2332电大2017年最新高等数学基础期末考试复习试题及答案

高等数学（1）学习辅导(一)

第一章 函数

⒈理解函数的概念；掌握函数y?f(x)中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 ⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。

若对任意x，有f(?x)?f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。 若对任意x，有f(?x)??f(x)，则f(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。 掌握奇偶函数的判别方法。

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。

⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： ①常数函数：y?c ②幂函数：y?x?x(?为实数)

③指数函数：y?a(a?0,a?1)

④对数函数：y?logax(a?0,a?1)

⑤三角函数：sinx,cosx,tanx,cotx ⑥反三角函数：arcsinx,arccosx,arctanx

⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数

y?earctan(1?x)

u2可以分解y?e，u?v，v?arctanw，w?1?x。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数

函数和幂函数的和。

⒌会列简单的应用问题的函数关系式。 例题选解 一、填空题

⒈设f()?x?1?x(x?0)，则f(x)? 。 解：设t?21x211，则x?，得 xt111?1?t2 f(t)??1?2?ttt1?1?x2故f(x)?。

x1?5?x的定义域是 。 ⒉函数f(x)?ln(x?2)解：对函数的第一项，要求x?2?0且ln(x?2)?0，即x?2且x?3；对函数的第二项，要求5?x?0，即x?5。取公共部分，得函数定义域为(2,3)?(3,5]。

⒊函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(lnx)的定义域是 。

解：要使f(lnx)有意义，必须使0?lnx?1，由此得f(lnx)定义域为[1,e]。 ⒋函数y?x2?9的定义域为 。

x?31

解：要使y??x?3?x?3或x??3x2?92有意义，必须满足x?9?0且x?3?0，即?成立，解不等式方程组，得出?，

x?3x?3x?3??故得出函数的定义域为(??,?3]?(3,??)。

ax?a?x⒌设f(x)?，则函数的图形关于 对称。

2解：f(x)的定义域为(??,??) ，且有

a?x?a?(?x)a?x?axax?a?xf(?x)????f(x)

222即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。

二、单项选择题

⒈下列各对函数中，（ ）是相同的。 A.f(x)?x2,g(x)?x； B.f(x)?lnx2,g(x)?2lnx；

x2?13,g(x)?x?1C.f(x)?lnx,g(x)?3lnx； D.f(x)?x?1

解：A中两函数的对应关系不同,

x2?x?x， B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D都不是

正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。

⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)－f(?x)的图形关于（ ）对称。

A.y＝x； B.x轴； C.y轴； D.坐标原点 解：设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有

F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)??(f(x)?f(?x))??F(x)

即F(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。 3．设函数

的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是（ ）．

A.单调减函数； B.有界函数；

C.偶函数； D.周期函数 解：A, B, D三个选项都不一定满足。 设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有

F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?f(x)?f(?x)?F(x)

即F(x)是偶函数，故选项C正确。

ax?1(a?0,a?1)（ ） ⒋函数f(x)?xxa?1 A.是奇函数； B. 是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

a?x?1a?x(1?ax)ax?1 f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x) xa?1a(1?a)a?1所以B正确。

11)?x2?2，则f(x)?（ ） xx22 A.x； B. x?2；

22C.(x?1)； D. x?1。

111222解：因为x?2?x?2?2?2?(x?)?2

xxx112所以f(x?)?(x?)?2

xx2则f(x)?x?2，故选项B正确。

⒌若函数f(x?2

第二章 极限与连续

⒈知道数列极限的“??N”定义；了解函数极限的描述性定义。

⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。 无穷小量的运算性质主要有：

①有限个无穷小量的代数和是无穷小量； ②有限个无穷小量的乘积是无穷小量； ③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。

⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。

求极限有几种典型的类型 （1）limx?0a2?xk?a(a2?xk?a)(a2?xk?a)1 ?lim?k2kx?02axkx(a?x?a)(x?x0)(x?x1)x2?ax?b（2）lim?lim?x0?x1

x?x0x?x0x?x0x?x0?0?a0xn?a1xn?1???an?1x?an?a0（3）lim??x?x0bxm?bxm?1???bx?b01m?1m?b0??? ⒋熟练掌握两个重要极限： limn?mn?m n?msinx?1

x?0x11x lim(1?)?e （或lim(1?x)x?e）

x?0x??x 重要极限的一般形式：

sin?(x)?1

?(x)?0?(x)lim11f(x))?e （或lim(1?g(x))g(x)?e） lim(1?g(x)?0f(x)??f(x)利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如

sinxsinxlimsinx11x?0x1lim?lim?x??? x?0sin3xx?03sin3xsin3x33limx?03x3xxx2x222?2?(1?)lim[(1?)]?1?x?x?2xe2x??xxlim()?lim??lim???1?e3 ?x??x?1x??x??11?x?1e?1?1?(1?)xlim[(1?)]x????x?x?x?⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。

间断点的分类：

已知点x?x0是的间断点，

若f(x)在点x?x0的左、右极限都存在，则x?x0称为f(x)的第一类间断点；

3

若f(x)在点x?x0的左、右极限有一个不存在，则x?x0称为f(x)的第二类间断点。

⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。

典型例题解析

一、填空题

x2sin1 ⒈极限limxx?0sinx? 。

x2sin1解：limxx?0sinx?limx?0(xsin1xxsinx)?limx?0xsin1x?limxx?0sinx?0?1?0 注意：limxsin1x?0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）

x?0limx111sinxx?0sinx?limx?0sinx???1，其中lim=1是第一个重要极限。 xlimsinx1x?0xx?0x?⒉函数f(x)???xsin1x?0的间断点是x? 。 ??1x?xx?0解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。

因为 lim1?xsinx?0lim?(x?1)?1f(0)?1x?0x?0

所以函数f(x)在x?0处是间断的，

又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。

⒊⒋⒌⒍设f(x)?x2?3x?2，则f[f?(x)]? 。 解：f?(x)?2x?3，故

f[f?(x)]?(2x?3)2?3(2x?3)?2?4x2?18x?20

⒎函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 。

二、单项选择题 ⒈函数

在点

处（ ）．

A.有定义且有极限； B.无定义但有极限；

C.有定义但无极限； D.无定义且无极限 解：f(x)在点

处没有定义，但

limxsin1x?0x?0（无穷小量?有界变量=无穷小量） 故选项B正确。

⒉下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 1 A.ex,(x??)； B.

sinxx,(x??)； C. ln(1?x),(x?1)； D.

x?1?1x,(x?0)

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

4

lim而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。

sinx?0

x??x三、计算应用题

⒈计算下列极限：

x2?3x?2x?3?x ⑴lim2 ⑵ lim()

x?2x?4x?12x??x?11?x?1(x?1)10(2x?3)5lim (3)lim （4） 15x?0x??sin3x12(x?2)

x2?3x?2(x?1)(x?2)x?1??解：⑴?

x2?4x?12(x?2)(x?6)x?6x2?3x?2x?11 ?lim2=lim?

x?2x?4x?12x?2x?6811(1?)xlim[(1?)?x]?1x?3?xx?1xe?11n??xx)?lim()?lim???⑵lim( x34n??x?1n??x?3n??3xee3(1?)lim[(1?)3]3xn??x⑶ 题目所给极限式分子的最高次项为

x10?(2x)5?32x15

分母的最高次项为12x，由此得

15(x?1)10(2x?3)5328lim?? x??12312(x?2)15 （4）当x?0时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。

1?x?1(1?x?1)(1?x?1)1?x?1 ?lim?limx?0x?0x?0sin3xsin3x(1?x?1)sin3x(1?x?1)?x13x1111??lim?lim??? =limx?03x?0sin3xx?01?x?1326sin3x(1?x?1) lim2.设函数

1?xsin?bx?0?x? f(x)??ax?0

x?sinx?0?x?问（1）a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？ （2）a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？

