2332电大2017年最新高等数学基础期末考试复习试题及答案
更新时间:2023-11-02 05:12:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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高等数学(1)学习辅导(一)
第一章 函数
⒈理解函数的概念;掌握函数y?f(x)中符号f ( )的含义;了解函数的两要素;会求函数的定义域及函数值;会判断两个函数是否相等。
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 ⒉了解函数的主要性质,即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意x,有f(?x)?f(x),则f(x)称为偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。 若对任意x,有f(?x)??f(x),则f(x)称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。 掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型: ①常数函数:y?c ②幂函数:y?x?x(?为实数)
③指数函数:y?a(a?0,a?1)
④对数函数:y?logax(a?0,a?1)
⑤三角函数:sinx,cosx,tanx,cotx ⑥反三角函数:arcsinx,arccosx,arctanx
⒋了解复合函数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数
y?earctan(1?x)
u2可以分解y?e,u?v,v?arctanw,w?1?x。分解后的函数前三个都是基本初等函数,而第四个函数是常数
函数和幂函数的和。
⒌会列简单的应用问题的函数关系式。 例题选解 一、填空题
⒈设f()?x?1?x(x?0),则f(x)? 。 解:设t?21x211,则x?,得 xt111?1?t2 f(t)??1?2?ttt1?1?x2故f(x)?。
x1?5?x的定义域是 。 ⒉函数f(x)?ln(x?2)解:对函数的第一项,要求x?2?0且ln(x?2)?0,即x?2且x?3;对函数的第二项,要求5?x?0,即x?5。取公共部分,得函数定义域为(2,3)?(3,5]。
⒊函数f(x)的定义域为[0,1],则f(lnx)的定义域是 。
解:要使f(lnx)有意义,必须使0?lnx?1,由此得f(lnx)定义域为[1,e]。 ⒋函数y?x2?9的定义域为 。
x?31
解:要使y??x?3?x?3或x??3x2?92有意义,必须满足x?9?0且x?3?0,即?成立,解不等式方程组,得出?,
x?3x?3x?3??故得出函数的定义域为(??,?3]?(3,??)。
ax?a?x⒌设f(x)?,则函数的图形关于 对称。
2解:f(x)的定义域为(??,??) ,且有
a?x?a?(?x)a?x?axax?a?xf(?x)????f(x)
222即f(x)是偶函数,故图形关于y轴对称。
二、单项选择题
⒈下列各对函数中,( )是相同的。 A.f(x)?x2,g(x)?x; B.f(x)?lnx2,g(x)?2lnx;
x2?13,g(x)?x?1C.f(x)?lnx,g(x)?3lnx; D.f(x)?x?1
解:A中两函数的对应关系不同,
x2?x?x, B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同,所以A B, D都不是
正确的选项;而选项C中的函数定义域相等,且对应关系相同,故选项C正确。
⒉设函数f(x)的定义域为(??,??),则函数f(x)-f(?x)的图形关于( )对称。
A.y=x; B.x轴; C.y轴; D.坐标原点 解:设F(x)?f(x)?f(?x),则对任意x有
F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)??(f(x)?f(?x))??F(x)
即F(x)是奇函数,故图形关于原点对称。选项D正确。 3.设函数
的定义域是全体实数,则函数f(x)?f(?x)是( ).
