣

=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，

22

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 通过点M（﹣6，5）在双曲线C：为12，可得

2

2

﹣=1（a＞0，b＞0）上及双曲线C的焦距

、a+b=36，计算即得结论．

解答： 解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：∴

，①

﹣=1（a＞0，b＞0）上，

又∵双曲线C的焦距为12， ∴12=2

，即a+b=36，②

2

2

2

2

联立①、②，可得a=16，b=20， ∴渐近线方程为：y=±

x=±

x，

故选：A．

点评： 本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．

5．如图，在网格状小地图中，一机器人从A（0，0）点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，问6秒后到达B（4，2）点的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 相互独立事件的概率乘法公式． 专题： 计算题；概率与统计．

分析： 根据题意，分析可得机器人从A到B，需要向右走4步，向上走2步，由相互独立事件的概率公式计算可得答案．

解答： 解：根据题意，机器人每秒运动一次，6秒共运动6次，若其从A（0，0）点出发，6秒后到达B（4，2），需要向右走4步，向上走2步，

则其到达B的概率为C6?（）（）=故选D．

224

=；

点评： 本题考查相互独立事件的概率计算，关键是结合点的坐标分析得到机器人从A到B的运动方法．

6．若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11=tan（a6﹣b6）为（ ） A．

B． ±

C．

D． ±

π，{bn}为等比数列，b5?b7=

，则

考点： 等差数列与等比数列的综合． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 运用等差数列的求和公式和等差中项，可得a6=再由特殊角的三角函数，即可得到结论． 解答： 解：由{an}为等差数列，S11=则（a1+a11）×11=即为11a6=

，a6=

， ，

，

π，

，由等比数列的性质可得b6=±

，

又{bn}为等比数列，b5?b7=即有b6=即b6=±

，

﹣+

2

，

则tan（a6﹣b6）=tan（或tan（a6﹣b6）=tan（

）=tan）=tan

==

． ．

故选：C．

点评： 本题考查等差数列和等比数列的性质和求和公式，考查三角函数的求值，属于中档题．

7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（ ） A． 函数f（x）的最小正周期为2π B． f（x）的最大值为 C． f（x）的图象关于直线x=﹣ D． 将f（x）的图象向右平移

对称

，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象

考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x+）+，分别求出其周期，

最大值，对称轴即可判断A，B，C，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的性质即可判断D选项．

解答： 解：∵f（x）=（sinx+cosx）cosx =sin2x+cos2x+ =

sin（2x+

）+

，A错误；

∴函数f（x）的最小正周期T=f（x）的最大值为：由2x+

=kπ

，B错误；

，解得f（x）的图象的对称轴为：x=

，得到g（x）=

，k∈Z，故C错误；

将f（x）的图象向右平移得到h（x）=

sin2x+图象，再向下平移个单位长度后会

sin2x的图象，而h（x）是奇函数．故正确．

故选：D． 点评： 本题主要考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．

8．已知抛物线y=8x，P为其上一点，点N（5，0），点M满足|的最小值为（ ） A． B． 4 C． D． 2

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

2

|=1，?=0，则||

分析： 由||=1，?=0，可得M在以N（5，0）为圆心，1为半径的圆上，⊥，

即MN为圆的切线，由勾股定理和两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到所求最小值． 解答： 解：由|

|=1，

?

