锐角三角函数同步练习含试卷分析详解九年级数学试题

28.1 锐角三角函数 达标训练

一、基础·巩固达标

1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )

A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定 2.已知α是锐角，且cosα=

4，则sinα=( ) 5A.

94316 B. C. D. 2555253.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶4.设α、β为锐角，若sinα=

3，则cosA=_______，tanA=_________.

33，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 234，求AD、AC、BC. 35.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________. 6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=

二、综合?应用达标 7.已知α是锐角，且sinα=

4，则cos(90°－α)=( ) 5A.

4331 B. C. D. 5455cos??sin?的值.

cos??sin?8.若α为锐角，tana=3，求

9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为2?

3，且α为锐角，求tanα.

10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4 m. (1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)；

(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？

图28.1－13

11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？

图28.1－14

三、回顾?展望达标

12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )

A.

3434 B. C. D. 4355

图28.1－15 图28.1－17 图28.1－16

13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r?AC=2，则cosB的值是( ) A.

3，23255 B. C. D. 23321，则BC=( ) 311 D. 54514.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=

A.45 B.5 C.

15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )

A.

3344 B. C. D. 543516.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P

和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，

可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.

图28.1－18 图28.1－19

17.计算：21－tan60°+(

－

5－1)0+|3|；

18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=

(1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.

参考答案

一、基础·巩固达标

1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )

A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定 思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变. 答案：A

1，∠CAD=30°. 2

2.已知α是锐角，且cosα=

4，则sinα=( ) 5A.

94316 B. C. D. 2555254，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，5思路解析：由cosα=

则sinα=

3. 5答案：C

3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶

3，则cosA=_______，tanA=_________.

思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=定义计算. 答案：

3x，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的

1，3 24.设α、β为锐角，若sinα=

33，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 23思路解析：要熟记特殊角的三角函数值. 答案：60°,30°

5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.

思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 0

6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=

4，求AD、AC、BC. 3思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=理来求解.

4，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定3

解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k. 在Rt△ABC中，∵tanB=

4420，∴AC=AB=k.∵BD=9,∴k=3. 333

所以AD=4×3=12，AC=根据勾股定理BC?二、综合?应用达标 7.已知α是锐角，且sinα=

20×3=20. 3202?152?25.

4，则cos(90°－α)=( ) 5A.

4331 B. C. D. 5455思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=

4. 5方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”. 答案：A

8.若α为锐角，tana=3，求

cos??sin?的值.

cos??sin?思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶

10，sinα=

310，cosα=

110，分别代入所求式子中.

方法2.利用tanα=

sin?计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. cos?cos?sin??cos?cos??1?tan??1?3?1. 答案：原式=

cos?sin?1?tan?1?32?cos?cos?9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为2?3，且α为锐角，求tanα.

思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是2?后利用前面介绍过的方法求tanα. 解：设方程的另一个根为x2，则(2?∴x2=2?3，进而可求出sinα=

4，然53)x2=1

3

3)+(2?3)，解得sinα=

4. 5∴5sinα=(2?

设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k， ∴tanα=

4k4?. 3k310.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4 m.

图28.1－13

(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)；

(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？

思路解析：用勾股定理可以计算出AB的长，其倾斜角∠ABC可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.

解：(1)在Rt△ABC中，AB?答：滑梯的长约为4.5 m. (2)∵tanB=

22?42≈4.5.

AC?0.5,∴∠ABC≈27°, BC∠ABC≈27°＜45°.

所以这架滑梯的倾斜角符合要求.

11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？

图28.1－14

思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数. 解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab， 由题意得，平行四边形的面积S=

1b，再在21ab. 2

又因为S=ah=a(bsinα)，所以三、回顾?展望达标

11ab=absinα，即sinα=.所以α=30°. 2212.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )

图28.1－15

A.

3434 B. C. D. 4355思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C

13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r?AC=2，则cosB的值是( )

3，2

图28.1－17

A.

3255 B. C. D. 2332思路解析：利用∠BCD=∠A计算. 答案：D

14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=

1，则BC=( ) 3A.45 B.5 C.

11 D. 545思路解析：根据定义sinA=答案：B

BC，BC=AB·sinA. AB15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )

图28.1－16

A.

3344 B. C. D. 5435思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B

16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P

和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.

图28.1－18

思路解析：正弦、余弦函数的定义. 答案：

－

PMOMPMP1M1OMOM1，锐角α ,,?,?OPOPOPOPOPOP1117.计算：21－tan60°+(5－1)0+|3|；

13－3+1+3=. 221，∠CAD=30°. 2思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义. 解：21－tan60°+(

－

5－1)0+|3|=

18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=

图28.1－19

(1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.

思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°. 由sinB=

1可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角2形，由此∠OAD=90°.

AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度. (1)证明：如图，连接OA.

∵sinB=

1，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. 2∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形. ∴∠OAD=60°.

∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线. (2)解：∵OD⊥AB ∴ OC垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5.

在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=∴ AD=5

AD. OA3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r0ad.html