A.单调减函数; B.有界函数;
C.偶函数; D.周期函数 解:A, B, D三个选项都不一定满足。 设F(x)?f(x)?f(?x),则对任意x有
F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?f(x)?f(?x)?F(x)
即F(x)是偶函数,故选项C正确。
ax?1(a?0,a?1)( ) ⒋函数f(x)?xxa?1 A.是奇函数; B. 是偶函数;
C.既奇函数又是偶函数; D.是非奇非偶函数。 解:利用奇偶函数的定义进行验证。
a?x?1a?x(1?ax)ax?1 f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x) xa?1a(1?a)a?1所以B正确。
11)?x2?2,则f(x)?( ) xx22 A.x; B. x?2;
22C.(x?1); D. x?1。
111222解:因为x?2?x?2?2?2?(x?)?2
xxx112所以f(x?)?(x?)?2
xx2则f(x)?x?2,故选项B正确。
⒌若函数f(x?2
第二章 极限与连续
⒈知道数列极限的“??N”定义;了解函数极限的描述性定义。
⒉理解无穷小量的概念;了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系;知道无穷小量的比较。 无穷小量的运算性质主要有:
①有限个无穷小量的代数和是无穷小量; ②有限个无穷小量的乘积是无穷小量; ③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。
⒊熟练掌握极限的计算方法:包括极限的四则运算法则,消去极限式中的不定因子,利用无穷小量的运算性质,有理化根式,两个重要极限,函数的连续性等方法。
求极限有几种典型的类型 (1)limx?0a2?xk?a(a2?xk?a)(a2?xk?a)1 ?lim?k2kx?02axkx(a?x?a)(x?x0)(x?x1)x2?ax?b(2)lim?lim?x0?x1
x?x0x?x0x?x0x?x0?0?a0xn?a1xn?1???an?1x?an?a0(3)lim??x?x0bxm?bxm?1???bx?b01m?1m?b0??? ⒋熟练掌握两个重要极限: limn?mn?m n?msinx?1
x?0x11x lim(1?)?e (或lim(1?x)x?e)
x?0x??x 重要极限的一般形式:
sin?(x)?1
?(x)?0?(x)lim11f(x))?e (或lim(1?g(x))g(x)?e) lim(1?g(x)?0f(x)??f(x)利用两个重要极限求极限,往往需要作适当的变换,将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则,如
sinxsinxlimsinx11x?0x1lim?lim?x??? x?0sin3xx?03sin3xsin3x33limx?03x3xxx2x222?2?(1?)lim[(1?)]?1?x?x?2xe2x??xxlim()?lim??lim???1?e3 ?x??x?1x??x??11?x?1e?1?1?(1?)xlim[(1?)]x????x?x?x?⒌理解函数连续性的定义;会判断函数在一点的连续性;会求函数的连续区间;了解函数间断点的概念;会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类:
已知点x?x0是的间断点,
若f(x)在点x?x0的左、右极限都存在,则x?x0称为f(x)的第一类间断点;
3
若f(x)在点x?x0的左、右极限有一个不存在,则x?x0称为f(x)的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍是连续函数,初等函数在其定义域内连续的结论,知道闭区间上连续函数的几个结论。
典型例题解析
一、填空题
x2sin1 ⒈极限limxx?0sinx? 。
x2sin1解:limxx?0sinx?limx?0(xsin1xxsinx)?limx?0xsin1x?limxx?0sinx?0?1?0 注意:limxsin1x?0(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)
x?0limx111sinxx?0sinx?limx?0sinx???1,其中lim=1是第一个重要极限。 xlimsinx1x?0xx?0x?⒉函数f(x)???xsin1x?0的间断点是x? 。 ??1x?xx?0解:由f(x)是分段函数,x?0是f(x)的分段点,考虑函数在x?0处的连续性。
因为 lim1?xsinx?0lim?(x?1)?1f(0)?1x?0x?0
所以函数f(x)在x?0处是间断的,
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的,故函数f(x)的间断点是x?0。
⒊⒋⒌⒍设f(x)?x2?3x?2,则f[f?(x)]? 。 解:f?(x)?2x?3,故
f[f?(x)]?(2x?3)2?3(2x?3)?2?4x2?18x?20
⒎函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 。
二、单项选择题 ⒈函数
在点
处( ).
A.有定义且有极限; B.无定义但有极限;
C.有定义但无极限; D.无定义且无极限 解:f(x)在点
处没有定义,但
limxsin1x?0x?0(无穷小量?有界变量=无穷小量) 故选项B正确。
⒉下列函数在指定的变化过程中,( )是无穷小量。 1 A.ex,(x??); B.
sinxx,(x??); C. ln(1?x),(x?1); D.
x?1?1x,(x?0)
解:无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以
4
lim而A, C, D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。
sinx?0
x??x三、计算应用题
⒈计算下列极限:
x2?3x?2x?3?x ⑴lim2 ⑵ lim()
x?2x?4x?12x??x?11?x?1(x?1)10(2x?3)5lim (3)lim (4) 15x?0x??sin3x12(x?2)
x2?3x?2(x?1)(x?2)x?1??解:⑴?
x2?4x?12(x?2)(x?6)x?6x2?3x?2x?11 ?lim2=lim?
x?2x?4x?12x?2x?6811(1?)xlim[(1?)?x]?1x?3?xx?1xe?11n??xx)?lim()?lim???⑵lim( x34n??x?1n??x?3n??3xee3(1?)lim[(1?)3]3xn??x⑶ 题目所给极限式分子的最高次项为
x10?(2x)5?32x15
分母的最高次项为12x,由此得
15(x?1)10(2x?3)5328lim?? x??12312(x?2)15 (4)当x?0时,分子、分母的极限均为0,所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
1?x?1(1?x?1)(1?x?1)1?x?1 ?lim?limx?0x?0x?0sin3xsin3x(1?x?1)sin3x(1?x?1)?x13x1111??lim?lim??? =limx?03x?0sin3xx?01?x?1326sin3x(1?x?1) lim2.设函数
1?xsin?bx?0?x? f(x)??ax?0
x?sinx?0?x?问(1)a,b为何值时,f(x)在x?0处有极限存在? (2)a,b为何值时,f(x)在x?0处连续?
