第二章线性系统的状态空间描述1

第二章 线性系统的状态空间描述

§2-1 状态空间的基本概念

1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。

（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。

（如果用最少的n个变量x1(t)， x2(t)，……， xn(t)就能完全描述系统的状态，那么这n个变量就是一组状态变量。）

3、状态向量：设一个系统有n个状态变量，即x1(t)，x2(t)，??，xn(t)，用这n个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。记为

x(t)?[x1(t),x2(t),?,xn(t)]T4、状态空间：由n个

状态变量作为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。 引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。

图2-1 动力学系统结构示意图

与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。

5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。

例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x1(t)，x2(t)，??，xn(t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：

上式可写成向量—矩阵形式：

x?(t)?Ax(t)?bu(t)或 其中：

x??Ax?bu输入矩阵或控制矩阵，表示输入对状态的作用。 ???x1?a11a12?a1n??x1????a??x????x2a?a21222n2?x???A??x?????x1(t)?a11x?)?a12(tx2?(t?)??(t)???a1n?)xn(?t)?b1u(t?)?1(?t???????aa?ax?(t)?a21x?1?)?a22(x2((2t)?b2unn(t?)nt1)xnn?n(?t)nx?2(t)???a2?t?xn??b1????b2?b?????????bn?????(t)?an1x1(t)?an2(t)x2(t)???ann(t)xn(t)?bnu(t)xn

6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。例：单输出线性定常系统 系统矩阵，表示系内部状态的联系。

2-1

y(t)?c1x1(t)?c2x2(t)????cnxn(t)?du(t)

其向量—矩阵形式为：

y(t)?cx(t)?du(t)

7、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。 例：SISO系统状态空间表达式：

?x??Ax?bu ?

y?cx?du?MIMO系统状态空间表达式：

?x??Ax?Bu ?

y?Cx?Du?注意：由于A、B、C、D矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个确定的系统简称为系统(A,B,C,D)。 系统矩阵A：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。 输入矩阵（或控制矩阵）B：表示输入对每个状态变量的作用情况。 输出矩阵C：表

示输出与每个状态变量之间的组成关系。

前馈矩阵D：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情况D=0。8、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。

?x??Ax?Bu状态空间表达式：?的结构图如下：

y?Cx?Du?

图2－2 系统动态方程的方块图结构

2-2 线性系统状态空间表达式的建立

线性系统状态空间表达式的一般形式：

?x??Ax?Bu 连续系统：用线性微分方程来描述 ?

y?Cx?Du??x(k?1)?Gx(k)?Hu(k) 离散系统：用差分方程来描述?

?Y(k)?Cx(k)?Du(k)

2-2

一、状态空间表达式的模拟结构图

在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三种基本符号：

（1）积分器

x?xx?xxx?1x?x或 或 或

s

（2）加法器

x1x3?x1?x2

?

? x2

kxx （3）比例器

k

【例2.2.1】已知系统动态方程如下，试画出系统结构图。

??x2?x1?x??x3 ?2

?x???6x?3x?2x?u123?3

y?x1?x2

?x??Ax?bu解：写成向量—矩阵形式?

y?cx?10??0?0???， b??0?， c??110?

01 其中：A?0????????6?3?2???1?? 系统结构图（或状态变量图）如下：

二、状态空间表达式的的建立

立?1、由控制系统结构图建?定律建立?2、由实际系统通过物理四种方法?

3、由微分方程建立??、由传递函数建立?4系统结构图（用基本单元来模拟动态方程）

2-3

1、 由控制系统的结构图求系统动态方程

系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。要将系统结构图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：

第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法器组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。

第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。

第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从结构图写出系统的输出方程。

【例2.2.2】某控制系统的结构图如图2－3（a）所示，试求出其动态方程。

（a）

（b）

图2-3 控制系统结

解：

该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示。我们取每个积分器的输出端信号为状态变量x1和x2，积分器

?和x2?。从图可得系统状态方程： 的输入端即x1

2-4

取y为系统输出，输出方程为：

写成矢量形式，我们得到系统动态方程：

【例2.2.3】 求如图所示系统的动态方程。

（a）系统方块图

（b）第一次等效变换

（c）由标准积分器组成的等效方块图

2-5

解：图(a)第一个环节

s?11)，即分解为两个通道，如图(b)左侧可以分解为(1?s?2s?2点划线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图(b)右侧双点划

