易哈佛MBA数学-基础阶段讲义

第一章 实数的概念 性质和运算

内容要点

一、 充分条件

定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即A?B，这时我们就说A是B的充分条件。

2

例如：A为x>0, B为x>0.

2

由x>0?x>0 A是B的充分条件.

MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：

本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）

在这类题目中有五个选项，规定为

（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分； （B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分；

（C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分； （D） 条件（1）充分，条件（2）也充分；

（E） 条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分. 二、 实数

1、 数的概念和性质

m（百分数%） n（2）数的整除：设?a,b∈Z 且b≠0若?P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或

（1）自然数N、整数Z、分数

a能被 b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。

定理（带余除法），设a,b∈Z,且b>0,则?P，r∈Z使得a=bP+r，0≤r

(3)质数与合数

质数：如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或素数）.例如：2、3、5、7、、、.

合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：4、6、9、、、.

(4)有理数与无理数

有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数. 无理数；无限不循环小数叫做无理数.

（5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示. 2、实数的基本性质：

（1）实数与数轴上的点一一对应.

（2）?a，b∈R，则在ab中只有一个关系成立.

2

（3）?a∈R,则a≥0. 3、实数的运算.

实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。 下面讨论实数的乘方和开方运算 （1） 乘方运算

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当a∈R，a≠0时，a=1，a=

0

-n

1,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂为 an

正数。

（2） 开方运算

在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。

在运算有意义时，

a?man nm三、 绝对值

１、定义 实数a的绝对值，用︱a︱表示

几何意义：数轴上表示数a的点Ａ到原点Ｏ的距离。 ２、性质

（１）︱a︱≥０ （２）︱–a︱=︱a︱ （３）–︱a︱≤a≤︱a︱

（４）︱x︱?a ?a?0???a?x?a

x?a?x??a或x?a

︱a?b︱︱?a︱︱?b︱（５）

（６）

bb?（a≠0） aa（７）︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立．

（８）︱a-b︱≥︱a︱-︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立.

22

（９）a∈R时，︱a︱=a 四、平均值

x1?x2?...?xn1n??xi １、算术平均值：n个数x1,x2,...,xn的算术平均值为x?nni?1２、几何平均值：n个正数x1, x2,?..xn,的几何平均值为

G?nx1?x2?x3?...?xn?ni?1?xi

n五、比和比例

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、１、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做a:b、即

aa:b＝

b a叫做比的前项，b叫做比的后项，若

2、 比的性质

a的商为k则称k为a:b的值。 b（1） a:b=k?a=kb （2） a:b=ma:mb(m≠0) 3、 百分比

把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:2=50% a:b=r%常表述为a是b的r%,即a=b?r%. 4、 比例的定义

如果两个比a:b和c:d的比值相等，就称a、b、c、d成比例，记作

a:b= c:d或

ac= a和d叫做比例的外项，b和c叫做比例的内项。 bd2当a:b= b:d时，称b为a和d的比例中项即 b=ad （甲） 典型例题

一、 充分条件判断，举例 1、 方程x2-5x+6=0 (1)x=2 (2)x=1 2

解:将(1)x=2 代入方程,2-5?2+6=0 满足方程. 条件(1)充分.

2

将(2)x=1代入方程 1-5?1+6=2?0条件(2)不充分.答案应选A 注 :若比题题干不变

所给出的条件有如下变化时:x?5x?6?0.

(一) (1)x=1, (2)x=3 答案应选B (二) (1)x=2 (2)x=3 答案应选D (三) (1)x=0 (2)x=1 答案应选E

2、等式x=y成立(x,y实数)

22

(1)x= y(2)x和y同号

22解:由x =y?x=y或x=-y条件(1)不充分.x和y同号时,可能x?-y,条件(2)不充分.

22

但条件(1)与(2)联合起来, x= y且x与y同号?x=y故答案选C

3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高 (1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成; (2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成;

解:设甲单独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完. 由条件(1)丙每小时录入量为

211-,再由条件(2)得

3x 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

111111111+(-)=?=+12?> y3x4xyxy2013年MBA/MPA/MPACC备考交流QQ群：208950014

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即:甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量. 即:甲的效率比乙高,此题应选C

二、 实数

5、 从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ） （A）58个（B）57个（C）56个（D）49个（E）47个

解：能被3整除的数可表示为3k，k=1，2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k, k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数.

3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k ， k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的个数为35+21－7=49个 答案是D

5、（充分性判断）（2009年10月考题） m是一个整数。

（1）

若m=

p2

，其中p与q为非零整数，且m是一个整数。 qp2m?4，其中p与q为非零整数，且是一个整数。 q3p2

，知m是有理数，又m是一个整数，即有理数的q（2） 若m=

解：由条件（1），若m=

平方是整数，则该有理数m必是一个整数，条件（1）充分

由条件（2），若m=

p2m?4，知m是有理数，又 =z是一个整数,即2m+4=3q3

z? m=

3z?4故m不一定是一个整数,条件(2)不充分,故选A. 36、 （2008年10月考试）

一个大于1的自然数的算术平方根为a，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（ ）

(A) a-1，a+1 (B) a?1， （D）a2?1 ，a?1 (C) a?1，a?1 ，

a2?1 （E）a2?1,a2?1

222解：设n是大于1的自然数，n?a则n?a n?1,n?1分别为a?1，a?1，

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从而n?1，n?1的算术平方根分别为a2?1，a2?1 故选D

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7、把无理数13记作a，它的小数部分记作b则a?（A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2 （E）-3

解：因为9<13<16 所以3<13<4 ,故13的整数部分是3 ,即b=a-3. 所以

4等于（ ） b44a2?3a?413?313?4?9313a??a??????3,答案选E

ba?3a?313?313?3三、

绝对值

2

8、已知︱x?y?6︱+(x?4y)=0,则logyx=_______ 解：由?x?y?6??0,(x?4y)?0

2?x?y?6?0?x?8 log28=3 答案：3 ????x?4y?0y?2??9、求适合下列条件的所有x的值

︱x?6︱=10 （1）

︱x?6︱?9 （2）

︱x?6︱?1 （3）

解：（1）x?6??10得x?16或x??4 （2）?9?x?6?9??3?x?15 （3）x?6??1或x?6?1?x?5或x?7 10、已知︱3x?11?3x︱=,求x的取值范围. 22︱a︱=-a,应有a?0 解:已知等式可能简化表示为

由

3x?11?0?x? 2313所以x取值范围是x?(??,] 11、（2001年考题） 已知

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︱a︱=5,︱b︱=7,ab<0则︱a-b︱=( )

（A）2 （B）-2 （C）12 （D）-12 （E）6

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解：由ab?0则可知a?0,b?0或a?0,b?0 当a?0时b?0时由︱a︱=5 ︱b︱=7得a=-5 b=7

︱a-b︱=︱-5-7︱=12 从而

当a>0,b<0时 得a=5,b=-7

︱a-b︱=︱5-(-7)︱=12 所以答案选C 从而

12、（充分性判断）

方程f(x)=2有且只有一个实根

︱x?3︱+2 （1）f(x)?︱x-3︱(2)f(x)?