解:(1)要f(x)在x?0处有极限存在,即要lim?f(x)?lim?f(x)成立。
x?0x?0因为lim?f(x)?lim?(xsinx?0x?01?b)?b xsinx?1x?0x?0x所以,当b?1时,有lim?f(x)?lim?f(x)成立,即b?1时,函数在x?0处有极限存在,又因为函数在某点处有极
lim?f(x)?lim?x?0x?0限与在该点处是否有定义无关,所以此时a可以取任意值。
(2)依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是
5
lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)
x?x0x?x0 于是有b?1?f(0)?a,即a?b?1时函数在x?0处连续。
第三章 导数与微分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点:
⒈理解导数的概念;了解导数的几何意义;会求曲线的切线和法线;会用定义计算简单函数的导数;知道可导与连续的关系。
f(x)在点x?x0处可导是指极限
?x?0limf(x0??x)?f(x0)
?xf(x)?f(x0)
x?x0存在,且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限
x?x0lim 函数f(x)在点x?x0处的导数f?(x0)的几何意义是曲线y?f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)
函数y?f(x)在x0点可导,则在x0点连续。反之则不然,函数y?f(x)在x0点连续,在x0点不一定可导。 ⒉了解微分的概念;知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式,熟练掌握下列求导方法 (1)导数的四则运算法则 (2)复合函数求导法则 (3)隐函数求导方法 (4)对数求导方法
(5)参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算,如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时,求导时采用取对数求导法, 例如函数y?(x?1)2x,求y?。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的,但是计算时会麻烦一些,而且容易出错。如果我们把函数先进行变形,即 y?(x?1)2x1?x2?2x?1x13?x?2x?x
3212?12再用导数的加法法则计算其导数,于是有
?31? y??x2?x2?x2
22这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数 y?x?13x?2,求y?。
显然直接求导比较麻烦,可采用取对数求导法,将上式两端取对数得
lny?两端求导得
11ln(x?1)?ln(x?2) 23y?11?? y2(x?1)3(x?2)整理后便可得
6
y??若函数由参数方程
3x?8 2x?26(x?x?2)?x?1?x??(t) ??y??(t)的形式给出,则有导数公式
dy??(t)? dx??(t)能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数,能够利用隐函数求导法,取对数求导法,参数表示的函数的求函数的导数。
⒋熟练掌握微分运算法则
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(u?v)?du?dv
d(u?v)?vdu?udv uvdu?udv(v?0) d()?2vv一阶微分形式的不变性
???dy?y?xdx?yu?uxdx?yudu
微分的计算可以归结为导数的计算,但要注意它们之间的不同之处,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
⒍了解高阶导数的概念;会求显函数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的n阶导数就要先求函数的n?1阶导数。
第三章 导数与微分典型例题选解
一、填空题
⒈设函数f(x)在x?0邻近有定义,且f(0)?0,f?(0)?1,则lim解:lim故应填1。
⒉曲线y?x?0f(x)? 。 xx?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)?1 x?0xx?01x在点(1,1)处切线的斜率是 。
解:由导数的几何意义知,曲线f(x)在x?x0处切线的斜率是f?(x0),即为函数在该点处的导数,于是
1?1?y???x2,y?(1)??x222故应填?33x?11??