线所框部分。进一步，我们可以得到图(c)所示的由标准积分器组成的等效结构图。依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量x1,x2,x3,x4，由图(c)可得系统状态方程：

???8x1?x2?x1?x???64x?x?213? ?x??3x?x?x?u??x?3x?x?u3341134?????2x4?x1?u??x1?2x4?u?x4由图可知，系统输出y?x1 写成矢量形式，得到系统动态方程：

???8???64??x?????1?????1???y??10100000??0??0?10??x???u?1? ?3?1????0?2??1?0?x0

2、根据物理定律建立实际系统的动态方程

一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。

【例2.2.4】RLC电路如图所示. 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为uc(t)。建立系统的动态方程。

L u(t) i R C uc(t)

2-6

解：

该RLC电路有两个独立的储能元件L和C，设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程： Ldi(t)1??i(t)dt?R.i(t)?u(t) dtC1 uc(t)??i(t)dt

C（1）我们可以取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t)作为系统的两个状态变量，分别记作x1?i和x2?uc。

R11?dx1??L?x?Rx?ux??x?x?u2112?dt?1LLL 整理有??dx11?2?x1?x2??x1C??dtCy?x2

写成向量矩阵形式为：

?1??R???1???x1???Lx???1L??L?u?????1?????????x2?x2??0?0?? ??C???y??01??x1??x???2??（2）设状态变量x1?i，x2?idt

??dx11R11??Ldt?Cx2?Rx1?u???x1??x1x2?u 整理有??dxLLCL

??x1??2?x1?x2?dt1y?uc?x2

C写成向量矩阵形式为：

?x?1??x??1??R????11??????L?uLLC???????1??x2??x2??0?0?? ????1??x1??y?0??C??x????2??

2-7

11idt?Rix?idt?uc ，2C?C?di(t)11??i(t)dt?R.i(t)?u(t)， uc(t)??i(t)dt LdtCC（3）设状态变量x1?1111??1x?i??(x?x)?x?x2121?2CCRRCRC?di111???x?2?R?x1?x2?R?(u?uc?Ri)整理有：?x1

dtRCRCL?11R1R1R??x?x?(u?x)?(?)x?x?u12112?RCRCLRCLRCL?y?x2

写成向量矩阵形式为：

?R?1???x1???RCL?????1?????x2??RC??y??01??x1??x???2??1??R?x???1RC??L?u?1?????x2????0?

RC??

注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，并且各状态空间表达式之间存在着某种线性关系。

3、由系统的微分方程建立状态空间表达式

从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为“实现问题”。关于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。

注意：实现是非唯一的。

（1）输入量中不含导数项

SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为：

第一步：选择状态变量（选择n个状态变量x1,x2,??,xn），令：

2-8

x1?yx2?y? x3?y???xn?y(n?1)第二步：化高阶微分方程为x1,x2,??,xn的一阶微分方程组。

??x2?x1?x??x23???? ?x??xn?n?1???a0x1?a1x2????an?1xn??0u??xn

y?x1

?x??Ax?bu第三步：将方程组表示为向量—矩阵形式：?

y?cx?

?0?0?其中：A?????0???a0

10?0?a101?0?a20??0???? b???1???an?1????0??0?????? c??100?0? ???0????0??注 意：矩阵A为友矩阵。友矩阵的特点：主对角线上方元素为1，最后一行的元素可以任意取，而其余的元素均为零。

系统结构图

【例2.2.5】已知y????6y???41y??7y?6u，试列写动态方程。

2-9

解：选状态变量 x1?y，x2?y?，x3?y??

?x1??x2状态方程：??x??x?23 ?x?3??7x1?41x2?6x3?6u输出方程：y?x1 状态空间表达式为：??x??Ax?bu?cx

?y?010? 其中：A???001??0?， b??0?， c??100?

?41?6?????7?????6??

【例2.2.6】已知系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式。

解：G(s)?Y(s)2U(s)?s2?s?2 故微分方程为：y???y??2y?2u 选状态变量 x1?y，x2?y?