解：由（1）得

x?3+2=2得x?3?0，x＝3，条件（1）充分

由（2）x?3?2，

此方程有两个实根：x1?1 x2?5所以条件（2）不充分，此题应选A 13、（充分性判断）（2003年考题）

︱x?2︱+︱4-x︱

（1）s?2 (2)s?2

︱x?2︱+︱4-x︱︱?x?2?4?x︱=2 解：

︱x?2︱+︱4-x︱的最小值为2，显然当s?2，不等式无解，即条件（1）充分 即

当s?2时，不等式有解，即条件（2）不充分，所以选A

三 平均值

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14、将一长为a的线段截成为x和a-x ，使x恰是a与a-x的几何平均值，我们称对任意一个量a的这种分割为黄金分割，试求x

解：由已知，得x?a(a?x) 两边平方整理得

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x2?ax?a2?0 x??1?5a 2?1?5a?0.618a 2舍去负值，即x?15、（问题求解） 车间共有40人，某次技术操作考核的平均值成绩为80分，某中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工（ ）

（A）16人 （B）18人 （C）20人 （D）22人 （E）24人 解：设该车间有女工x人，则有男工（40-x）人 由已知女工的平均成绩为78分，女工所得总分为

80?40?83(40?x)?83x?120

83x?120?78故 xx?24故此题应选E 16、（2006年考题）

如果x1,x2,x3三个数的算术平均值为5，则x1?2,x2?3,x3?6与8的算术平均值为（ ）

111 （C）7 （D）7 （E）9 225x?x2?x3?5 解：由已知13（A）3 （B）6即 x1?x2?x3?15 因此

14(x1?2)?(x2?3)?(x3?6)?8x1?x2?x3?1328???7

444所以选C

17、（充分性判断）

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a与b的算术平均值为8

111，的算术平均值为 ab6111（2） a,b为自然数，且，的算术平均值为

ab61111解： 由条件（1）知(?)??ab?3(a?b)

2ab6（1）

a,b为不等的自然数，且

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又因a,b是自然数，故a,b中至少有一个是3的倍数 不妨设a为3的倍数，即a=3k (k为自然数) 则b?3k k?1由于k与k-1互质，所以k-1必为3的约数. 又因a>3所以k-1>0 因此k-1=1或k-1=3 即k=2或k=4

当k=2时 a=6 , b=6 ,此时a,b的算术平均值为6不是8 当k=4时a=12 , b=4 此时a?b故a?b?8 2所以条件（1）充分，条件（2）不充分，故选A

18、试判断x与︱︱与x?x︱︱x三个数的算术平均值与x的大小关系

︱︱x=-x 解：因为?x有意义，所以x?0 ︱x︱于是算术平均值 m?x?︱︱x+?x︱︱xx?x?(?x)(?x)?x??

333m?0 x?0

所以m?x ( 当且仅当x?0时等号成立)

四 比和比例 19、设

111::?3:4:5,求使x?y?z?141成立的z值 xyz111?3t,?4t,?5t xyz解：由已知条件，设

所以x?111,y?,z?代入x?y?z?141得 3t4t5t111???141 3t4t5t 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

1 1801180所以z???36

5t5?t?20、一公司向银行借款31万元，欲按

111::的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间235进行技术改造，求甲车间应得的款数.

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解： 设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为

ttt万元，万元，万元，于是有235ttt++=31 235t?30

故甲车间应得

t=15（万元） 221、（问题求解）（2009年考题）

某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12，由于先增加若干女运动员，于是男女运动员比例变为20:13，后又增加了若干男运动员，于是男女运动员的比例最终变为30:19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多3人，则最后运动员的总人数为（ ）

（A） 686 （B）637 （C）700 （D）661 （E）600

解：设原男女运动人数分别a与b，后增加女运动员x人，增加男运动员为y人

?a19?b?12?a20???则有?b?x13解得x?7,y?10,a?380,b?240

?a?y30???b?x19??y?x?3从而最后运动员总人数为380+240+7+10=637（人） 所以选B 22、（问题求解）（2005年考题）

甲，乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10:7，要使这两个仓库的库存煤量相等，甲仓库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的（ ）

（A）10% （B）15% （C）20% （D）25% （E）30%

解：设甲仓库存煤矿量为a吨，则乙仓库存煤量为题意

7a吨，现从甲仓库运走x吨，依10a?x?73a?x?2x?a 1010 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

所以

x15=15% 故选B ?a10023、（充分性判断） （2003年考题）

某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元，24万元和8万元

（1）甲、乙、丙三个工厂按

111::的比例分配贷款. 239（2）甲、乙、丙三个工厂按9 : 6 : 2的比例分配贷款. 解：设甲、乙、丙三个工厂分别得到贷款为x、y、z（万元） 由条件（1）知x?111t,y?t,z? 239t2013年MBA/MPA/MPACC备考交流QQ群：208950014

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111t?t?t?68?t?72 239111于是x?t?36 ，y?t?24，z?t?8(万元)条件（1）充分

239由条件（2）设一份贷款为a（万元）， 则x?9a,y?6a,z?2a

9a?6a?2a?68?a?4

于是 x?9?4?36,y?6?4?24,z?2?4?8(万元) 条件（2）也充分，所以选D 24、（充分性判断）

一轮船沿河航行于相距48公里的两码头间，则往返一共需10小时（不计到达码头后停船的时间）

（1） 轮船在静水中的速度是每小时10公里 （2） 水流的速成度是每小时2公里 解： 条件（1）和条件（2）单独都不充分

联合条件（1）和条件（2），则轮船顺水流行驶需

48?4(小时)，而往返共需4+6=10

10?2（小时） ， 所以选C

25（问题求解） （2007年考题）

完成某项任务，甲单独做需要4天，乙单独做需要6天，丙单独做需要8天，现甲、乙、丙三人依次一日一轮地工作，则完成该项任务共需的天数为（ ）

212 （B）5 （C）6 （D）4（E）4 333111解： 甲、乙、丙三人的工作效率分别为,,

4686431,, 故甲做2天，乙做2天，丙做1天，还剩即 ，剩下的由丙完成，

24242424（A）6 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

需要

11111??，一共2?2?1??5 所以选B 248333

练习1

一、问题求解

︱x?︱1+(y-2)?0,那么1、已知

（A）4 （B）3 （C）

211?的值是 （ ） 22xy313 （D） （E）? 4442、使得

1的值不存在的x 是 （ ）

︱x?3︱-3（A）0或1 （B）6或1 （C）6或0

（D）1 （E）2

︱x?4︱+︱3-x︱=1，则x的取值范围是 （ ） 3、若

（A）x?3 （B）x?4 （C）3?x?4 D）3?x?4 （E）x?4 4、已知a,b,c是三个正数，且a?b?c若a,b,c的算求平均值为且b,c之积恰为a则a,b,c的值依次为 （ ）

（A）6 ， 5 ，3 （B）12 ， 6 ，2 （C） 4 ，2 ，8 （D）8 ， 2 ，4 （E）8 ， 4 ，2

5、某商品单价上调15%后，再降为原价，则降价率为 （ ） （A）15% （B）14% （C）13% （D）12% （E）11%

6、今年王先生的年龄是他父亲年龄的一半，他父亲的年龄又是王先生儿子的15倍，两年后他们三人的年龄之和恰好是100岁，那么王先生今年的岁数 （ ）

（A）45 （B）40 （C）38 （D）32 （E）30

7、原价a元可购5件衬衫，现价a元可购8件衬衫，则该衬衫降价的百分比是（ ） （A）25% （B）30% （C）37.5% （D）38.5 % （E）40%

8、公司有职工50人，法律知识考试平均成绩为81分，按成绩将公职工分为优秀与非优秀两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩是75分，则优秀职工的人数为 （ ）

（A）30 （B）25 （C）22 （D）20 （E）18

14，几何平均值43︱x?5︱=5-x，则x的取值范围是 （ ） 9、若

（A）x?0（B）x?5（C）x?5（D）x?5（E）x?0

︱2x?5︱?3的解集是 （ ） 10、不等式

（A）2?x?5（B）3?x?4（C）0?x?2（D）1?x?4（E）?1?x?2

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1︱b︱=1，则︱a+b︱ 等于 （ ） 211133（A）0或（B）0或1（C）或1（D）或（E）1或

