北京市海淀区2014年高三二模数学理科试题 - 图文
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北京市海淀区2014年高三二模数学(理科)参考答案
2014.5
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.0?x?1{或(0,1)} 10.511.1 12.2 13.22 14.6,5050{本题第一空3分,第二空2分}
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15.解:
(Ⅰ)由正弦定理可得
ab ----------------------------2分 ?sinAsinB因为a?27sinA,b?21 所以sinB?bsinA21sinA3 ---------------------------5分 ??a227sinA在锐角?ABC中,B?60? ---------------------------7分 (Ⅱ)由余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB ----------------------------9分 又因为a?3c
所以21?9c2?c2?3c2,即c2?3-------------------------------11分 解得c?3 -------------------------------12分
b2?c2?a2?1经检验,由cosA???0可得A?90?,不符合题意,
2bc27所以c?3舍去.--------------------13分 16.解:
(Ⅰ)因为C1F//平面AEG
又C1F?平面ACC1A1,平面ACC1A1?平面AEG?AG,
GC1zA1B1F
xCEyBA
所以C1F//AG. ---------------------------------3分 因为F为AA1中点,且侧面ACC1A1为平行四边形
所以G为CC1中点,所以(Ⅱ)因为AA1?底面ABC,
所以AA1?AB,AA1?AC, ----------------------------------5分 又AB?AC,
如图,以A为原点建立空间直角坐标系A?xyz,设AB?2,则由AB?AC?AA1可得
CG1?.------------------------4分 CC12C(2,0,0),B(0,2,0),C1(2,0,2),A1(0,0,2)-----------------------------6分
因为E,G分别是BC,CC1的中点,
所以E(1,1,0),G(2,0,1). -----------------------------7分
????????EG?CA1?(1,?1,1)?(?2,0,2)?0.--------------------------------8分
????????所以EG?CA1,
所以EG?AC1. --------------------------------9分 (Ⅲ)设平面AEG的法向量n?(x,y,z),则
?????n?AE?0,?x?y?0,?即?--------------------------10分 ?????2x?z?0.??n?AG?0,?令x?1,则y??1,z??2,所以n?(1,?1,?2).--------------------------11分 由已知可得平面A1AG的法向量m?(0,1,0)-------------------------------11分 所以cos?n,m??n?m6--------------------------------13分 ??|n|?|m|6由题意知二面角A1?AG?E为钝角, 所以二面角A1?AG?E的余弦值为?16.解:
(Ⅰ)设A车在星期i出车的事件为Ai,B车在星期i出车的事件为Bi,i?1,2,3,4,5 由已知可得P(Ai)?0.6,P(Bi)?0.5
6.--------------------------------14分 6
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C,-------------------------------1分 因为A,B两车是否出车相互独立,且事件A1B1,A1B1互斥 ----------------2分
所以P(C)?P(A1B1?A1B1)?P(A1B1)?P(A1B1)?P(A1)P(B1)?P(A1)P(B1)
?0.6?(1?0.5)?(1?0.6)?0.5--------------------------4分
?0.5
所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分,有一个不扣分}
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分
P(X?0)?P(A1B1)P(A2)?0.4?0.5?0.4?0.08
P(X?1)?P(C)P(A2)?P(A1B1)P(A2)?0.5?0.4?0.4?0.5?0.6?0.32 P(X?2)?P(A1B1)P(A2)?P(C)P(A2)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.42
P(X?3)?P(A1B1)P(A2)?0.6?0.5?0.6?0.18----------------------------10分
所以X的的分布列为
0 X 0.08 P 1 0.32 2 0.42 3 0.18 --------------11分
E(X)?0?0.08?1?0.32?2?0.42?3?0.18?1.7-------------------------------13分
18.解: (Ⅰ)当a?ππ时,f(x)?(x?)sinx?cosx,x?(0,?)