21。 22⒊设f(x)?x?4x?5,则f[f?(x)]? 。 解:f?(x)?2x?4,故
f[f?(x)]?(2x?4)2?4(2x?4)?5?4x2?24x?37
2故应填4x?24x?37 二、单项选择题
7
⒈设函数f(x)?x,则lim2x?2f(x)?f(2)?( )。
x?2A.2x; B.2; C.4; D不存在
f(x)?f(2)?f?(2),且f(x)?x2,
x?2x?2所以f?(2)?2xx?2?4,即C正确。
解:因为lim1 ⒉设f()?x,则f?(x)?( )。
x1111A.; B. ?; C. 2; D. ?2 xxxx解:先要求出f(x),再求f?(x)。
11111因为f()?x?,由此得f(x)?,所以f?(x)?()???2
1xxxxx即选项D正确。
3.设函数f(x)?(x?1)x(x?1)(x?2),则f?(0)?( ). A.0; B.1;
C.2; D.?2
解:因为f?(x)?x(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)(x?2)?(x?1)x(x?2)?(x?1)x(x?1),其中的三项当x?0时为0,所以
f?(0)?(0?1)(0?1)(0?2)?2
故选项C正确。
4.曲线y?x?e在点( )处的切线斜率等于0。
解:y??1?e,令y??0得x?0。而y(0)??1,故选项C正确。
5. y?sinx,则y??( )。
A.cosx; B.?cosx; C.2xcosx; D.?2xcosx
222解:y??cosx?(x)??2xcosx 故选项C正确。 三、计算应用题 ⒈设y?tan2x?2sinxxA.(0,1); B.(1,0); C.(0,?1); D.(?1,0)
x22222,求dyx??2
解:⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则
y??由此得
2?cosx?2sinxln2 2cos2x?2?sin2dyx???(?cos?2ln2)dx?2dx 22cos?2xf(x)⒉设y?f(e)e,其中f(x)为可微函数,求y?。
xf(x)?f(ex)[ef(x)]? 解 y??[f(e)]?exxf(x)?f(ex)ef(x)[f(x)]? =f?(e)[e]?e =f?(e)ee?f(ex)ef(x)f?(x)
f(x)[f?(ex)ex?f(ex)f?(x)] =exxf(x)求复合函数的导数时,要先搞清函数的复合构成,即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要分清复合函数的复合层次,然后由外层开始,逐层使用复合函数求导公式,一层一层求导,关键是不要遗漏,最后化简。
8
3.设函数y?y(x)由方程xy?e?ln解:方法一:等式两端对x求导得
ydyx确定,求。 ydxy?xy??y?ey?yy?xy??xy2
整理得
y?xy2y??2xy?xyey?x
方法二:由一阶微分形式不变性和微分法则,原式两端求微分得
左端?d(xy?ey)?d(xy)?d(ey)?ydx?xdy?eydy
右端?d(lnxy)?yxd(xy)?yx?ydx?xdyy2 由此得
ydx?xdy?eydy?yx?ydx?xdyy2 整理得
dyy?xy2dx?x2y?xyey?x 4.设函数y?y(x)由参数方程
???x?t2?2 ?y?1?t确定,求
dydx。
解:由参数求导法
dyyt??dx?x?1??1 t?2tt25.设y?(1?x2)arctanx,求y??。 解 y??2xarctanx?(1?x2)11?x2?2xarctanx?1
y???(2xarctanx?1)??2arctanx?2x1?x2
第四章 导数的应用典型例题
一、填空题
1.函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 .
解:y???2x1?x2,当x?0时y??0.故函数的单调增加区间是(??,0). 2.极限limlnx? . x?11?x解:由洛必达法则
9
1lnx(lnx)?lim?lim?limx??1 x?11?xx?1(1?x)?x?1?11x?x3.函数f(x)?(e?e)的极小值点为 。
21x?x解:f?(x)?(e?e),令f?(x)?0,解得驻点x?0,又x?0时,f?(x)?0;x?0时,f?(x)?0,所以x?021x?x是函数f(x)?(e?e)的极小值点。
2二、单选题
1.函数y?x?1 在区间[?2,2]上是( )
A) 单调增加 B)单调减少 C)先单调增加再单调减少 D)先单调减少再单调增加 解:选择D
2y??2x,当x?0时,f?(x)?0;当x?0时,f?(x)?0;所以在区间[?2,2]上函数y?x2?1先单调减少再单调增
加。
2. 若函数y?f(x)满足条件( ),则在(a,b)内至少存在一点?(a???b),使得
f?(?)?成立。
f(b)?f(a)
b?a A)在(a,b)内连续; B)在(a,b)内可导;
C)在(a,b)内连续,在(a,b)内可导; D)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导。 解:选择D。
由拉格朗日定理条件,函数f(x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导,所以选择D正确。
3. 满足方程f?(x)?0的点是函数y?f(x)的( )。 A)极值点 B)拐点 C)驻点 D)间断点 解:选择C。
依驻点定义,函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
4.设函数f(x)在(a,b)内连续,x0?(a,b),且f?(x0)?f??(x0)?0,则函数在x?x0处( )。 A)取得极大值 B)取得极小值
C)一定有拐点(x0,f(x0)) D)可能有极值,也可能有拐点
解:选择D
函数的一阶导数为零,说明x0可能是函数的极值点;函数的二阶导数为零,说明x0可能是函数的拐点,所以选择D。 三、解答题 1.计算题
求函数y?x?ln(1?x)的单调区间。
解:函数y?x?ln(1?x)的定义区间为(?1,??),由于
1x? 1?x1?x令y??0,解得x?0,这样可以将定义区间分成(?1,0)和(0,??)两个区间来讨论。当?1?x?0时,y??0;当0?x???是,y??0。
由此得出,函数y?x?ln(1?x)在(?1,0)内单调递减,在(0,??)内单调增加。
y??1? 2.应用题
欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法所用材料最省?