状态方程：??x1??x2?x?2??2x1?x

2?2u输出方程：y?x1

2-10

?x??Ax?bu状态空间表达式为：??y?cx

其中：A???01??0??2?1??，b????2??, c??10?

（2）输入量中含导数项 SISO线性定常连续系统的一般形式：

y(n)?an?1y(n?1)???a1y??a0y?bnu(n)?bn?1u(n?i)???b1u??b0u取

??x1?y?h0u?xh (i?2i?x?,3,?,n)

i?1?i?1u?x??Ax?bu 状态空间表达式为：??y?cx?du

??010?0??001?0??h1?A????h?2其中：???????， b????000?1?????? ?????a0?a1?a2??an?1?????hn??c??100?0?， d?h0?bn

这里h1,h2,??,hn可用待定系数法确定，即：

2-11

??h0?bn?h1?bn?1?an?1h0???h2?bn?2?an?1h1?an?2h0?h3?bn?3?an?1h2?an?2h1?a n?3h0??h4?bn?4?an?1h3?an?2h2?an?3h1?an?4h0??? 注 意：这种方法不适用。

可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。

4、由传递函数建立状态空间表达式 SISO系统传递函数为：

G(s)?Y(s)bnsn?bn?1sn?1???b1su(s)??b0sn?a

n?1sn?1???a1s?a0应用综合除法有：

G(s)?b?s??n?n?1sn?1????10sn?a?bN(s)n?n?1sn?1???a1s?a0D(s) 上式中的bn就是y?cx?du中的d，即d?bn。

SISO系统结构图

（1）N(s)直接实现的情况

D(s)

其中：

将N(s)分解为两部分串联，z为中间变量，z,y应满足：

D(s)

2-12

选取状态变量：x1?z，x2?z?，x3?z??，??，x)n?z(n?1

???x1?x2??x?2?x3????x? n?1?xn??x?n??a0z?a1z?????a(n?1)n?1z?u??a0x1?a1x2????an?1xn?u

输出方程为：

y??n?1z(n?1)????1z???0z??0x1????n?2xn?1??n?1xn??x??Ax?bu向量—矩阵形式的状态空间表达式为：?y?cx

其中：

??010?0??001?0?A?????0??0???????? b???? c???0?1?2??n?1?

?000?1?????0???a0?a1?a2??an?1?????1??

上述状态空间表达式称为可控标准型。 当G(s)?bN(s)n?D(s)时，A,b不变，唯y?cx?bnu变化。

2-13

1?n?2?n??2?1?0?

u?x?x0n1n1xn??1x31x21x1ssss?an?1?an?2?a2?a1?a0?N(s)D(s)串联分解的状态变量图（可控标准型）另外，N(s)?n?1sn?1?D(s)????1s??0sn?an?1?a还可以选另一组状态变量。设 n?1s??1s?a0?xn?y ??xi?x

i?1?aiy??iu经整理有如下状态方程：

???xn?xn?1?an?1xn??n?1u?x?n?1?xn?2?an?2xn??n?2u??? ??x3??x2?an?1xn??2u

??x2??x1?a1xn??1u??x1???a0xn??0u输出方程为：

y?xn

??x??Ax?bu向量—矩阵性为?y?cx?du

y2-14

1?2?n?1?n??0?1?A?????0??0

0?0?a0???0????0?0?a1???1?????b???? c??000?1? ? ??0?0?an?2???n?2??0?1?an?1????n?1??上述状态空间表达式称为可观测标准型。

可观测标准型和可控标准型动态方程的各矩阵存在如下关系：

TTTAc?Ao， bc?co， cc?bo

u?0x1?1sx1?x21sx2??xn?2??11xn?1xns?1xnxnsy?a0?a1?an?2?an?1N(s)串联分解对偶的状态变量图（可观测标准型） D(s)s2?8s?15【例2.2.7】已知系统传递函数为G(s)?3，试求状态空间表达式。

s?7s2?14s?8解：采用传递函数直接实现法：

Y(s)?s2?8s?15 整理有：Z(s)

y?z???8z??15z

Z(s)1???7z???14z??8z?3 整理有：z?2U(s)s?7s?14s?8?u

令：x1?z，x2?z?，x3?z??

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