=0，

可得M在以N（5，0）为圆心，1为半径的圆上， ⊥

，即MN为圆的切线，

2

2

2

由勾股定理可得|MP|=|NP|﹣|MN|

2

=|NP|﹣1，

要求|MP|的最小值，只要求|NP|的最小值． 设P（n，n），则|NP|=

2

=

2

，

，

当n=8即n=时，|NP|取得最小值，且为2即有|MP|取得最小值． 故选C．

点评： 本题考查抛物线的方程的运用，同时考查直线和圆的位置关系，以及向量的垂直和勾股定理的运用，二次函数的最值求法，属于中档题．

9．设函数f（x）=（2x+a），其中n=6中x的系数是（ ）

A． ﹣240 B． 240 C． ﹣60 D． 60

考点： 二项式定理的应用；定积分． 专题： 综合题；二项式定理．

n

cosxdx，=﹣12，则f（x）的展开式

4

分析： 利用定积分基本定理可求得n，利用可求得f（x）展开式中x的系数． 解答： 解：∵n=6

6

4

=﹣12，求出a，再利用二项式定理

cosxdx=6sinx=6，

∴f（x）=（2x+a），

65

∴f（0）=a，f′（0）=12a， ∵∴a=﹣1

∴f（x）=（2x﹣1）展开式中x的系数为：

6

4

=﹣12，

?2?（﹣1）=15×16=240．

42

故选：B．

点评： 本题考查二项式定理，考查定积分，求得n是关键，属于中档题．

10．已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3S△QAB为（ ）

A． 1：2 B． 2：5 C． 5：2 D． 2：1

考点： 向量的线性运算性质及几何意义． 专题： 平面向量及应用．

+2+=，3

，则S△PAB：

分析： 由已知向量等式得到S△PAB=S△ABC，S△QAB=解答： 解：由题意，S△PAB=S△ABC，S△QAB=

S△ABC，可求面积比．

S△ABC，

所以，S△PAB：S△QAB=2：5．

故选：B．

点评： 本题主要考查了向量的计算与运用．考查了学生综合分析问题的能力．

11．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP=，则球的体积为（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 球的体积和表面积；棱锥的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 利用几何图形得出△ABC和△PAB为正三角形，根据正三角形的几何性质得出

=，=，

再直角三角形的几何性质得出球的体积． 解答： 解：

=所以OA=整体求解即可，得出半径求解

连接OP交平面ABC于O′，

由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形， 所以O'A=

AB=

AP．因为AO'⊥PO，OA⊥PA，

所以=，=，

=所以OA=

=

=1，

球的半径为1， 故体积为×π×1=π，

故选：C

点评： 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．

12．定义：如果函数（fx）在[a，b]上存在x1，x（满足f（′x1）=2a＜x1＜x2＜b）f′（x2）

3

2

3

，

，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）

=x﹣x+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ） A． （，） B． （0，1） C． （，1） D． （，1）

考点： 函数的单调性与导数的关系；变化的快慢与变化率．

专题： 导数的综合应用．

分析： 由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=a﹣a，即方程3x﹣2x=a﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围 解答： 解：由题意可知，

在区间[0，a]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a）， 满足f′（x1）=

3

2

2

2

2

==a﹣a，

2

∵f（x）=x﹣x+a，

2

∴f′（x）=3x﹣2x，

22

∴方程3x﹣2x=a﹣a在区间（0，a）有两个解．

22

令g（x）=3x﹣2x﹣a+a，（0＜x＜a），

∴

解得＜a＜1，

故选：D．

点评： 本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．设实数x?y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 26 ．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解答： 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），

由z=2x+3y，得y=平移直线y=

，

，由图象可知当直线y=

经过点A时，直线y=

的截

距最大，此时z最大． 由

，解得

，

即A（4，6）．

此时z的最大值为z=2×4+3×6=26， 故答案为：26

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

14．执行如图程序框图，如果输入的依次为3，5，3，5，5，4，4，3，4，4，则输出的s为 4 ．

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 框图的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，利用平均数公式计算可得答案．

解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，

∴输出的S==4．

故答案为：4．

点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．

15．若函数f（x）=|1nx|﹣mx恰有3个零点，则m的取值范围为 （0，） ．

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由题意可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点．求出过原点和曲线y=lnx相切的切线的斜率的值，可得m的范围．

解答： 解：由题意函数f（x）=|1nx|﹣mx恰有3个零点， 可得函数y=|1nx|的图象和直线y=mx有3个交点． 设过原点和曲线y=lnx相切的切线的切点为 （a，lna），

则由切线斜率的几何意义可得切线的斜率 为y′|x=a==

，求得a=e，

即此切线的斜率为，∴0＜m＜， 故答案为：

．

点评： 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，切线斜率的几何意义，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．

16．如图，在△ABC中，AB=则AC=

．

，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=

，cos∠C=

，

考点： 解三角形． 专题： 解三角形．

分析： 根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．

解答： 解：∵BD=2DC，

∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，

∵cos∠DAC=，cos∠C=，

∴sin∠DAC=则由正弦定理得即

，sin∠C=， ，

，即y=，

sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=则∠ADB=

，

，

×+×=，

在△ABD中，即2=4x+2x﹣2×

2

2

2

，

=2x，

=2+1﹣2×

=5，

2

即x=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=在△ACD中，AC=AD+CD﹣2AD?CDcos

