大学物理学-习题解答-习题10

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可编辑 第十章

10-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为B ＝μ0I 2πa ，当场点无限接近于导线时(即a →0)，磁感应强度B →∞，这个结论正确吗？如何解释？

答：结论不正确。公式a

I B πμ20=只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a →0， 导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。

10-2 如图所示，过一个圆形电流I 附近的P 点，作一个同心共面圆形环路L ，由于电流分布的轴对称，L 上各点的B 大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B ·d l ＝0，是否可由此得出结论，L 上各点的B 均为零？为什么？

答：L 上各点的B 不为零.

由安培环路定理 ∑?=?i

i I l d B 0μρρ

得 0=??l d B ρρ，说明圆形环路L 内的电流代数和为零，并不是说圆形环路L 上B 一定为零。

10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B ?的大小是否相等?

(2)在闭合曲线c 上各点的B ?是否为零?为什么?

解： ?μ=?a

l B 08d ?? ?μ=?ba l B 08d ??

?=?c l B 0d ??

(1)在各条闭合曲线上，各点B ?的大小不相等．

(2)在闭合曲线C 上各点B ?不为零．只是B ?的环路积分为零而非每点0=B ?．

习题10-2图

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可编辑

题10-3图

10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？

答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反

向的。 B l Id F d ρρρ?= 20?4r r l Id B d ?=??πμ 2212122110221212

201112)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=?ρ?ρρπμπμ 2121211220212121

102212)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=?ρ?ρρπμπμ ))?()?((4212121221212212102112r r l d l d r r l d l d I I F d F d ??+??-=+?ρ?ρρρπμ 212211221021211222

1212102112)(?4))?()?((4r l d l d r I I r l d r l d l d r l d I I F d F d ?ρ?ρ?ρρρ??=?-?=+πμπμ 一般情况下 02112≠+F d F d ρρ

由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。

10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛

在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直

流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？

怎样解释？

答：弹簧会作机械振动。

当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端

会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。

10-6 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强

度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max .

习题10-4图 r 12 r 21 习题10-5图 习题10-6图 y

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可编辑 解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P 点产生的磁感强度的大小为： r I B π=201μ2/1220)(12x d I +?π=μ 2导线在P 点产生的磁感强度的大小为：

r I B π=202μ2/1220)(12x d I +?π=μ 1B ?、2B ?的方向如图所示． P 点总场

θθcos cos 2121B B B B B x x x +=+= 021=+=y y y B B B )()(220x d Id

x B +π=μ，i x d Id

x B ??)()(220+π=μ (2) 当 0d )(d =x

x B ，0d )(d 22=

10-7 如图所示被折成钝角的长直载流导线中，通有电流I ＝20 A ，θ＝120°，a ＝2.0 mm ，求A 点的磁感应强度.

解：载流直导线的磁场

)sin (sin 4120ββπμ-=d I B A 点的磁感应强度

)))90sin(90(sin sin 40000θθπμ--+=a I B )5.01(2

/3100.2201037+???=--B =1.7310-3T 方向垂直纸面向外。

10-8 一根无限长直导线弯成如图所示形状，通以电流I ，求O 点的磁感应强度. 解：图所示形状，为圆弧电流和两半无限长直载流导线的磁场叠加。

圆电流的中心的 π

?μ220R I B = 半无限长直载流导线的磁场 a

I B πμ40= 8320R I B μ=+R I πμ20＝)38(160ππμ+=R

I B 方向垂直纸面向外。

10-9 如图所示，宽度为a 的薄长金属板中通有电流I ，电流沿薄板宽度方向均匀分布.求在薄板所在平面内距板的边缘为x 的P 点处的磁感应强度.

习题10-7图 d 习题10-8图 P r B 1 B 2 y 1 2 o x d d θ

θ

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可编辑 解：取离P 点为y 宽度为d y 的无限长载流细条

y a I i d d = 长载流细条在P 点产生的磁感应强度

y i B π=2d d 0μy

y I πα=2d 0μ 所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都相同，方向垂直纸面向外. 所以

==?B B d y dy I x a x ?+πα20μx

x a a I +π=ln 20μ 方向垂直纸面向外.

10-10 如图所示，半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷，面密度为＋σ，当这圆盘以角速度ω绕中心垂轴旋转时，求轴线上距圆盘中心O 为x 处的P 点的磁感应强度.

解：在圆盘上取一半径为r ，宽度为d r 的环带，此环

带所带电荷

r r q d 2d π?=σ．

此环带转动相当于一圆电流，其电流大小为

π=2/d d q I ω 它在x 处产生的磁感强度为

2/32220)(2d d x r I r B +=μr x r r d )

(22/32230+?=σωμ 故P 点处总的磁感强度大小为： ?+=R

r x r r B 0

2/3223

0d )(2σωμ)2)(2(22/122220x x R x R -++=σωμ 方向沿x 轴方向.

10-11 半径为R 的均匀带电细圆环，单位长度上所带电量为λ，以每秒n 转绕通过环心，并与环面垂直的转轴匀速转动.求：(1)轴上任一点处的磁感应强度值；(2)圆环的磁矩值. 解：(1) n R I λπ2=

2/3223

0)(y R nR B B y +==λπμ B ?的方向为y 轴正向

(2) j R n j I R p m ρρρ3222πλπ==

y O R ω

习题10-10图 习题10-9图 y

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可编辑 10-12 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m -2的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如题10-12图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量．

解： 如题10-12图所示

题10-12图

(1)通过abcd 面积1S 的磁通是

24.04.03.00.211=??=?=S B ?