2222211、若︱a︱=12、甲与乙的比是3:2，丙与乙的比是2:3,则甲与丙的比是 （ ）

（A）1:1（B）2:3（C）3:2（D）9:4（E）8:5

13、车间共有60人，某次技术考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为82分，女工平均成绩为77分，该车间有女工人数为 （ ）

（A）36 （B）34 （C）30 （D）24 （E）22

14、某校今年的毕业生中，本科生和硕士生人数之比为5:2椐5月份统计，本科生有70%，硕士生有90%已经落实了工作单位，此时，尚未落实工作单位的本科生和硕士生人数比是（ ）

（A）35:18 （B）15:2（C）10:3（D）8:3 （E）7:4

15、一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，则新分数比原来分数减少的百分率是（ ）

（A）40% （B）45% （C）50% （D）55% （E）60%

16、已知A股票上涨的0.16元相当于该股票原价的16%，B股票上涨的1.68元也相当于其原价的16%，则这两种股原价相差 （ ）

（A）8元（B）9元（C）9.5元（D）10元（E）10.5元

17、一商店把某商品按标价的9折出售，仍可获利20%，该商品进价为每件21元，则该商品的每件的标价的16%，则这两种股票原价相差 （ ）

（A）24元 （B）26元 （C）28元 （D）30元 （E）32元

18、某工厂生产某种定型产品，一月份每件产品销售的利润是出厂价的25%（假设利润等于出厂价减去成本），若二月份每件产品的出厂价降低10%，成本不变，销售件数比一月份增加80%，那么，二月份的销售总利润比一月份销售总利润增（ ）

（A）6% （B）8% （C）15.5% （D）21.5 （E）25.5

19、已知

︱x?y︱x?2,则等于 （ ） x?yy（A）

11111 （B）2 （C）或3 （D）或 （E）3或 2323220、某商品在第一次降价10%的基础上，第二次又降价5%，若第二次降价后恢复到原来

的价格，则价格上涨的百分率为 （ ）

（A）13% （B）14% （C）15% （D）16% （E）17%

21、n为任意正整数，则n?n必有约数（因数） （ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）8 22、每一个合数都可以写成k个质数的乘积，在小于130的合数中，k的最大值为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）8 23、（2008年10月考题）

以下命题中正确的一个是（ ）

（A） 两个数的和为正数，则这两个数都是正数。 （B） 两个数的差为负数，则这两个数都是负数。

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3

（C） （D） （E） 两个数中较大的一个其绝对值也较大

加上一个负数，等于减去这个数的绝对值。 一个数的2倍大于这个数本身

24、已知3个质数的倒数和为

1591，则这三个质数的和为（ ） 3783（A）112 （B）113 （C）114 （D）115 （E）116

25、有一个正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子与分母的乘积等于（ ）

（A）24 （B）30 （C）32 （D）36 （E）38 26、（2005年考题）

一支部队排成长度为800米的队列行军，速度为80米/分钟，在队首的通讯员以3倍于行军的速度跑步到队尾，花1分钟传达首长命令后，立即从同样的速度跑回队首，在这往返过程中通讯员所花费的时间为（ ）

（A）6．5分钟 （B）7.5分钟 （C）8分钟 （D）8.5分钟 （E）10分钟 27、（2006年考题）

一辆大巴车从甲城以匀速?行驶，可按预定时间到达乙城，但距乙城还有150公里处，因故停留了半小时，因此需要平均每小时增加10公里才能按预定时间到达乙城，则大巴车原来的速成度为（ ）

（A） 45 （B）50 （C）55 （D）60 （E）65 28、（2008年考题）

王女士以一笔资金分别投入股市和基金，但因故需抽回一部分资金，若从股市中抽回10%，从股市各基金的投资额中各抽回15%各10%，则其中总投资额减少130万元，其总投资额为（ ）

（A）1000万元 B）1500万元 （C）2000万元 （D）2500万元 （E）3000万元 29（2008年考题）

将价值200元的甲原料与价值480元的乙原料配成一种新原料，若新原料每千克的售价分别比甲，乙原料每千克的售价少3元和多1元，则新原料的售价是（ ）

（A）15元（B）16元（C）17元（D）18元（E）19元 30、（2009年考题）

一家商店为回收资金，把甲，乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（ ）

（A）不亏不赚 （B）亏了50元 （C）赚了50元 （D）赚了40元 （E）亏了40元 二．条件充分性判断 31、（2007年考题） x?y

(1) (2)

若x和y都是正整数，且x?y; 若x和y 都是正整数，且x?y；

232、（2007年考题） a??1?1??a

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(1)a 为实数，a?1?0；

︱a︱<1 （2）a为实数，

33、使

︱a︱︱b︱???2成立 ab（1）a?0 （2）b?0

34使

︱a-b︱?1成立

︱a︱+︱b︱（1）ab>0 （2）ab<0 35、（2008年考题）

ab2?cb2

（1） 实数a,b,c满足a+b+c=0 （2） 实数a,b,c满足a

1?1?x?

32x?11?2x2x?12x?1（1） （2） ︱2︱=︱︱=x?11?x23337、（2008年10月考题）

n是一个整数 14（1） （2）

3n也是一个整数 14nn是一个整数，且也是一个整数

7n是一个整数，且

38计算某商销售额增加的百分比 （1） 某商品销售量增加了500件 （2） 某商品打八折，使销售量增加60% 39、确定x和y的值

（1）(x?3)?︱y?2︱=4； （2）(x?3)?︱y?2︱=0

40、某班男生人数比女生人数少

（1）男生中共青团员的人数是全班人数的20% （2）女生中共青团员的人数是全班人数的52% 41、商品换季大甩卖，某种上衣价格下降60% （1）原来买2件的钱，现在可以买5件； （2）原来的价格是现在价格的2.5倍；

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22

42、两个正数x与y的算术平均值等于几何平均值。 （1）x=5,y=5 （2）x=3,y=3

43、质检员在A，B两种相同数量的产品中进行抽样检查后，可以计算出A产品的合格率比B产品的合格率高出5%，则抽样的产品数可求出

（1）抽出的样品中，A产品中合格品有48个； （2）抽出的样品中，B产品中合格品有45个；

2013年MBA/MPA/MPACC备考交流QQ群：208950014 考试信息交流-各种讲义资料模拟试卷-历年真题

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第二章 整式和分式 （甲） 内容要点；

一、代数式有关概念及其分类

1、代数式：由运算符号（加，减，乘除，乘方，开方），把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值。 3、代数式系统表

???单项式整式????有理数??多项式代数式? ???分式?无理数?一、整式及其运算

1、整式：整式包括单项式和多项式；由数和字母相乘形成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式。

2、整式的运算；整式能进行加，减，乘的运算，整式加，减，乘的结果仍是整式，整式可以进行带余除法的运算，整式的运算符合交换律，结合律，分配律。

（1）加减法：就是合并同类项。

（2）乘法：幂的运算性质是乘法，除法的基础， 幂的运算法则

am?an?am?n ； am?an?am?n(a?0)； (am)n?amn ； (ab)n?an?bn；

乘法公式

(a?b)2?a2?2ab?b2

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 (a?b)(a?b)?a2?b2 (a?b)(a2ab?b2)?a3?b3

（3） 除法：

多项式F（x）除以多项式f(x)商式为g(x),余式为r(x) 则有F(x)?f(x)g(x)?r(x), 当r(x)?0时F(x)?f(x)g(x)成立 此时则称整式F (x)能被整式f(x)整除。