22πf'(x)?(x?)cosx --------------------------------1分
2π由f'(x)?0得x? --------------------------------------2分
2f(x),f'(x)的情况如下
x x?π 2cosx f'(x) f(x) π(0,) 2π 20 0 0 π(,π) 2? ? ? ? ? ? ? ? --------------------------------------------------4分
因为f(0)?1,f(π)??1,
所以函数f(x)的值域为(?1,1). ---------------------------------------------------5分 (Ⅱ)f'(x)?(x?a)cosx,
①当
? -------------------------------------------------9分
所以函数f(x)的单调增区间为(,a),单调减区间为(0,)和(a,π) ②当a?π时,f(x),f'(x)的情况如下
π?a?π时,f(x),f'(x)的情况如下 2πππx (0,) (,a) 222? ? x?a ? cosx ? 0 ? f'(x) ? 0 f(x) ? ? π2a 0 0 (a,π) ? ? ? π2x x?a cosx f'(x) f(x) π(0,) 2? π 2 0 0 ? ? π(,π) 2? ? ? ? ? ------------------------------------------------13分
ππ所以函数f(x)的单调增区间为(,π),单调减区间为(0,).
2219.解:
x2y2?1(a?1).-------------------------------1分 (Ⅰ)由已知可设椭圆G的方程为:2?a1a2?1122?,-----------------------------------------------------2分 由e?,可得e?a222解得a2?2, ----------------------------------------------3分
x2y2?1. ------------------------------------------4分 所以椭圆的标准方程为?21(Ⅱ)法一:
设C(x0,y0),且x0?0,则D(?x0,y0). ----------------------------------------5分 因为A(0,1),B(0,?1), 所以直线AC的方程为y?y0?1x?1. ----------------------------------------6分 x0令y?0,得xM??x0?x0,0). ------------------------------------7分 ,所以M(y0?1y0?1y0?1?x0x?1,求得N(,0).-----------------------8分
y0?1?x0同理直线BD的方程为y?
?????????x0?x0AM?(,?1),AN?(,?1), -----------------------------------------9分
1?y01?y0??????????x02所以AM?AN??1, --------------------------------------10分
1?y02x2?y2?1上,所以x02?2(1?y02),-------------------11分 由C(x0,y0)在椭圆G:2?????????所以AM?AN??1?0, -----------------------------13分
所以?MAN?90?,
所以,以线段MN为直径的圆不过点A.------------------------------14分 法二:因为C,D关于y轴对称,且B在y轴上
所以?CBA??DBA. ------------------------------------------5分 因为N在x轴上,又A(0,1),B(0,?1)关于x轴对称
所以?NAB??NBA??CBA, ------------------------------------------6分 所以BC//AN, -------------------------------------------7分 所以?NAC?180???ACB, ------------------------------------------8分 设C(x0,y0),且x0?0,则x02?2(1?y02). ----------------------------------------9分
????????3因为CA?CB?(x0,y0?1)(x0,y0?1)?x02?(y02?1)?x02?0,----------------11分
2所以?ACB?90?, -----------------------------------12分 所以?NAC?90?, ----------------------------------13分 所以,以线段MN为直径的圆不过点A. -------------------------------14分 法三:设直线AC的方程为y?kx?1,则M(?,0), ---------------------------------5分
1k?x2?2y2?2?0,化简得到x2?2(kx?1)2?2?0, ??y?kx?1,所以(1?2k2)x2?4kx?0,所以x1?0,x2??4k, -----------------------------6分
2k2?1?4k?2k2?1?1?所以y2?kx2?1?k2,
2k?12k2?1?4k?2k2?1,), ----------------------------7分 所以C(22k?12k2?14k?2k2?1,).----------------------------8分 因为C,D关于y轴对称,所以D(22k?12k2?1
?2k2?1?1212k?1所以直线BD的方程为y?x?1,即y?x?1.------------------10分 4k2k22k?1令y?0,得到x?2k,所以N(2k,0). --------------------11分 ?????????1AM?AN?(?,?1)?(2k,?1)??1?0, ----------------------12分
k所以?MAN?90?, ----------------------------------13分 所以,以线段MN为直径的圆恒过(0,2)和(0,?2)两点.--------------------------14分
????????{法4 :转化为文科题做,考查向量AC?AN的取值}
20.解:
(Ⅰ)d1?10,d2?7,d2014?2---------------------------3分 (Ⅱ)法一:
①当d?2时,则(a,b,c)?(a,a?1,a?2)
所以f1(a,a?1,a?2)?(a?1,a?2,a),d1?a?2?a?2,
由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数a?2变为最小数a,最小数a和次 小数a?1分别变为次小数a?1和最大数a?2,所以数组的极差不会改变. 所以,当d?2时,dn?d(n?1,2,3,?)恒成立. ②当d?3时,则f1(a,b,c)?(a?1,b?1,c?2)
所以d1?b?1?(a?1)?b?a?c?a?d或d1?c?2?(a?1)?d?3 所以总有d1?d.