2

2

2

即AC=， 故答案为：．

点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．

三、解答题（共5小题，满分60分） 17．（12分）（2015?上饶三模）已知数列{an}的首项a1=1，an+1=2an+1． （1）求证：{an+1}是等比数列； （2）求数列{nan}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）由an+1=2an+1可得an+1+1=2（an+1），结合等比数列的通项公式即可求解；

n

（2）由（1）可得，nan=n?2﹣n，分组后结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求．

解答： 解：（1）∵a1=1，an+1=2an+1． ∴an+1+1=2（an+1），a1+1=2，

∴数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列；

n﹣1n

（2）由（1）可得an+1=2?2=2，

n

∴an=2﹣1，

n

则nan=n?2﹣n，

2n

令Tn=1?2+2?2+…+n?2，

23nn+1

则2Tn=1?2+2?2+…+（n﹣1）?2+n?2，

两式相减可得，﹣Tn=2+2+…+2﹣n?2=2

n+1

2nn+1

=﹣n?2

n+1

﹣2﹣n?2

n+1

，

∴Tn=（n﹣1）?2

n+1

+2，

n+1

∴前n项和Sn=（n﹣1）?2

+2﹣n（1+n）．

点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求数列的通项公式，及分组求和、

错位相减求和方法的应用． 18．（12分）（2015?上饶三模）对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社会实践的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图： 分组 频数 频率 [10，15） 20 0.25 [15，20） 48 n [20，25） m p [25，30） 4 0.05 合计 M 1

（1）求出表中M，p及图中a的值；

（2）在所取样本中，从参加社会实践的次数不少于20次的学生中任选3人，记参加社会实践次数在区间[25，30）内的人数为X，求X的分布列和期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．

分析： （1）读频率分布直方图得出各自对应的值．（2）求出x的所有可能取值和各自的概率从而得出分布列 解答： 解：（1）可得M=80，p=0.1，a=0.12．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （2）X的取值为0，1，2，3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 分布列如下： X 0 1 2 3 P

可得 EX=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型

19．（12分）（2015?上饶三模）如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是

BC的中点，将△BAE沿AE折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F为B1D的中点． （1）证明：AE⊥B1D；

（2）求二面角F﹣AC﹣B1的余弦值．

考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （1）作辅助线利用线面垂直证明AE⊥B1D；

（2）建立合理的坐标系求出坐标利用两个面的法向量求得余弦值

解答： （1）证明：取AE的中点M，连接MB1，MD，则AE⊥MB1，AE⊥MD，所以AE⊥面MDB1，则AE⊥B1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（2）解：分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则

，

，

，

设面ACF的法向量为

，

，

，

，

由有令x=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7

分）

设B1AC的法向量

，有

令x2=1，

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

所以，

二面角F﹣AC﹣B1为锐角，故二面角F﹣AC﹣B1的余弦值为

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查利用线面垂直的性质定理证明线线垂直的方法和利用建立坐标系求得二面角的余弦值，属中档题，高考常考题型．

20．（12分）（2015?上饶三模）已知圆A：（x+1）+y=

2

2

，圆B：（x﹣1）+y=，动圆D

22

和定圆A相内切，与定圆B相外切，

（1）记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；

（2）M?N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M?N的一点，求证kPM．kPN为定值；

（3）过B点作两条互相垂直的直线l1，l2分别交曲线C于E?F?G?H，求四边形EGFH面积的取值范围．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）由动圆M和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得MA+MB=4，即可求C的方程；

（2）由题意可得，M（﹣2，0），N（2，0），设P（x0，y0），求出斜率，即可得出kPM．kPN为定值；

（3）联立直线方程和椭圆方程，求出EF?GH，可得四边形EGFH面积，换元，即可得出取值范围． 解答： 解：（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，由动圆M和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得

，所以MA+MB=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 则M是以AB为焦点的椭圆，分

（2）由题意可得，M（﹣2，0），N（2，0），设P（x0，y0），则有

，

，所以曲线C的方程为

．﹣﹣3

那么kPM?kPN=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（3）（Ⅰ）当l1、l2中有一条斜率不存在时，不妨设l1⊥x轴，则l2与x轴重合．则EF=3，MN=4， 所以（7分）

（Ⅱ）当l1、l2的斜率均存在时，不妨设l1的斜率为k（k≠0），则l2的斜率为设E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）， 因为B（1，0），所以联立直线方程和椭圆方程，

，

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

有，得

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

所以将k换为

，有x3+x4=

，

x3x4=

，GH=，

则SEGFH=分）

=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10

设t=1+k，则t＞1，那么SEGFH=

2

==

当t=2，即k=±1时，SEGFH取最小值，当t→+∞时，SEGFH→6．

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

综上所述，四边形EGFH面积的取值范围为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

点评： 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查四边形面积的计算，属于中档题． 21．（12分）（2015?上饶三模）已知函数f（x）=（mx+1）（1nx﹣3）． （1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程； （2）设点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足1nx1?1nx2=31n（x1?x2）﹣8，（x1≠x2），判断是否存在点P（m，0），使得∠APB为直角？说明理由；