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整式F(x)除以x-a的余式为r(x),则F(x)?(x?a)?g(x)?r(x) 故r(a)?F(a)成立

三、多项式的因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，常用的方法有 1、 提取公因式法，例如：ax?ay?a(x?y)等 2、 公式法，（乘法公式从右到左，即为因式分解公式）。

例如：9x?6x?1?(3x?1), 4a?25b?(4a?5b)(4a?5b)等 3、 求根法

nn?1若方程a0x?a1x?....?an?0有n个根x1,x2,....,xn

2222nn?1则多项式a0x?a1x?...?an?a0(x?x1)(x?x2)...(x?xn)

4、 二次三项式的十字相乘法，例如x?3x?2?(x?1)(x?2) 5、 分组分解法 例如：

2ax?3by?3ay?bx?(ax?bx)?(3ay?3by)..........分两组?x(a?b)?3y(a?b)...............提公因式?(a?b)(x?3y).......................提公因式6、待定系数法

例如：将2x?5xy?12y?10x?37y?28因式分解 分析：这个多项式的二次2x?5xy?12y可分解为

2222

2x2?5xy?12y2?(2x?3y)(x?4y)

所以可设 原式?(2x?3y?m)(x?4y?n)其中m,n为待定常数，然后利用恒等式的性质，解方程 可求出m=-4 , n=7 所以原式?(2x?3y?4)(x?4y?7)

四 分式及其运算 1、分式：形如为零，例如

A的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，B的值不能Bx?2是分式。 2x?32、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简化分式 3、分式的基本性质：

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AA?MAA?M ；?（M为不等于零整式） ?BB?MBB?M4、分式的运算

（1）加减法，同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减，注意最后结果要约分化为最简分式，不同分母的的分式相加减，先通分化为同分母后，再进行加减运算。

（2）乘除法

acac??bdbd ，

acadad ????bdbcbc分式的加法与乘法运算满足交换律，结合律和分配律。

（乙）典型例题 一、整式及其运算

1、求F(x)?x?2x?3x?5，除以g(x)?x?x?2的商式和余式 解：用竖式做除法

x?3x?x?22322x3?2x2?3x?5x3?x2?2x　　　 2　　　3x?x?5３x2?3x?6　　　　　　　　　2x?1

得商式g(x)?x?3,余式r(x)?2x?1

2、如果x+1 整除x?mx?3mx?3，则m= ( ) （A） -1或-2 （B）-1或2 （C） 1或-2

（D） 1或2 （E）-2或2

解，由己知 x?mx?3mx?3?g(x)(x?1)

方程两边取x=-1,则m?3m?2?0解得m?1或m?2答案选D 3、若x?2x?a被x?3除，余式为-5，则a = ( ) （A）-9 （B）-8 （C）7 （D）8 （E）9 解；由已知x?2x?a?g(x)(x?3)?(?5) 令x=-3, 则得9-6+a=-5得a=-8答案选B

4、多项式3x?x?9x?3x?2， 的因式分解为(3x?1)g(x),则g(x)等于（ ）

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432232232222

（A）(x?2)(x?1) （B）(x?2)(x?1)（C）(2x?1)(x?2) （D）(2x?1)(x?2)（E）(2x?1)(x?2) 解：

22222f(x)?3x4?x3?9x2?3x?2，用竖式除法计算

3f(x) 3x?1可得g(x)?x?3x?2，当x?2时g(2)?8?6?2?0即B和D均不等于g(x)， 当x??2时g(?2)?(?2)?3(?2)?2?0即x?2/g(x) 从而可得g(x)?(x?2)(x?2x?1)?(x?2)(x?1)故答案选A

5、在实数范围内将下列多项式分解因式 （1）12xy?36xy?27y （2）6x?x?15

（3）16ax?16bx?9a?9b （4）x?x?5x?3

解（1）原式?3y(4x?12xy?9y)?3y(2x?3y) (2)十字相乘法

　　　?32222322232222２　?３２?３＝６??３?５　　　３（?-５） ?9?10?3?3?2?(?5)??1?2

所以 6x?x?15?(2x?3)(3x?5) （3）16ax?16bx?9a?9b =16x(a?b)?9(a?b)

=(a?b)(16x?9)?(a?b)(4x?3)(4x?3) （4）x?x?5x?3

=(x?3x)?(2x?6x)?x?3?x(x?3)?2x(x?3)?(x?3) =(x?3)(x?2x?1)?(x?3)(x?1)

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223222222232

6、无论x,y取何值，x?y?4x?6y?15的值都是（ ） （A）正数（B）负数（C）零（D）非负数（E）非正数

解；原式?x?4x?4?y?6y?9?2?(x?2)?(y?3)?2 从而无论x,y取何值，都有(x?2)(y?3)?2?0，答案是A 7、（充分性判断）

222222222x2?5xy?2y2?3x?2?(2x?y?m)(x?2y?n)

（1）m??1,n?2 （2）m?1,n??2 解：由条件（1）

m??1,n?2 代入题干右端

(2x?y?1)(x?2y?2)?2x2?5xy?2y2?3x?2 条件（1）不充分

由条件（2）m?1,n??2代入题干右端

(2x?y?1)(x?2y?2)?2x2?5xy?2y2?3x?2 条件（2）充分

所以答案选B 8、（充分性判断）x-3是多项式

f(x)?x3?x2?ax?b的因式

（1）a?4,b??6 （2）a?5,b??3 解：若x-3是f(x)的因式，即f(x)?(x?3)g(x) 因此，f(3)?3?3?3a?b?0即必有18?3a?b?0 验证条件（1）与（2）都充分，答案选D

9（充分性判断）M?N?4abc

（1）M?a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c) （2）N?(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)

解：条件（1）和（2）单独显然都不充分，下面将（1）和（2）联合起来考虑

因为M和N都是关于a,b,c的三次齐次式，所以M+N也必为关于a,b,c的三次齐次式，当a?0,时M+N=0

当b?0时M+N=0；当c?0时 M+N=0故a,b,c都是

22232 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

M+N的因式，所以M?N?kabc成立

将a?b?c?1代入M?N?kabc中，得

k?4所以M?N?4abc成立

故此题应选C 二、分式及运算

x2?3y2?6z210、已知x?2y?6z?0,2x?y?2z?0则2的值为（ ）

2x?4y2?z2（A）1 （B）

1124 （C） （D） （ E） 2357解：由知x?2y?6z?0,2x?y?2z?0 解得x?2z,y??2z

x2?3y2?6z24z2?12z2?6z210z22???答案是D 于是22222222x?4y?z8z?16z?z25z511、已知 x?11?4则 x4?4?（ ） xx（A）184 （B）188 （C194 （D）196 （E）198

解：由已知 (x?所以 x?12、已知

42111242，即，)?16x??14(x?)?196 242xxx1?194,故应选C 4x113x?2xy?3y??4,则? （ ） xyx?2xy?y（A） 4 （B）5111 （C）5 （D）6 （ E）7 2333311?2?3(?)?23x?2xy?3yy3x(?4)?2xyx????7 解：

1111x?2xy?y?4?2?2?(?)?2yxyx故应选E

13：（充分性判断）f(x)?3

3x2?3x?42（1）f(x)? （2）f(x)?x?4x?9 2x?x?1 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

3x2?3x?41解：由条件（1）f(x)? ?3?2x2?x?1x?x?1因为

1?0从而f(x)?3成立，条件（1）是充分的

x2?x?1222由条件（2）f(x)?x?4x?9?(x?4x?4)?5?(x?2)?5?5 即f(x)?3成立，条件（2）也是充分的，答案是D 练习2

一、化简（1~4）

1、(3x?4x?5)(3x?4x?5)(5?4x)(5?4x)?3x(x?8) 2、(2y?1)(8y?1)(4y?2y?1)