10
解:设底边边长为x,高为h,所用材料为y 且 xh?108,h? y?x?4xh
22108 2x1084322 ?x?22xx?4322x3?432? y??2x? x2x23令y??0得2(x?216)?0?x?6,
且因为x?6,y??0;x?6,y??0,所以x?6,y?108为最小值.此时h?3。
?x?4x2于是以6米为底边长,3米为高做长方体容器用料最省。 3.证明题:当x?1时,证明不等式 e?xe
证 设函数f(x)?lnx,因为f(x)在(0,??)上连续可导,所以f(x)在[1,x]上满足拉格朗日中值定理条件,有公式可得
f(x)?f(1)?f?(c)(x?1) 其中1?c?x,即
lnx?ln1?又由于c?1,有
x1(x?1) c1?1 clnx故有 lnx?x?1
?ex?1
ex即 x?
e两边同时取以e为底的指数,有e所以当x?1时,有不等式
e?xe 成立.
x第5章学习辅导(2)
典型例题解析
一、填空题
⒈曲线在任意一点处的切线斜率为2x,且曲线过点(2,5),则曲线方程为 。
解:?2xdx?x2?c,即曲线方程为y?x2?c。将点(2,5)代入得c?1,所求曲线方程为
y?x2?1
⒉已知函数f(x)的一个原函数是arctanx2,则f?(x)? 。
2x解:f(x)?(arctanx2)?? 41?x2x2(1?x4)?8x42?6x4 ?4242 f?(x)?(1?x4)??(1?x)(1?x)⒊已知F(x)是f(x)的一个原函数,那么?f(ax?b)dx? 。 解:用凑微分法
?f(ax?b)dx?11f(ax?b)d(ax)?f(ax?b)d(ax?b) a?a?11
?1a?dF(ax?b)?1aF(ax?b)?c
二、单项选择题
⒈设?f(x)dx?xlnx?c,则f(x)?( )。 A. lnx?1; B. lnx;
C. x; D. xlnx解:因
f(x)?(xlnx)??lnx?xx?lnx?1 故选项A正确.
⒉设F(x)是f(x)的一个原函数,则等式( )成立。
A.ddx(?f(x)dx)?F(x); B.?F?(x)dx?f(x)?c;
C.?F?(x)dx?F(x); D.ddx(?f(x)dx)?f(x)
解:正确的等式关系是
ddx(?f(x)dx)?f(x) ?F?(x)dx?F(x)?c 故选项D正确.
⒊设F(x)是f(x)的一个原函数,则?xf(1?x2)dx?( )。
A. F(1?x2)?c; B. ?F(1?x2)?c;
C. ?12F(1?x2)?c; D. F(x)?c 解:由复合函数求导法则得
[?12F(1?x2)]???12f(1?x2)(1?x2)? ??1f(1?x2)(1?x22)??xf(1?x2)故选项C正确.
三、计算题
⒈计算下列积分:
⑴?x?x21?x2dx ⑵?1x2dx
解:⑴利用第一换元法
?x1?x2dx??121?x2d(x2)???121?x2d(1?x2)
???d(1?x2)?1?x2?c ⑵利用第二换元法,设x?sint,dx?costdt
?1?x2x2dx??cost?costsin2tdt??1?sin2t1sin2tdt??(sin2t?1)dt
12
1?x2 ??cott?t?c??x?arcsxin?c
⒉计算下列积分:
⑴?arcsinxdx ⑵?lnxx2dx 解:⑴利用分部积分法
?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)?xarcsinx??x1?x2dx
?xarcsixn??121?x2d(1?x2)
?xarcsxin?1?x2?c ⑵利用分部积分法
?lnxx2dx??lnxd(?1lnx1x)??x??xd(lnx) ??lnxx??1lnx1x2dx??x?x?c
高等数学(1)第六章学习辅导
综合练习题
(一)单项选择题
(1).下列式子中,正确的是( )。
A. ?22f(x)dx?0 B. f ( x ) dx ? ? b af ( x ) dx ?1C.
0x2dx??1?ab0xdx D.