（3）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）通过m=1，求出取得坐标，切线的斜率，然后求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；

（2）设点P（m，0），A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））满足lnx1?lnx2=ln（x1?x2）（x1≠x2），化简向量数量积的表达式，推出数量积是否为0，即可判断是否存在实数m，使得∠APB为直角；

（3）求出函数的导数，通过函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，导数大于等于0．构造新函数，通过新函数的值域，求解实数m的取值范围； 解答： 解：（1）m=1，函数f（x）=（x+1）（lnx﹣3）． ∴f（1）=﹣6，切点坐标（1，﹣6）， ∴f′（x）=（lnx﹣3）+（x+1）， ∴f′（1）=1，

∴切线方程为：y﹣6=x﹣1． ∴切线方程为x+y+5=0； （2）依题意得∴

=（x1﹣m，f（x1）），

=（x2﹣m，f（x2）），

=（x1﹣m）（x2﹣m）+f（x1）f（x2）

=（x1﹣m）（x2﹣m）+（mx1+1）（lnx1﹣3）（mx2+1）（lnx2﹣3）

22

=x1x2﹣m（x1+x2）+m+（mx1x2+m（x1+x2）+1）（lnx1lnx2﹣3（lnx1+lnx2）+9）

22

=x1x2﹣m（x1+x2）+m+（mx1x2+m（x1+x2）+1）

=（1+m）（x1x2+1）＞0

∴不存在实数m，使得∠APB为直角； （3）∵f′（x）=m（lnx﹣3）+（mx+1）

=

，

2

若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 有mx（lnx﹣2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立， 设h（x）=x（lnx﹣2）， ∴h′（x）=lnx﹣1，

∴h（x）在（0，e）是减函数，在（e，+∞）是增函数， ∴h（x）≥h（e）=﹣e， ∴h（x）值域[﹣e，+∞），

即mt+1≥0在t∈[﹣e，+∞）恒成立， ∴

，

解得0＜m＜．

点评： 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数恒成立，考查转化思想的应用．

四、选考题：请考生在第22?23题中任选一题作答?若多做，则按所做的第一题计分（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．（10分）（2015?上饶三模）已知直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为（φ为参数）．

（1）在极坐标系下，若曲线犆与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB的面积；

（2）在直角坐标系下，给出直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线

l的交点坐标．

考点： 椭圆的参数方程；直线的参数方程． 专题： 坐标系和参数方程．

22

分析： （1）通过令cosφ+sinφ=1，得曲线C在直角坐标系下的普通方程，再将其化为极

坐标方程，分别代入θ=和θ=﹣，得|OA|=|OB|=，利用三角形面积公式即得结论；

22

（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，再将t的值代入l的参数方程，即得结论． 解答： 解：（1）∵曲线C的参数方程为∴cosφ+sinφ=（）+y=1，

2

2

2

2

（φ为参数），

∴曲线C在直角坐标系下的普通方程为将其化为极坐标方程为分别代入θ=∵∠AOB=

和θ=﹣

，得|OA|=|OB|=，

2

2

，

，

，∴△AOB的面积S=|OA||OB|=；

（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程， 得

解得t=0或t=﹣

+t=1，即t+，

，

．

2

2

t=0，

代入l的参数方程，得x=2，y=0，或

所以曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或

点评： 本题考查坐标系与参数方程，对参数方程与极坐标方程之间的灵活转化是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

【选修4-5：不等式选讲】 23．（2015?上饶三模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）＞a﹣x+2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．

考点： 带绝对值的函数． 专题： 综合题；不等式．

分析： （1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；

22

（2）分类讨论，去掉绝对值，利用不等式f（x）＞a﹣x+2x在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．

22

解答： 解：（1）x＜﹣1时，不等式可化为1﹣x﹣x﹣1≥3，∴x≤﹣，∴x≤﹣； ﹣1≤x≤1时，不等式可化为1﹣x+x+1≥3，不成立； x＞1时，不等式可化为x﹣1+x+1≥3，∴x≥，∴x≥， ∴不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤﹣或x≥}；

（2）x＜﹣1时，不等式f（x）＞a﹣x+2x可化为a＜（x﹣2）﹣4，∴a＜5，∴﹣＜a＜；

22222

﹣1≤x≤1时，不等式f（x）＞a﹣x+2x可化为a＜（x﹣1）+1，∴a＜1，∴﹣1＜a＜1；

22222

x＞1时，不等式f（x）＞a﹣x+2x可化为a＜x，∴a＜1，∴﹣1＜a＜1， ∴﹣＜a＜．

2

2

2

2

2

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r0q3.html