32223x244x2???3、 x?2x?2x?2x?2x2?5x?62x2?3x?12x2?3x?2?2?4、2 2x?5x?4x?4x?3x?16二、做除法运算，f(x)?g(x)h(x)?r(x)已知f(x)，g(x) 求h(x)，r(x)。(5?8)

5、f(x)?x?6x?13x?42,g(x)?x?2 6、f(x)?x?4x?23,g(x)?x?2

7、f(x)?3x?13x?10x?2,g(x)?x?4x?3 8、f(x)?4x?5x?3x?9,g(x)?x?2x?1 三、把下列各式分解因式（9－15） 9、a?a2?4a?4 10、6x?11xy?4y 11、x3?7x?36

12、x?4xy?4y?4y?2x?4y 13、x?2x?3x?2x?1

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43242223224322323242

14、3(x?1)?4(x?1)?4 15、x?x?1 四、问题求解

16、已知y?ax?bx?cx?6且当x?2时y?6当x??2时求y的值等于（ ） （A）-18 （B）-16 （C）-12 （D）16 （E）12 17

、

已

知

5325a?a?b2那

b么用b表示

a

（ ）

（A）

b?abb2 （B） （C） （D）b?2（E）b?b 22?bb?2111,x,y为非零实数，那么(x?)(y?)?（ ） yxy222218、已知x?（A）x?y （B）y?x （C） x?y （D）2x （E）2y 19、设f(x)为实系数多项式，以x?1除之，余数为7

以x?2除之，余数为12，则f(x)除以(x?1)(x?2)余式为 （ ） （A）5x?1 （B）5x?2 （C）5x?3 （D）3x?2 （E）3x?1 20、设f(x)为实数多项式，以x?3除之，余数为6，以x?5余数为18，则f(x)除以(x?3)(x?5)的余式为 （ ）

（A）6x?4 （B）6x?12 （C）6x?4 （D）6x?12 （E）6x?15 21、若x?ax?bx?12x?9是完全平方式，则a,b的值为（ ） （A）a?4,b?10或a??2,b?4 （B）a??4,b??2或a??2,b?4 （C）a?4,b?10或a??4,b??2 （D）a??2,b?4或a?2,b??4 （E）a?4,b??2或a??2,b?4

22、已知x?1?3x，则多项式3x?11x?3x?4的值为（ ） （A）1 （B）2 （C）-1 （D）-2 （E）0

23、若x?3x?m被x?2除，余式为3则m?（ ）

223243222 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4 （E）5

24、（2008）若a:b?1112a?16b=（ ） :则3412a?8b（A）2 （B）3 （C）4 （D）-3 （E）-2

25、（2008）若多项式f(x)?x??ax?x?3a能被x?1整除，则实数a?（ ） （A）0 （B）1 （C）0或1 （D）2或-1 （E）2或1 五、充分性判断

26、x?1是多项式f(x)?x?3x?ax?2b的因式 （1）a?2,b??1 （2）a??2,b??3

27、3x?7xy?6y?3x?13y?6?(3x?2y?m)(x?3y?n) （1）m?3,n??2 （2）m??3,n?2

28、能惟一确定一个关于x的二次三项式f(x)的解析式 （1） f(1)?f(3) （2）f(4)?10

29、能惟一确定一个关于x的二次三项式f(x)的解析式

2232322(1)f(1)?f(3) (2)f(?1)?15,f(4)?10

30、x?61?2 6x(1)x?11??1 (2)x??1 xx 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

第三章 方程和不等式 （甲）内容要点

（一）方程和方和组 一、一元一次方程 标准型：

ax?b?0　　　（a?0）解法：

bx??

a二、二元一次方程 形如??a1x?b1y?c1;（ai,bi不同时为零i?1,2）的方程组，称为二元一次方程组。

ax?by?c;?222解法：加减消元法，代入消元法等。 三、一元二次方程组

1、定义：形如ax?bx?c?0　　　（a?0）的方程为一元二次方程 2、解法：

（1）分解因式：ax2?bx?c?0　　　（a?0）

2?a(x?x1)(x?x2)?0?x?x1或x?x22

（2）配方法：ax?bx?c?0　　　（a?0）

bcx??0aabb2b2?4ac2x?x?2?a4a4a2 2bb?4ac(x?)2?2a4a2x2??b?b2?4acx1,x2?2a（3）求根公式法：ax?bx?c?0　　　（a?0）的解为：

2?b?b2?4acx1,x2?（求根公式）

2a3，根的判断式

??b2?4ac称为一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)根的判断式 ??0时，方程有两个不相等的实数根

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??0时，方程有两个相等的实数根 ??0时，方程无实数根

4、根与系数的关系（韦达定理）

设方程ax?bx?c?0　　　（a?0）的两个根为x1和x2,则有

2b?x?x????12a ??x?x?c12?a?（二）、不等式与不等式组 一、不等式的基本性质 1、如果a?b,那么b?a; 2、如果a?b,b?c,那么a?c; 3、如果a?b,那么a?c?b?c; 4、如果a?b,c?0那么ac?bc; 5、如果a?b,c?0那么ac?bc; 二、一元一次不等式 一般形式为ax?b(或ax?b)

一般解法：运用不等式的性质，去分母，去括号，移项，合并同类项，最后变为

x?c或x?c

三、一元一次不等式组

几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的公共部分（交集）叫做一元一次不等式组的解集。

若一个不等式组的解是a?x?b则可记为xa?x?b或用区间表示：?a,b? 四、一元二次不等式

1、一元二次不等式的标准型为：

??　ax2?bx?c?0　　　（a?0）2或ax?bx?c?0　　　（a?0）　

注意：标准型中二次项系数为正。 2解法：见表3-1

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??0 ??0 ??0

??b2?4ac

ax2?bx?c?0的解（a?0）

?b??x1,2?

2ax1?x2??b 2ab 2a无实根

ax?bx?c?0的解（a?0）

2x?x1或x?x2

x??无解

(??,??)

无解

ax2?bx?c?0的解（a?0）

x1?x?x2

y?ax2?bx?c和图像（a?0）

五、含有绝对值符号的不等式

解法的关键：化去绝对值符号（a?0） 1、

f(x)?a??a?f(x)?af(x)?a?f(x)??a或f(x)?a22

2、(f(x))?a?(f(x))

?f(x)　　 f(x)?03、f(x)??

　?f(x)　 f(x)?0　?

