07一元二次方程的概念与解法

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一元二次方程的概念与解法

【知识要点】

1． 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式

ax2 bx c 0（a 0）是一元二次方程的一般形式.

3．一元二次方程的解法主要有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法.

4．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷．

【经典例题】

例1．判断下列方程是不是一元二次方程：

（1）x2 y 1 （2）42 12x x 3 xy 1 0 （3） （4）2x 1

（5） a 1 x2 k 1（a 1、k是常数） （6） x 1 x2 x 1 x2 2x 1 x 1 例2．用直接开方法解下列方程:

(1)2x 8 0

例3．用配方法解下列方程:

(1)x 6x 16 0

例4 用公式法解下列方程:

(1)2x 3x 1 0

例5 用因式分解法解下列方程：

(1)2x 5x 2 0

2222 (2)(x 5)2 36 0 (3)(x 4)(x 4) 8 (3)2x 5x 1 2 (2)x 2x 3 0 2 (2)(x 3)(x 7) 9 (3)(2y 1) 8(2y 1) 15 0 2

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(1)(4x 2)2 x(2x 1)

例7 解关于x的一元二次方程：

(1)x2 2(m 3)x m2 6m 8 0

(2)(m 1)x2 3x m 2 0(m 1) (2)x2 ( 2)x 2 0

【经典练习】

一、选择题

1.下列方程中,常数项为零的是( )

A.x+x=1 B.2x-x-12=12； C.2(x-1)=3(x-1) D.2(x+1)=x+2

2．下列方程是一元二次方程的是（ ）.

A．3x 2y 1

C．4x B. 5x 3x 1 0 D. ax bx c 0 2222221 3 x

23．已知x 1是一元二次方程x 2mx 1 0的一个解，则m的值是（ ） A．1 B. 0

2 C. 0或1 D. 0或-1 4.用配方法解关于x的一元二次方程x px q 0时，此方程可变形为（ ）.

p p2 4q A． x 2 4

p p2 4q C． x 2 4

22 p 4q p2 B. x 2 4 p 4q p2 D. x 2 4 222 12x3225.下列方程:①x=0,②2-2=0,③2x+3x=(1+2x)(2+x),④3x

-8x+ 1=0中,一元二次方程的个xx

数是( )

A.1个 B2个 C.3个 D.4个

6.把方程（

+(2x-1)=0化为一元二次方程的一般形式是( ) 2

A.5x-4x-4=0 B.x-5=0 C.5x-2x+1=0 D.5x-4x+6=0 2222

二、填空题

1．方程x x 6 16的解为 .

2．已知方程x 4x 1 0的两根x1,x2，则x1 x2

22；x1 x2 . 3．已知方程x m 1 x 3 0的一根为-1，则另一根为4．请写出一个根为x 1，另一个根满足 1 x 1的一元二次方程 .

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(x 1)25 3x 化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 6.方程22

7.如果2x+1与4x-2x-5互为相反数,则x的值为________.

8．方程： x 1 x 2 x 3 0的根是 .

三、解答题

1．用适当的方法解方程.

（1）4 2x 1 9 （2）x 2x 1 （3） x 1 3x x 1 22222

(4)3y+1=; (5)(x-a)=1-2a+a(a是常数) （6）

2．用配方法证明：代数式 3x x 1的值不大于

3．阅读材料，并解答后面的问题：

2材料：在解方程x2 1 5x2 1 4 0时，我们将x 1视为一个整体，然后设x 1 y，这样，原方22

22 1 x 1 x 2 16 2 13. 12 2 2

程可化为y2 5y 4 0①；解①得y1 1,y2 4.当y 1时，即x 1=1，解得x 5 综合得：原方程的解是：x

解答下列问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 方法，达到降次的目的，体现了 的数学思想.

（2）应用上述解题方法解方程y y 6 0.

2222,x2 2,x3 ,x4 . 42

求出m和n的值吗? 4.已知关于x的一元二次方程x+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)-52=3x的解,你能

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作业

1．用恰当的方法解方程

（1） x 3 x 1 6x 4

（3）．x 6x 0． （4）3x x 1 2 2x 2 （2）x2 2 5x 25 0

（5）(2t 1) 5(2t 1) 6 0

2．用配方法证明：x 4y 2x 4y 3的值不小于1.

222（6）x x 2 k(x 2x) 0(k 1) 22

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