解：（1）要f(x)在x?0处有极限存在，即要lim?f(x)?lim?f(x)成立。

x?0x?0因为lim?f(x)?lim?(xsinx?0x?01?b)?b xsinx?1x?0x?0x所以，当b?1时，有lim?f(x)?lim?f(x)成立，即b?1时，函数在x?0处有极限存在，又因为函数在某点处有极

lim?f(x)?lim?x?0x?0限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

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lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)

x?x0x?x0 于是有b?1?f(0)?a，即a?b?1时函数在x?0处连续。

第三章 导数与微分

导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：

⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。

f(x)在点x?x0处可导是指极限

?x?0limf(x0??x)?f(x0)

?xf(x)?f(x0)

x?x0存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限

x?x0lim 函数f(x)在点x?x0处的导数f?(x0)的几何意义是曲线y?f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率。

曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为

y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)

函数y?f(x)在x0点可导，则在x0点连续。反之则不然，函数y?f(x)在x0点连续，在x0点不一定可导。 ⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。

⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法

（5）参数表示的函数的求导法

正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如

一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数y?(x?1)2x，求y?。

在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即 y?(x?1)2x1?x2?2x?1x13?x?2x?x

3212?12再用导数的加法法则计算其导数，于是有

?31? y??x2?x2?x2

22这样计算不但简单而且不易出错。

又例如函数 y?x?13x?2，求y?。

显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得

lny?两端求导得

11ln(x?1)?ln(x?2) 23y?11?? y2(x?1)3(x?2)整理后便可得

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y??若函数由参数方程

3x?8 2x?26(x?x?2)?x?1?x??(t) ??y??(t)的形式给出，则有导数公式

dy??(t)? dx??(t)能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。

⒋熟练掌握微分运算法则

微分四则运算法则与导数四则运算法则类似

d(u?v)?du?dv

d(u?v)?vdu?udv uvdu?udv(v?0) d()?2vv一阶微分形式的不变性

???dy?y?xdx?yu?uxdx?yudu

微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。

⒍了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。

函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的n阶导数就要先求函数的n?1阶导数。

第三章 导数与微分典型例题选解

一、填空题

⒈设函数f(x)在x?0邻近有定义，且f(0)?0,f?(0)?1，则lim解：lim故应填1。

⒉曲线y?x?0f(x)? 。 xx?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)?1 x?0xx?01x在点（1，1）处切线的斜率是 。

解：由导数的几何意义知，曲线f(x)在x?x0处切线的斜率是f?(x0)，即为函数在该点处的导数，于是

1?1?y???x2,y?(1)??x222故应填?33x?11??

21。 22⒊设f(x)?x?4x?5，则f[f?(x)]? 。 解：f?(x)?2x?4，故

f[f?(x)]?(2x?4)2?4(2x?4)?5?4x2?24x?37

2故应填4x?24x?37 二、单项选择题

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⒈设函数f(x)?x，则lim2x?2f(x)?f(2)?（ ）。

x?2A.2x； B.2； C.4； D不存在

f(x)?f(2)?f?(2)，且f(x)?x2，

x?2x?2所以f?(2)?2xx?2?4，即C正确。

解：因为lim1 ⒉设f()?x，则f?(x)?（ ）。

x1111A.； B. ?； C. 2； D. ?2 xxxx解：先要求出f(x)，再求f?(x)。

11111因为f()?x?，由此得f(x)?，所以f?(x)?()???2

1xxxxx即选项D正确。

3．设函数f(x)?(x?1)x(x?1)(x?2)，则f?(0)?（ ）． A.0； B.1；

C.2； D.?2

解：因为f?(x)?x(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)(x?2)?(x?1)x(x?2)?(x?1)x(x?1)，其中的三项当x?0时为0，所以

