西北工业大学研究生矩阵论试题2006

矩阵论试题（06，12）

一.

?01??11?(18分)填空：设A???,B???.

?90??11?1. A-B的Jordan标准形为J=

2. 是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。 3. 是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。（ ） 4.

vec(B)p，其中1?p???。 ?（ ）

5. 若常数k使得kA为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（ ）。 6. A?B的全体特征值是（ ）。 7.

。 A?B2?（ ）

(1)8. B 的两个不同秩的{1}-逆为B二.(10分)设A?C实数 验证

m?n?????(1)??,B??????。 ?,对于矩阵的2-范数

定义A2和F-范数AF，

m?nA?A2?AF22 （任意A?C）

A是Cm?n中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

3t??1?1e???1??3t?????02?,b(t)??e?,x(0)??1?。 三.(15分)已知A???0???111??0???????121. 求e；

Atd2. 用矩阵函数方法求微分方程x(t)?Ax(t)?b(t)满足初始条

dt件x(0) 的解。

?1??1四.(10分)用Householder变换求矩阵A??1??1?解。

200??034?的QR分?030?204???2014???五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵A??686?的特征

?11i???值。（要求画图表示）

?0??1六. (15分)已知A??1??2?101??1????212??3?,b???。 ?0101??????121?3??1. 求A 的满秩分解； 2. 求A+；

3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解；

4. 求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。（要求指出所求的是哪种解） 七.(15分)已知欧式空间R2?2 的子空间

??x1V??X???x?3?22x2?x1?x4?0???, ?x4?x2?x3?0?R

2?2

?a11a12? 中的内积为(A,B)???aijbij,A???, ?a?i?1j?1?21a22??b11b12??B??,V中的线性变换为T(X)=XP+XT, 任意X?V， ?b??21b22??01?P???.

?10?1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换；

3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 八. (7分) 设线性空间Vn 的线性变换T 在基x1,x2,?,xn下的矩

阵为A，Te表示Vn 的单位变换，证明：存在x0?0，使得

1T(x0)=(Te-T)(x0)的充要条件是??为A的特征值.

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