?103x2dx??103t2dt (2). 下列式子中,正确的是( )
A. ???0costdt?????cosx B. ?? ? ?C. ??x??? 20costdt?/?x???cosx?x???0costdt????0 D. ?????0costdt???cosx (3) 下列广义积分收敛的是( )。
A ???0exdx .B.
???11xdx C.
?????0cosxdx D.
?11x2dx
(4)
若f(x)是[?a,a]上的连续偶函数,则 ?a?af(x)dx?()。
A.
?0?af(x)dx B. 0
C.2?0f(x)dx D.?a?a0f(x)dx
(5)
若f(x)与g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线,则由这两条曲线及直线x?a,x?b所围图形的面积(
).
13
A.
?bbaf(x)?g(x)dx B. ?a(f(x)?g(x))dx C. ?ba(g(x)?f(x))dx D.
?ba(f(x)?g(x))dx
答案:(1) A;(2)D; (3)D; (4)C; (5)A。
解:(1)根据定积分定义及性质可知 A正确。 而
?abbf(x)dx???af(x)dx B不正确。
在(0,1)区间内 x2?x??1x2dx??100xdx? C 不正确。
根据定积分定义可知,定积分值与函数及定积分的上、下限有关,而与积分变量的选取无关。 故D不正确。
(2) 由变上限的定积分的概念知
?????x0costdt?????cosx,????0??xcostdt????cosx ∴A、C不正确。 由定积分定义知 B不正确。 D正确。 (3) ????0exdx??b0exdx?(eb?e0)??? ∴blim???blimA不正确。 ???
????1dx?blim?1b1x1xdx?limlnx?b?ln1)???∴B。不正确。
b???b???1blim(ln???
????b0cosxdx?blim?0cosxdx?lim(sinb?sin0)不存在∴。C。不正确。 ???b???
???x1dx?b12lim?11b2dx?lim(1_)?D b???1x?b???xblim(?1?1)?1???b
D正确
(4)由课本344页 (6—4—2)和345页(6—4—3)知C。正确。
(5)所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 ∴ A正确。
(二) 填空题
(1)
?xlim0costdtx?0x?_________
(2) 设F(x)??1tx2edt,则F?(x)?____________. (3) 在区间?0,2??上,曲线y?sinx和x轴所围图形的面积为______________。
(4)
?204?x2dx?______________
(5) p?_________,无穷积分???1axpdx发散 (a>0 p>0 ) 答案:
14
x解:(1)tdtlim?0cos?cosx?cos0x?0xlimx?01?1 (2) F(x)???x2et1dt,?F?(x)?(??x2etdt,)???ex2(x2)???2x21ex
(2) 所围图形的面积S=2??0sinxdx??2cosx?0??2?cos??cos0??4
(3) 由定积分的几何意义知: 定积分的值等于 (4) y= 4 ? x 2
所围图形的面积∴
?24?x2dx?104?22??
(5)
p≤1时 无穷积分发散。
(三) 计算下列定积分
(1)?402?xdx (2)
?10x(1?x)dx
(3)
?e1?lnx1xdx
(4) ? 1 x 2 1 ? x 2 dx
0? (5)
?20xsin2xdx
答案: (1)
?424102?xdx??0(2?x)dx??2(x?2)dx?(2x?x22?(142)02x2?2x)2?4
3(2)
?10x(1?x)dx?(2x2?1x21732)0?6 (3) ?e1?lnxdx??e(1?lnx)d(1?lnx)?12(1?lnx)e31x121?2 (4) ? 10 x 2 1 ? x 2 dx
解: 设x?sint (0?t??2)dx?costdt ??原式??221?21?1?cos4t1?20sintcostdt?
4?20sin2tdt?4?202dt?8(x02?14sin4t02)??16????2(5)
?2xsin2xdx??10xcos2x02?122?20cos2xdx??14?4sin2x??04
(四)定积分应用
求由曲线yx?1,及直线y?x,y?2所围平面图形的面积
15
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