（二）、典型例题

一、方程和方程组，有关例题

1、某工程甲独干需a天完成,乙独干需b天完成，则甲，乙合干需几天完成？ 解：设工程总量为W,甲独干一天完成

WW，乙独干一天完成，甲，乙合干一在完成abWW+于是甲，乙合干完成工程的天数为 ab 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

W?(WW(a?b)Wab?)?W??　　　.....(3.1) ababa?b注：例如：某工程甲独做需15天完成，乙单做需10天完成，问甲，乙合作需几天完成？ 解：此题可用公式（3.1），a?15天，b=10天 有：

ab15?10??6(天) a?b15?10故甲，乙单做需6天完成。 2、解下列方程或方程组 （1）

2x?1x?3 ?1?3422（2）3(x?1)?(2x?1)(x?1)?16?3x?x

?2x?3y??5 ??3x?2y?12解：（1）去分母，原方程化为

4(2x?1)?12?3(x?3)8x?4?12?3x?95x?25x?5（2）原方程化简：

3(x2?2x?1)?(2x2?x?1)?16?3x?x2x2?5x?4?16?3x?x22x?12x?6（3）

?2x?3y??5　　　① ??3x?2y?12　　　②2?① 4x?6y??10③ 3?② 9x?6y?36④

③+④ 13x?26?x?2代入② 得 6+2y=12?y?3

原方程组的解为??x?2

?y?3 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

注：（3）解法为加减消元法，还可用代入消元法等解法。 3、两地相距351公里，汽车己行驶了全程的

1，试问再行多少公里，剩下的路程是已9行驶的路程的5倍？答案为（ ）公里

（A）19.5 （B）21 （C）21.5 （D）22.5 （E）20 解：设还要行驶x公里，由题意有

118351??x?(?351?x)9595(39?x)?312?x x?19.5故答案是A

4、李先生以一笔资金投资于甲，乙两个企业，若从对甲企业的投资额中抽回10%,从对乙企业的投资额中抽回5%，则李先生总投资减少8%，若从对甲，乙企业的投资额中各抽回15%和10%，则投资额减少130万元，问李先生这笔资金有多少万元？

解：设原投资甲企业x万元，投资乙企业y万元，则资金总数为（x?y）万元。

依题意有

?10%x?5%y?8%(x?y) ?15%x?10%y?130?

化简为

?2x?3y?0　　　　　① ??3x?2y?2600　　　　②3y　　③ 213将③代入②得 y?2600?y?400,x?600

2由①得 x?所以x?y?600?400?1000(万元) 答：李先生这笔资金共1000万元

5、（2008）若用浓度30%和20%的甲，乙两种食盐溶液配成浓度为24%的食盐溶液500克，则甲，乙两种溶液各取（ ）

（A）180克和320克 （B）185和315克 （C）190克和310克 （D）195克和305克 （E）200克和300克 解：设甲，乙两种溶液应各取x和y克。 据题意，列方程组

?30%x?20%y?24%(x?y)① ?x?y?500②?化简 ① 30x?20y?24(x?y)

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2y ③ 32③代入② y?y?500?y?300

32 x?y?200 解得x?200,y?300

3 x?故答案选E

注：关于浓度问题：一定量的溶液，当溶液，溶剂或溶液量发生变化时，讨论溶液浓度变化等问题，一般地，溶液量=溶质+溶剂量，而

浓度?溶质

溶质?溶剂6、甲，乙两人在400M的跑道上参加长跑比赛，甲乙同时出发，甲跑3圈后，第一次遇到乙，如果甲的平均速度比乙的平均速度快3M/S，则乙的平均速度为（ ）

（A）5M/S （B）6M/S （C）7M/S （D）8M/S （E）9M/S 解：设乙的平均速度为xm/s，依题意有

400?3400?2 ?x?3x解得 x?6(m/s)故本题应选B

7、甲，乙两列火车对开时，甲比乙先出发1h，甲，乙分别行驶了225km，75km后相遇，已知甲，乙两列火车的速度和为300km，则乙车出发后（ ）h与甲车相遇。

（A）

31133 （B） （C） （D） （E）

22442解：设乙车出发后xh与甲车相遇，则得

22575??300 x?1x整理后得一元二次方程，100x?25 解得 x1?211或x2??(舍去) 22故乙车出发后

1h后与甲车相遇，故本题应选A 2注：例6，例7均可归结为行程问题：甲，乙速度不同，有一定距离，相向或相反运动，讨论甲和乙的速度，距离，相遇时间等数量之间的关系问题。

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解题材的关键是灵活运用“距离=速度?时间”这一公式。 8、x1,x2是方程x?2x?1?0的两个根，求下列各式的值。

22（1）x1?x2 （2）

2x2x1? （3）x13?x23 x1x2解：由韦达定理知x1?x2?2,x1?x2??1

2222（1）x1?x2?(x1?2x1x2?x2)?2x1x2 22=(x1?x2)?2x1x2?2?2(?1)?6

x2x1x12?x226（2）?????6

x1x2x1x2?1(3)x13?x23?(x1?x2)(x12?x1x2?x12)2?(x1?x2)??x1?x2??3x1x2????2?4?3(?1)?

?149商店委托搬运送500只瓷花瓶，双方商定每只花瓶运费0.50元，若搬运中打破一只，则不但不计运费，还要从运费中扣除2.00元，已知搬运队共收到240元，则搬运中打破花瓶的只数为（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6 解：设在搬运中打破x只花瓶，依题意列方程

0.5?(500?x)?2x?240250?0.5x?2x?240 x?4故答案选C

10、解下列方程

（1）logx25-3log25x?log（2）21?xx5?1

?33?2x??22?1?0

解（1）

logx25log255?3log25x??1①

log25xlog25x令log25x?t,代入①式得?3t??1

1t1t 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

3t2?t?2?0整理 (3t?2)(t?1)?0

2t1?或t2??1322log25x??x1?253?5353

1log25x??1?x2?25?1?25x??222?33?2?1?0（2）2 33?x?1?0①2x22?4令

1?x12x2?u代入②得 2u2?33u?1?0 48u2?33u?4?0(u?4)(8u?1)?0 u1?4或u2?x218x11?22因2?有， 2??2?x1??4

u4x22?8?x2?6

于是原方程的解为x1??4,x2?6 充分性判断（第11~1题） 11、实数a,b满足a=2b

(1)关于x的一元二次方程ax?3x?2b?0的两根的倒数是方程3x?ax?2b?0的两根。

（2）关于x的方程x?ax?b?0有两根等实根。

解：检验条件（1）的充分性，设x1,x2是方程ax?3x?2b?0 的两个根，则

2222211,必为3x2?ax?2b?0的两个根，显然a?0 x1x2 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

32bx1?x2??,x1?x2??aa由韦达定理知：

11a112b??,??x1x23x1x23311x1?x23因为 ???a?

2b2bx1x2x1x2?a??3a?　　　　9?2ab?833?2b3 ?9??b　　b???32?2b??a　　　?3a?4b2　?2b?3a?9??3　　　?a?2b成立，且a,b均不为零. 2b2故答案选A

12、一元二次方程x?bx?c?0的两个根的差的绝对值为4

?b?42（1）? （2）b?4c?16

?c?02解：由条件（1）得x?4x?0 方程的两根为x1?0,x2??4所以x1?x2?4，条件

（1）充分，下面检验条件（2）

?设方程x?bx2c0?的两根分别为x1,x2，因为x1?x2??b，所以

x1?x2?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2?b2?4c由条件（2）b2?4c?16

可知x1?x2?4，条件（2）也充分 故答案选D

13 （2009）2a?5a?2?223??1 a2?1（1）a 是方程x?3x?1?0的根 （2）a?1 解：由条件（1），将a?3a?1代入题干，则有

233?2(3a?1)?5a?2? 2a?13a11?6a?2?5a?2??a?4?

aa2a2?5a?2? 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

a2?4a?13a?1?4a?1????1

aa即条件（1）是充分的，

由条件（2）可取a?1则2a?5a?2?因此条件（2）不充分，故答案选A

14、（2006）方程x?ax?2与x?2x?a?0有一个公共实数解 （1）a?3 （2）a??2

2解：若a?3,则x2?3x?2?0有根x1??1,x2??2，x?2x?3?0有根

22233?2?5?2???1 2a?12x1??1,x2?3，从而两方程有一公共实数根x??1，因此条件（1）充分

若a??2，则x?2x?2?0　　　??(?2)?8?0无实根，从而不可能有公共实数解，即条件（2）不充分，故答案选A

二，不等式与不等式组

15、解不等式x?223x?22(1?x)??1 43解：去分母 12x?3(3x?2)?8(1?x)?12

化简 16、解不等式组

?5x??10

x?2?3(x?2)?1?5(x?1) ?7?2(x?3)?3x?2?解：原不等式组化为

?3x?6?1?5x?5?x??5 ????7?2x?6?3x?2?x?3原不等式解集为[-5，3）

17、解不等式 3x?7x?6?0 解：(3x?2)(x?3)?0

22??3x?2?0?x????3?x?3 ?x?3?0　　???x?3 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

2??3x?2?0?x??2或???3?x??

