第五届高数竞赛经济类试题

第五届高数竞赛(经济类)试题

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序号： 姓名： 学院: 第 考场 专业： 学号： 考试日期： 2008年9月21日 题号 题分 得分 一 二 18 三 6 四 五 六 七 八 九 6 7 6 7 6 7 十 6 十一 6 十二 总分 7 100 累分人 签名 18 注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:30——11:30. 一、 填空题(每空3分，共18分) 得分 评阅人 1???2?(1?tanx)1?cosx ,x?(?,0)?(0,)f(x)??22在?k ,x?0?1、设x=0连续，则常数k=________。 ddx2、设函数f(x)在x=e点处有连续一阶导数，且f?(e)??2e?1，则lim3、函数f(x)?e4、???2x?0?[f(ecosx)]=________。 x?12在闭区间[-2,2]上的最大值为________。 =________。 ?u?ydx(1?x)(arctanx)215、已知二元函数u（x,y）满足条件：?x?2y2，u(x,x2)?1，则u（x,y）=________。 ?6、函数项级数?ne?nx的收敛域为________。 n?1第 2 页 共 9页

二、 单项选择题(每题3分，共18分) 得分 评阅人 1、下列函数中在开区间（0，1）内有界的是（ ）。 A、f(x)?xlnx B、f(x)??1xdtln(1?t) C、f(x)?x?3x?3x?22 D、f(x)?1xcos1x 2、设f(x)具有二阶导数，f(0)=0,处（ ）。 A、间断 B、可导且g?(0)?12?f(x) ,x?0?f??(0)?1,而g(x)??x，则?f?(0) ,x?0?g(x)在x=0点 C、连续但不可导 D、可导且g?(0)?1 f(?)?f(??x)x??1，3、设周期函数f(x)在(??,??)内可导，周期为6?，且满足条件lim则曲线y=f(x)在点(7?,f(7?))处的切线斜率为（ ）。 A、-2 B、0 C、-1 D、1 4、设F(t)?x?0?t?tdx?t?x222?t?x2f(x?y)dy22，t?(0,??)，其中f(u)为连续函数，f(1)?0,则F?(1)等于（ ）。 A、f(1) B、2f(1) C、2?f(1) D、0 5、设Un?(?1)n??2lnnn，则级数（ ）。 ??A、?Un与?Un都收敛； B、?Un与?Un2都发散； n?1n?1n?1n?1??2??C、?Un收敛而?Un发散； D、?Un发散而?Un2收敛。 n?1n?1n?1n?16、考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质： ①f(x,y)在点(x0,y0)处连续。 ②fx?(x,y)，fy?(x,y)在点(x0,y0)处连续。 ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微。 ④fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)存在 若用“P?Q”表示可用性质P推出性质Q,则有（ ）。 A、②=>③=>① B、③=>②=>① C、③=>④=>① D、③=>①=>② 第 3 页 共 9页

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得分 评阅人 三、（本题满分6分） 12n设a1?1,an? 2nn?1?2nn?12?...?2nn?1n ,n?2,3,...，求liman。 n?? 得分 评阅人 四、（本题满分6分） lnxx求函数y? 的n阶导数y(n)。 第 5 页 共 9页

得分 评阅人 五、（本题满分7分） 讨论方程xe?x?a有几个实根？（常数a>0）。. 得分 评阅人 六、（本题满分6分） 1ax?sinxx0确定常数a,b使得lim x?0?t2b?3tdt?2。

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得分 评阅人 七、（本题满分7分） x?z?x设z?xf()?2y?()，其中f(u)，?(u)都是二阶可导的函数。⑴求xy?z?x?yx?a2y，?z?x?y2；⑵如果f(u)??(u)，且??by2，试求f(u)。 得分 评阅人 八、（本题满分6分） 计算二重积分I???Dxe2?y2dxdy，其中D是由直线y?x，y?1以及y轴围成的闭区域。

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得分 评阅人 九、（本题满分7分） 若函数f(x),g(x)满足条件：f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)?0，g(0)?0。试求： ⑴f(x)； ⑵由曲线y? 得分 评阅人 f(x)g(x)，(x?0)与直线y?1和x?0所围成的平面图形的面积。 十、（本题满分6分） 设?sinx ,x?0?f(x)??x?1 ,x?0??。⑴将f(x)展开成x的幂级数；⑵问?fn?1(2n)(0)是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

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得分 评阅人 十一、（本题满分6分） 已知f?x?在???,???内连续，f?0???1，且对一切x?0，满足关系式? 10f?xt?dt?f?x??e?2xx，求f?x?。 得分 评阅人 十二、（本题满分7分） 设f(x)，g(x)都在闭区间[a,b]上单增、连续。 证明：(b?a)?f(x)g(x)dx?ab?baf(x)dx?g(x)dx。 ab

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