2010届《高考风向标》（理科）数学 第十三章 概率

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第十三章 概率

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随机事件及其概率 事件与概率 随机事件的性质 基本事件 概率 古典概型 古典概型的定义及特征 古典概型的计算公式 随机数的含义 几何概型 几何概型的定义及特征 几何概型的计算公式 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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第1讲 随机事件及其概率

★ 知 识 梳 理 ★

12 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事

件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件动，这时就把这个常数叫做事件

A发生的频率

m总是接近某个常数，在它附近摆nA的概率，记作P(A)．

特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式P(A)=

m来进行计算 n3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0?可能事件看作随机事件的两个极端情形

P(A)?1，必然事件和不

5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P(A?B)?P(A)?P(B)

一般地：如果事件

A1,A2,?,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,?,An彼此互斥 P(A?B)的值时绝对不可以使用

特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算

P(A?B)?P(A)?P(B)这个公式 6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P(A?A)?1?P(A)?1?P(A) 7．互斥事件的概率的求法:如果事件

A1,A2,?,An彼此互斥，那么

P(A1?A2???An)＝P(A1)?P(A2)???P(An) 特别提醒：一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 1．互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 2．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;

3．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.

从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.

二． 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作

A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪A=U，

A∩

A=?.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.

三.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.

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★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。 2.难点：会用基本公式计算相关的概率问题. 3.重难点：.

(1) “有序”与“无序”混同.

问题1: 从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有

10×9×8×7个可能的结果。

设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有C3取3件），

13C3?C71P(A)??.

10?9?8?74813种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中?C7点拨：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。 正解：（1）都用排列方法

所有可能的结果共有

4113个，事件A包含A4?A3?A7个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中A10有一次抽到次品，有

1种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有A4113种取法） A4?A3?A7113A4?A3?A71 ?P(A)??42A10（2）都用组合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有C10个可能的结果，事件A含有C313C3?C71?P(A)??. 42C10413种结果。 ?C7（2）“互斥”与“对立”混同

问题2: 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球 金太阳新课标资源网

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C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球 错误答案（D）

点拨： 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同

要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立 所以正确答案应为（C）。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一：随机事件的概率 题型1.椭机事件的判断

[例1]（1）给出下列四个命题： ①“当x?R时，sinx?cos确的命题个数是：

A． 0 B 1 C 2 D 3

（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。” (3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。” （4）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，经过如下表： 投篮次数n 进球次数m 进球频率8 6 0.75 10 8 0.8 15 12 0.8 20 17 0.85 30 25 0.83 40 32 0.8 50 38 0.76 x?1”是必然事件；②“当x?R时，sinx?cosx?1”是不可能事件；③

“当x?R时，sinx?cosx?2”是随机事件；④“当x?R时，sinx?cosx?2”是必然事件；其中正

mn问：随着这位运动员投篮次数的无穷增加，他的进球的概率会是多少？ [解题思路]：正确理解概率的相关概念．

解析：（1）B；（2）否；（3）是；（4）0.8.

[例2] (四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知非空集合A、B满足A??B，给出以下四个

命题：

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 其中正确的个数是( ) A、1 B、2 答案：C

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②若x?A，则x∈B是不可能事件 ④若x?B，则x?A是必然事件 C、3

D、4

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[解题思路]：本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.

解析：①③④正确，②错误.

【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。

【新题导练】

1． (江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 频数 ，? ?100110，? ?110120，? ?120130，? ?130140，? ?140150，? ?901001 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．

答案：30

2．（2009年广东省广州市高三年级调研测试数学（文 科））

某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地 在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学 生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形 图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分) 的频率为0.05,此分数段的人数为5人. 0

(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?

(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为

频率0.400.350.300.250.200.150.100.05708090100110120130分数5?100人. ??4分 0.05∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d, 由4?22?6d=100,解得d?2.

∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. ??8分

(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.

题型2。求随机事件的概率

[例3] (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （2）求恰有2条线路没有被选择的概率.

[解题思路]：分别找出总事件和所求事件的个数，即可求出随机事件的概率。

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C521A2,那么事件A2的概率为： P(A2)?2????7分

C100495

51（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为C9种，则事件A3的概率为： ?C511C95?C519???14分 P(A3)??2C100198

21．（本题满分12分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，

甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率； ⑵、这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：⑴、设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5）,（2，4）（3，3）,（4，2）,（5，1），共5个． ??????????????????2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，?????????4分 所以P(A)?51?． ???????????????????????????5分 2551答：编号的和为6的概率为． ????????????????????????6分

5 ⑵、这种游戏规则不公平． ??????????????????????8分 设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ???????????????????9分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）． 所以甲胜的概率P（B）＝

131312，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝． ?????11分 252525由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ??????????????12分

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