f?(0)?(0?1)(0?1)(0?2)?2

故选项C正确。

4．曲线y?x?e在点（ ）处的切线斜率等于0。

解：y??1?e，令y??0得x?0。而y(0)??1，故选项C正确。

5． y?sinx，则y??（ ）。

A.cosx； B.?cosx； C.2xcosx； D.?2xcosx

222解：y??cosx?(x)??2xcosx 故选项C正确。 三、计算应用题 ⒈设y?tan2x?2sinxxA.(0,1)； B.(1,0)； C.(0,?1)； D.(?1,0)

x22222，求dyx??2

解：⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则

y??由此得

2?cosx?2sinxln2 2cos2x?2?sin2dyx???(?cos?2ln2)dx?2dx 22cos?2xf(x)⒉设y?f(e)e，其中f(x)为可微函数，求y?。

xf(x)?f(ex)[ef(x)]? 解 y??[f(e)]?exxf(x)?f(ex)ef(x)[f(x)]? =f?(e)[e]?e =f?(e)ee?f(ex)ef(x)f?(x)

f(x)[f?(ex)ex?f(ex)f?(x)] =exxf(x)求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。

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3.设函数y?y(x)由方程xy?e?ln解：方法一：等式两端对x求导得

ydyx确定，求。 ydxy?xy??y?ey?yy?xy??xy2

整理得

y?xy2y??2xy?xyey?x

方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得

左端?d(xy?ey)?d(xy)?d(ey)?ydx?xdy?eydy

右端?d(lnxy)?yxd(xy)?yx?ydx?xdyy2 由此得

ydx?xdy?eydy?yx?ydx?xdyy2 整理得

dyy?xy2dx?x2y?xyey?x 4.设函数y?y(x)由参数方程

???x?t2?2 ?y?1?t确定，求

dydx。

解：由参数求导法

dyyt??dx?x?1??1 t?2tt25．设y?(1?x2)arctanx，求y??。 解 y??2xarctanx?(1?x2)11?x2?2xarctanx?1

y???(2xarctanx?1)??2arctanx?2x1?x2

第四章 导数的应用典型例题

一、填空题

1.函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 .

解：y???2x1?x2，当x?0时y??0.故函数的单调增加区间是(??,0). 2.极限limlnx? . x?11?x解：由洛必达法则

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1lnx(lnx)?lim?lim?limx??1 x?11?xx?1(1?x)?x?1?11x?x3.函数f(x)?(e?e)的极小值点为 。

21x?x解：f?(x)?(e?e)，令f?(x)?0，解得驻点x?0，又x?0时，f?(x)?0；x?0时，f?(x)?0，所以x?021x?x是函数f(x)?(e?e)的极小值点。

2二、单选题

1.函数y?x?1 在区间[?2,2]上是（ ）

A） 单调增加 B）单调减少 C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加 解：选择D

2y??2x，当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0；所以在区间[?2,2]上函数y?x2?1先单调减少再单调增

加。

2. 若函数y?f(x)满足条件（ ），则在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得

f?(?)?成立。

f(b)?f(a)

b?a A）在(a,b)内连续； B）在(a,b)内可导；

C）在(a,b)内连续，在(a,b)内可导； D）在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。 解：选择D。

由拉格朗日定理条件，函数f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，所以选择D正确。

3. 满足方程f?(x)?0的点是函数y?f(x)的（ ）。 A）极值点 B）拐点 C）驻点 D）间断点 解：选择C。

依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。

4.设函数f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b)，且f?(x0)?f??(x0)?0，则函数在x?x0处（ ）。 A）取得极大值 B）取得极小值

C）一定有拐点(x0,f(x0)) D）可能有极值，也可能有拐点

解：选择D

函数的一阶导数为零，说明x0可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明x0可能是函数的拐点，所以选择D。 三、解答题 1.计算题

求函数y?x?ln(1?x)的单调区间。

解：函数y?x?ln(1?x)的定义区间为(?1,??)，由于

1x? 1?x1?x令y??0，解得x?0，这样可以将定义区间分成(?1,0)和(0,??)两个区间来讨论。当?1?x?0时，y??0；当0?x???是，y??0。