综上讨论,满足dn?d(n?1,2,3,?)的d的取值仅能是2.---------------------8分 法二:
因为a?b?c,所以数组(a,b,c)的极差d?c?a?2
所以f1(a,b,c)?(a?1,b?1,c?2),
若c?2为最大数,则d1?c?2?(a?1)?c?a?3?d 若b?1?c?2?a?1,则d1?(b?1)?(a?1)?b?a?c?a?d 若b?1?a?1?c?2,则d1?(b?1)?(c?2)?b?c?3, 当b?c?3?d时,可得b?c?3?2,即b?1?c 由b?c可得b?1?c 所以b?1?c
将c?b?1代入b?c?3?c?a得b?a?1
所以当(a,b,c)?(a,a?1,a?2)时,dn?2(n?1,2,3,?)
由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数a?2变为最小数a,最小数a和次小 数a?1分别变为次小数a?1和最大数a?2,所以数组的极差不会改变. 所以满足dn?d(n?1,2,3,?)的d的取值仅能是2. ---------------------8分 (Ⅲ)因为a,b,c是以4为公比的正整数等比数列的三项,
所以a,b,c是形如m?4k(其中m?N*)的数,
1k?1k?1又因为4k?(3?1)k?3k?Ck3???Ck3?1
所以a,b,c中每两个数的差都是3的倍数.
所以(a,b,c)的极差d0是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1:设fi(a,b,c)?(ai,bi,ci),不妨设a?b?c,
依据操作f的规则,当在三元数组fi(a,b,c)(i?1,2,3,?,x,x?N)中,总满足ci是唯一最大数,ai是最小数时,一定有a?x?b?x?c?2x,解得x?所以,当i?2,3,?,c?b. 3c?b?1时,di?ci?ai?(ci?1?2)?(ai?1?1)?di?1?3. 3fc?b(a,b,c)?(33a?c?bc?2bc?2b,,),dc?b?b?a 3333c?bc?bc?b,?1,?,?y,y?N)3333a?c?bc?2b中,总满足ci?bi是最大数,ai是最小数时,一定有?2y??y,解得
33b?a. y?3c?bc?bc?a所以,当i?,?1,?,?1时,di?ci?ai?(ci?1?1)?(ai?1?2)?di?1?3.
333依据操作f的规则,当在三元数组fi(a,b,c)(i?fc?a(a,b,c)?(3a?b?ca?b?ca?b?c,,),dc?a?0 3333所以存在n?c?a,满足fn(a,b,c)的极差dn?0.--------------------------------13分 3法2:设fi(a,b,c)?(ai,bi,ci),则
①当(ai,bi,ci)中有唯一最大数时,不妨设ai?bi?ci,则
ai?1?ai?1,bi?1?bi?1,ci?1?ci?2,
所以bi?1?ai?1?bi?ai,ci?1?ai?1?ci?ai?3,ci?1?bi?1?ci?bi?3
所以,若bi?ai,ci?ai,ci?bi是3的倍数,则bi?1?ai?1,ci?1?ai?1,ci?1?bi?1是3的倍数. 所以bi?3?ci,则di?3,ci?1?bi?1?ci?bi?3?0, 所以ai?1?bi?1?ci?1
所以di?1?ci?1?ai?1?ci?ai?3?di?3-------------------------------------------11分 ②当(ai,bi,ci)中的最大数有两个时,不妨设ai?bi?ci,则
ai?1?ai?2,bi?1?bi?1,ci?1?ci?1,
所以bi?1?ai?1?bi?ai?3,ci?1?ai?1?ci?ai?3,ci?1?bi?1?ci?bi,
所以,若bi?ai,ci?ai,ci?bi是3的倍数,则bi?1?ai?1,ci?1?ai?1,ci?1?bi?1是3的倍数. 所以ai?3?bi,则di?3,bi?1?ai?1?bi?ai?3?0 所以di?1?bi?1?ai?1?bi?ai?3?di?3.
所以当di?3时,数列{di}是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当di?3时,由上述分析可得di?1?0,此时ai?1?bi?1?ci?1?所以存在n?a?b?c 3d,满足fn(a,b,c)的极差dn?0.----------------------------------13分 3
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