3?x?3?0?x?3?所以不等式的解集为（-?，-22）?（3，?） 32,x2?3由表3-13解：法二：由3x?7x?6?0?(3x?2)(x?3)?0得二实根x1??2知y?3x?7x?6抛物线开口向上，原不等式的解集为(??,?)?(3,?)

18、解关于x的不等式：3x?ax?3?0

解：当??a?36?0时，即当a?6或a??6，方程3x?ax?3?0的根为

22223?a?a2?36x? 6故①a??6或a?6时，原不等式的解为

?a?a2?36?a?a2?36x?或x?

66a的一切实数，即当a?6时，原不等式的解为6x?R且x??1，当a??6，原不等式的解为x?R且x?1

③?6?a?6时,此时??0，原不等式的解为一切实数

②a??6时，原不等式的解为不等于?19、m是什么实数时，方程x?2(m?1)x?3m?11有两个不相等的实根 解：当

22???2(m?1)??4(3m2?11)?0?8m2?8m?48?0m?m?6?0(m?3)(m?2)?0解集为?3?m?2,当m?(?3,2)时，原方程有两个不相等的实根 20、解下列不等式 （1）2x?5?3; （2）x?5x?6; （3）

222

2x?1?1; x?1 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

解（1）?3?2x?5?3?2?2x?8?1?x?4 不等式解集为（1，4） （2）x2?5x?6;

解；x?5x??6或x?5x?6

22x2?5x?6?0或x2?5x?6?0 (x?2)(x?3)?0或(x?6)(x?1)?0

2?x?3或x??1或x?6

原不等式解集为（-?，-1）?（2，3）?（6，?）

2x?1（3）?1

x?12x?1x?2解：?1?0??0

x?1x?1?x?2?0?x?2?0 或???x?1?0?x?1?0?x??2?x??2 或??x?1x?1???2?x?1或无解

所以，原不等式的解集为[-2，1）

221、函数y?log2(4x?3x?1)的定义域为 （ ）

??,（A）（?（D）[?111）?（1,??） （B）(??,?]?[1,??) （C）（?,1） 4441,1] （E）以上结论都不正确 42解：因为4x?3x?1?0?(4x?1)(x?1)?0 解得：x??或x?1定义域为(??,?)?(1,??) 故答案选A

22、不等式(x?8)?(x?2)?0r 解集是 （ ） （A）x??2或x?（D）?3?x?24214142 （B）?2?x?2 （C）x??3或x?3 3 （E）?2?x?3 解：设x?t,原不等式化为

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t2?t?6?0即(t?3)(t?2)?0

由于t?0所以t?2?0，即t?3?0即t?3 由此得x?3

所以x??3或x?3故答案选D 23、已知?2x?5x?c?0的解为?（A）

221?x?3，则C= （ ） 211 （B） 3 （C）? （D）-3 （E）1 333解：解为??x?3的一元二次不等式为

21(x?)(x?3)?0

2即?(x?2)(x?3)?0 得 ?x?253x??0 22?2x2?5x?3?0

故C=3 答案应选B

2224、若方程3x?(m?5)x?m?m?2?0的两个实根分别满足0?x1?1和

1?x2?2则实数m的取值范围是（ ）

（A）（-4，-3） （B）（-4，-2） （C）（-3，-2） （D）（-2，-1） （E）（-3，1） 解：令f(x)?3x?(m?5)x?m?m?2因为a?3?0，f(x) 的图像是开口向上的抛物线，且与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点

2?m??1或m?2?f(0)?0?m?m?2?0?2??解得??2?m?2所以?f(1)?0即?m?4?0

?f(2)?0?m2?m?0?m??1或m?0???由此得公共解为?2?m??1，故答案选D

22充分性判断（第25~27题）

25、x1,x2是方程x?2(k?1)x?k?2?0的两个实根 （1）k>

2211 （2）k= 2222解：??4(k?1)?4(k?2)?8k?4

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1时，方程有两个不相等的实根，条件（1）充分 21当8k?4?0时，即k=时，方程有两个相等的实根，条件（2）也充分，此题应选D

2当8k?4?0即k?26、实数a,b满足a(a?b)?aa?b （1） a?0 （2）b??a

解：要使不等式成立，先要满足a?0 a?b?0

这样

a?ba?仅当左为正，右为负时，不等式才成立， a?ba即a?b?0,a?0同时成立时，题干结论才正确 即条件（1）和条件（2）联合起来才充分，故答案C 27、（2009）logax?1 （1）x?[2,4],1?a?1 2（2）x?[4,6],1?a?2

解：题干要求logax?1或logax??1 由条件（1）y?logax如图3-1所示，当x?1时logax??1 a

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若x?[2,4]，则必有logax??1成立，因此条件（1）是充分的

gl由条件（2），y?oax如图3-2所示，当x?a时，logax?1若x?[4,6]，则必有

logax?1成立，因此条件（2）也是充分的，所以选D

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练习3

一、问题求解 1、x?2111，则的值为 （ ） x??x??42xxx（A）-2或1 （B）-2或-3 （C）2或-1 （D）2或3 （E）2或-3

2，甲单独做15天可完成的某项工作，乙单独做可以做10天就可完成，假设甲先了12天后再由乙接下去做，乙要完成该项工作还需要做 （ ）

1342天 （B）天 （C）天 （D）2天 （E）1天 54553，如果老王8年前是32岁，那么x?5年前他的年龄是 （ ） （A）x?35 （B）x?19 （C）35?x （D）19?x （E）19?x

（A）

4，一商品按标价打8折出售仍可获20%，已知该商品进货价为18元，则标价为（ ） （A）24元 （B）25元 （C）26元 （D）27元 （E）28元

5，一辆汽车从A地出发按某一速度行驶，可在预定的时间到达B地，但在距B地180公里处意外受阻30分钟，因此，继续行驶时，车速每必须增加5公里，才能准时到达B地，则汽车后来的速度是 （ ）

（A）35公里/小时 （B）40公里/小时 （C）45公里/小时 （D）50公里/小时 （E）55公里/小时

6，某考试共25道选择题，回答问题时，只需在备选的5种答案中选中选选定，答对一题得4分，不答或答错则扣1分，某考生得到80分，则他答对的题数是（ ）

（A）18 （B）19 （C）20 （D）21 （E）22

7，现有伍分和贰分的硬币共100枚，总币值3元8角，则其中伍分硬币比贰分的硬币多（ ）

（A）15枚 （B）20枚 （C）25枚 （D）30枚 （E）35枚

32 8，已知方程x?2x?5x?6?0的根为x1??1,x2,x3则

11?? （ ） x2x3（Ａ）

11111 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （Ｅ） 654322９，已知方程3x?5x?1?0的两根为?，?则??的值为（ ） ???（Ａ）4353257 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （Ｅ） 3333310，今年父亲的年龄是儿子的年龄的10倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，那