由此得出，函数y?x?ln(1?x)在(?1,0)内单调递减，在(0,??)内单调增加。

y??1? 2.应用题

欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？

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解：设底边边长为x，高为h，所用材料为y 且 xh?108,h? y?x?4xh

22108 2x1084322 ?x?22xx?4322x3?432? y??2x? x2x23令y??0得2(x?216)?0?x?6，

且因为x?6,y??0;x?6,y??0，所以x?6,y?108为最小值.此时h?3。

?x?4x2于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。 3．证明题：当x?1时，证明不等式 e?xe

证 设函数f(x)?lnx，因为f(x)在(0,??)上连续可导，所以f(x)在[1,x]上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得

f(x)?f(1)?f?(c)(x?1) 其中1?c?x，即

lnx?ln1?又由于c?1，有

x1(x?1) c1?1 clnx故有 lnx?x?1

?ex?1

ex即 x?

e两边同时取以e为底的指数，有e所以当x?1时，有不等式

e?xe 成立.

x第5章学习辅导（2）

典型例题解析

一、填空题

⒈曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(2,5)，则曲线方程为 。

解：?2xdx?x2?c，即曲线方程为y?x2?c。将点(2,5)代入得c?1，所求曲线方程为

y?x2?1

⒉已知函数f(x)的一个原函数是arctanx2，则f?(x)? 。

2x解：f(x)?(arctanx2)?? 41?x2x2(1?x4)?8x42?6x4 ?4242 f?(x)?(1?x4)??(1?x)(1?x)⒊已知F(x)是f(x)的一个原函数，那么?f(ax?b)dx? 。 解：用凑微分法

?f(ax?b)dx?11f(ax?b)d(ax)?f(ax?b)d(ax?b) a?a?11

?1a?dF(ax?b)?1aF(ax?b)?c

二、单项选择题

⒈设?f(x)dx?xlnx?c，则f(x)?（ ）。 A. lnx?1； B. lnx；

C. x； D. xlnx解：因

f(x)?(xlnx)??lnx?xx?lnx?1 故选项A正确．

⒉设F(x)是f(x)的一个原函数，则等式（ ）成立。

A.ddx(?f(x)dx)?F(x)； B.?F?(x)dx?f(x)?c；

C.?F?(x)dx?F(x)； D.ddx(?f(x)dx)?f(x)

解：正确的等式关系是

ddx(?f(x)dx)?f(x) ?F?(x)dx?F(x)?c 故选项D正确．

⒊设F(x)是f(x)的一个原函数，则?xf(1?x2)dx?（ ）。

A. F(1?x2)?c； B. ?F(1?x2)?c；

C. ?12F(1?x2)?c； D. F(x)?c 解：由复合函数求导法则得

[?12F(1?x2)]???12f(1?x2)(1?x2)? ??1f(1?x2)(1?x22)??xf(1?x2)故选项C正确．

三、计算题

⒈计算下列积分：

⑴?x?x21?x2dx ⑵?1x2dx

解：⑴利用第一换元法

?x1?x2dx??121?x2d(x2)???121?x2d(1?x2)

???d(1?x2)?1?x2?c ⑵利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt

?1?x2x2dx??cost?costsin2tdt??1?sin2t1sin2tdt??(sin2t?1)dt

12

1?x2 ??cott?t?c??x?arcsxin?c

⒉计算下列积分：

⑴?arcsinxdx ⑵?lnxx2dx 解：⑴利用分部积分法

?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)?xarcsinx??x1?x2dx

?xarcsixn??121?x2d(1?x2)

?xarcsxin?1?x2?c ⑵利用分部积分法

?lnxx2dx??lnxd(?1lnx1x)??x??xd(lnx) ??lnxx??1lnx1x2dx??x?x?c

高等数学（1）第六章学习辅导

综合练习题

（一）单项选择题

（1）．下列式子中，正确的是（ ）。

A. ?22f(x)dx?0 B. f ( x ) dx ? ? b af ( x ) dx ?1C.

0x2dx??1?ab0xdx D.

?103x2dx??103t2dt (2). 下列式子中，正确的是（ ）

A. ???0costdt?????cosx B. ?? ? ?C. ??x??? 20costdt?/?x???cosx?x???0costdt????0 D. ?????0costdt???cosx (3) 下列广义积分收敛的是（ ）。

A ???0exdx .B.

???11xdx C.

?????0cosxdx D.

?11x2dx

(4)

若f(x)是[?a,a]上的连续偶函数，则 ?a?af(x)dx?()。

A.

?0?af(x)dx B． 0

C．2?0f(x)dx D．?a?a0f(x)dx

(5)

若f(x)与g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x?a,x?b所围图形的面积(

).

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A.

?bbaf(x)?g(x)dx B. ?a(f(x)?g(x))dx C. ?ba(g(x)?f(x))dx D.

?ba(f(x)?g(x))dx

答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。

解：（1）根据定积分定义及性质可知 A正确。 而

?abbf(x)dx???af(x)dx B不正确。

在（0，1）区间内 x2?x??1x2dx??100xdx? C 不正确。

根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。 故D不正确。

(2) 由变上限的定积分的概念知

?????x0costdt?????cosx,????0??xcostdt????cosx ∴A、C不正确。 由定积分定义知 B不正确。 D正确。 (3) ????0exdx??b0exdx?(eb?e0)??? ∴blim???blimA不正确。 ???

????1dx?blim?1b1x1xdx?limlnx?b?ln1)???∴B。不正确。

b???b???1blim(ln???

????b0cosxdx?blim?0cosxdx?lim(sinb?sin0)不存在∴。C。不正确。 ???b???

???x1dx?b12lim?11b2dx?lim(1_)?D b???1x?b???xblim(?1?1)?1???b

D正确

（4）由课本344页 （6—4—2）和345页（6—4—3）知C。正确。

（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 ∴ A正确。

（二） 填空题

(1)

?xlim0costdtx?0x?_________

(2) 设F(x)??1tx2edt,则F?(x)?____________. (3) 在区间?0,2??上，曲线y?sinx和x轴所围图形的面积为______________。

(4)

?204?x2dx?______________

(5) p?_________,无穷积分???1axpdx发散 (a＞0 p＞0 ) 答案：

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x解：（1）tdtlim?0cos?cosx?cos0x?0xlimx?01?1 （2） F(x)???x2et1dt,?F?(x)?(??x2etdt,)???ex2(x2)???2x21ex

（2） 所围图形的面积S=2??0sinxdx??2cosx?0??2?cos??cos0??4

（3） 由定积分的几何意义知: 定积分的值等于 （4） y= 4 ? x 2

所围图形的面积∴

?24?x2dx?104?22??

（5）

p≤1时 无穷积分发散。

（三） 计算下列定积分

(1）?402?xdx (2）

?10x(1?x)dx

（3）

?e1?lnx1xdx

（4） ? 1 x 2 1 ? x 2 dx

0? （5）

?20xsin2xdx

答案： (1）

?424102?xdx??0(2?x)dx??2(x?2)dx?(2x?x22?(142)02x2?2x)2?4

3(2）

?10x(1?x)dx?(2x2?1x21732)0?6 （3） ?e1?lnxdx??e(1?lnx)d(1?lnx)?12(1?lnx)e31x121?2 （4） ? 10 x 2 1 ? x 2 dx

解: 设x?sint (0?t??2)dx?costdt ??原式??221?21?1?cos4t1?20sintcostdt?

4?20sin2tdt?4?202dt?8(x02?14sin4t02)??16????2(5)

?2xsin2xdx??10xcos2x02?122?20cos2xdx??14?4sin2x??04

（四）定积分应用

求由曲线yx?1,及直线y?x,y?2所围平面图形的面积

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