么两年前，父亲比儿子大 （ ）

（A）25岁 （B）26岁 （C）27岁 （D）28岁 （E）29岁

11，某项工程，若甲队单独做比乙队单独做多用5天完成，如果两队同时做，则需6天将工程全部完成，则甲单独做一天可以完成工程量的 （ ）

（A）

11111 （B） （C） （D） （E）

201012151812，装配一台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共270件，

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分别用甲，乙，丙库存件数的

332，，装配了若干台机器，那么原来库中存有甲种部件543（ ）

（A）80件 （B）90件 （C）100件 （D）110件 （E）120件

13、不等式3x?4ax?a?0(a?0)的解集是 （ ）

22aaa?x?a （B）x?a或x? （C）a?x? 333a（D）x?或x?a （E）a?x?3a

3（A）

14，有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，那么这四个数中最大的数是 （ ）

（A）4 （B）5 （C）10 （D）7或2 （E）6或1

15，王先生各李先生同时驾车自A市到B市，二市相距500公里，王先生每小时车速较李先生车速快20公里，结果早到1小时15分钟，那么王先生的车速是李先生的车速的（ ）

（A）2倍 （B）

23574倍 （C）倍 （D）倍 （E）倍 244916、若方程2x?(a?1)x?a?3?0两根之差为1，则a的值是 （ ） （A）9或-3 （B）9或3 （C）-9或3 （D）-9或-2 （E）9或-2

17、孙经理用24000元买进甲，乙股票各若干元，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时，全部抛出，他共赚得1350元，则孙经理买甲股票的金额与乙股票的金额的比是（ ）

（A）10：7 （B）5：3 （C）5：6 （D）5：7 （E）7：10

18、一蓄水池装有甲，乙，丙三个进水管，单独开放甲管，45小时可以注满全池，单独开放乙管，60小时可注管；单独开放丙管90小时可以注满，如果三管一齐开放，注满水池需（ ）

（A）10小时 （B）15小时 （C）20小时 （D）25小时 （E）27小时

19、一农场有甲，乙两台收割机，甲机的工作效率是乙机的3倍，若甲机收割了全部麦田的

3后，乙机继续收割完，所需时间比用甲，乙两部同时收割完多用3天，则单独用甲4机收割完的时间是 （ ）

（A）2天 （B）3天 （C）4天 （D）5天 （E）6天

20、已知对于x取任意实数值，不等式(a?2)x?4x?(a?1)?0总成立，则a的取值范围是（ ）

（A）(??,?2)?(2,??) （B）(??,?2]?[2,??) （C）(?2,2] （D）(2,??) （E）(??,2] 二、充分性判断

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2

21，方程4x?(a?2)x?a?5?0有两个不等的负实数根 （1）a?6 （2）a?5 22、不等式x?3?8?x?a无解

（1）a?5 （2）a?5 23、己知关于x的方程3x?px?5?0，求p值 （1）已知方程有一根x??1； （2）设该方程的两根为x1和x2而

2211??2 x1x224、不等式(1?x)(1?x)?0成立 （1）x?1

（2）x??1或?1?x?1

3

25、一艘轮船发生漏水事故，在无法堵漏的情况下，用抽水机抽水，当漏进800m水时，用两部抽水机同时开姓抽水，在设定条件下，求每分钟漏进多少水。

（1）抽水40分钟，刚好把水抽完

33

（2）甲机每分钟能抽水30m乙机每分钟能抽水20m

26、关于x的方程ax?(2a?1)x?(a?3)?0有两个不相等的实数根 （1）a?3 （2）a?1

22x2?lgm2x?1?1对于x取一切实数都成立 27、不等式24x?6x?3（1）10?m?100 （2）100?m?1000

28、三个连续整数之和为42

（1）三个连续整数每两个数积的和为587 （2）三个连续整数的平方和为590

29、王先生购买甲、乙两种股票若干股，其中买甲股的股数比乙股票的股数多 （1）甲股票每股8元，乙股票每股10元

（2）当甲股上扬10%，乙股票下跌8%时，王先生将这两种股票全抛出后获利 30、自然数n满足条件4n?n?3?0 （1）自然数n加上2后是一个完全平方数； （2）自然数n减少1后是一个完全平方数；

2 在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

第四章 数列 （甲）内容要点 一、基本概念 1、数列的定义

按一定的次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫这个数列的项。数列一般表达示为

a1,a2,a3,???,an???或简记为?an?

其中an叫做数列?an?的第n项也叫通项，自然数n叫做an的序号

2、数列的通项公式?an?的通项an与n之间的函数关系，可以用一个关于n的解析式

f(n)表达，则称an?f(n)为数列?an?的通项公式。

如数列

123n ,,,...,的通项公式为an?234n?13、数列的前n项和Sn

Sn?a1?a2?...?an

数列?an?中，an与Sn有如下关系

?a1?S1 ??an?Sn?Sn?1　　　（n?2）项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列 二、等差数列

1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫公差，记为d

?an?是等差数列?an?1?an?d　　　（n=1,2,3...）2、通项公式

an?a1?(n?1)d

3、前n项和公式

Sn?n(a1?an)1 Sn?na1?n(n?1)d 22a?b 24、等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A?5、在等差数列a1,a2,...,an?1,an中，与首项和末项等“距离”的两项之和，都等于首项与末项之和。

如a2?an?1?a3?an?2?...?a1?an

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6、常数列c,c,...,c,...是公差d?0的等差数列 7、在等差数列?an?中

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,...仍组成等差数列。

三、等比数列

1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫公比，记为q

?an?是等比数列?2、通项公式

an?1?q (n?1,2,...) anan?a1qn?1（n?N）

3、前n项和公式 当q?1时Sn?na1，

a1(1?qn)a?anq当q?1时，Sn?，Sn?1

1?q1?q4，等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G??ab 5、在等比数列a1,a2,...,an?1,an中与首项和末项等“距离”的两项之积，都等于首项与末项之积

如 ； a2?an?1?a3?an?2?...,a1?an

6、非零常数列C,C,C,...C(C?0)是公比q?1的等比数列 7、在等比数列?an?中，

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,...仍组成等比数列

（乙）典型例题

一、数列的概念

21、已知数列?an?前n项和Sn?5n?2n，求通项公式，并判断73是否为该数列的一

项？

2解：a1?S1?5?1?2?1?3

an?Sn?Sn?1?(5n2?2n)?[5(n?1)2?2(n?1)]?10n?7

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又由an?10n?7中，当n?1时，a1?10?1?7?3 即an?10n?7中包含a1?3，因此数列?an?的通项公式为

an?10n?3　　　（ｎ?Ｎ）1

又 73?10n?7 n?8所以a8?73 故73是该数列的一项

22、数列?an?的前几项和Sn?n?3n?2，求an?1?an?2?an?3

解：an?1?an?2?an?3

22=Sn?3?Sn?(n?3)?3(n?3)?2?n?3n?2

=n?6n?9?3n?9?2?n?3n?2 =6n?18

n3，在数列?an?中已知a1?3，an?2Sn?1?3求an和Sn n解：因为an?Sn?Sn?1所以Sn?3Sn?1?3，

22SnSn?1=1 ?3n3n?1Sn，?bn?是公差为1的等差数列 3nSa所以bn?b1?n?1，又因为b1?1?1?1?bn?n

33Snn?n于是Sn?n?3 (n?N) 3

设 bn?nn?1当n?2,an?Sn?Sn?1?n?3?(n?1)3

?[3n?(n?1)]3n?1?(2n?1)3n?1

n?1n所以，an?(2n?1)3，Sn?n?3，(n?N)

充分性判断（第4~7题） 4、数列?an?的通项公式可以确定 （1）在数列?an?中有an?1?an?n成立 （2）在数列?an?中，a5?1

解：由条件（1）是数列?an?的递椎关系式，只由它不能确定?an?的通项公式，条件（2）只给出a5?1，也不能确定?an?的通项公式，由条件（1）和（2）联合起来看，由（1）

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