?ΦWb

(2)通过befc 面积2S 的磁通量

022=?=S B ??Φ (3)通过aefd 面积3S 的磁通量

24.0545.03.02cos 5.03.0233=???=θ???=?=S B ??ΦWb (或曰24.0-Wb )

10-13 两平行长直导线，相距0.4 m ，每根导线载有电流I 1＝I 2＝20 A ，如图所示，试计算通过图中斜线部分面积的磁通量.

解：如图取面微元 l d x=0.20dx Bldx S d B d m =?=Φρρ

)(222010x d I x I B -+=πμπμ 方向垂直纸面向外.

ldx x d I x I d m m ??-+=Φ=Φ30.010.02010))(22(πμπμ 30

.040.010.040.0ln 210.030.0ln 22010--+=πμπμl I l I =2.2610-6Wb

10-14长直同轴电缆由一根圆柱形导线外套同轴圆筒形导体组成，尺寸如图所示.电缆中的电流从中心导线流出，由外面导体圆筒流回.设电流均匀分布，内圆柱与外圆筒之间可作真空处理，求磁感应强度的分布.

习题10-13图 x dx d

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可编辑 解：

?∑μ=?L I l B 0d ??

(1)a r < 2202R Ir r B μπ= 202R

Ir B πμ= (2) b r a << I r B 02μπ=

r

I B πμ20= (3)c r b << I b

c b r I r B 0222

202μμπ+---= )

(2)(22220b c r r c I B --=πμ (4)c r > 02=r B π

0=B

题10-14图 习题10-15图

10-15 如图所示，一截面为长方形的闭合绕线环，通有电流I ＝1.7 A ，总匝数N ＝1000 匝，外直径与内直径之比为η＝1.6，高h ＝5.0 cm.求：(1)绕线环内的磁感应强度分布；(2)通过截面的磁通量.

解：(1) 环内取一同心积分回路

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可编辑 NI rB Bdl l d B 02μπ===???ρρ

r NI B πμ20=

方向为右螺旋

(2) 取面微元 h dr Bhdr S d B d m =?=Φρρ 通过截面的磁通量. ??=?=Φ2120R R m hdr r

NI S d B πμ?ρ ηπ

μπμln 2ln 20120NIh R R NIh m ==Φ=8.010-6Wb

10-16 一根m ＝1.0 kg 的铜棒静止在两根相距为l ＝1.0 m 的水平导轨上，棒载有电流I ＝50 A ，如图所示.(1)如果导轨光滑，均匀磁场的磁感应强度B 垂直回路平面向上，且B ＝0.5 T ，欲保持其静止，须加怎样的力(大小与方向)？(2)如果导轨与铜棒间静摩擦系数0.6，求能使棒滑动的最小磁感应强度B .

解：(1) 导线ab 中流过电流I ，受安培力 IlB F =1

方向水平向右,如图所示 欲保持导线静止，则必须加力2F ?， 12F F = 2F ?方向与1F ?相反，即水平向左，

5.0102012??===IlB F F =25N (2) F 1-mg=m a

F 1-mg 0

Il mg B μ==0

.1508.90.16.0???0.12T

10-17 如题10-17图所示，在长直导线AB 内通以电流1I =20A ，在矩形线圈CDEF 中通有电流2I =10 A ，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都与AB 平行．已知a =9.0cm,b =20.0cm,d =1.0 cm ，求：

(1)导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力；

(2)矩形线圈所受合力和合力矩．

解：(1)CD F ?方向垂直CD 向左，大小

4102100.82-?==d

I b I F CD πμ N 习题10-16图 a b I l F 2 F 1

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可编辑 同理FE F ?方向垂直FE 向右，大小

5102100.8)(2-?=+=a d I b

I F FE πμ N

CF F ?方向垂直CF 向上，大小为 ?+-?=+πμ=πμ=a

d d

CF d

a d I I r r I I F 5210210102.9ln 2d 2 N ED F ?方向垂直ED 向下，大小为 5102.9-?==CF ED F F N

(2)合力ED CF FE CD F F F F F ?????+++=方向向左，大小为

4102.7-?=F N

合力矩B P M m ????=

∵ 线圈与导线共面

∴ B P m ??//

0=M ?．

题10-17图

题10-18图

10-18 边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度B =1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题10-18图所示，使线圈通以电流I =10A ，求：

(1) 线圈每边所受的安培力；

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可编辑 (2) 对O O '轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

解： (1) 0=?=B l I F bc ???

B l I F ab ????= 方向⊥纸面向外，大小为

866.0120sin ==?IlB F ab N

B l I F ca ????=方向⊥纸面向里，大小

866.0120sin ==?IlB F ca N

(2)IS P m =

B P M m ????= 沿O O '方向，大小为

22

1033.44

3-?===B l I ISB M m N ? (3)磁力功 )(12ΦΦ-=I A

∵ 01=Φ B l 2243=

Φ ∴ 221033.443-?==B l I A J

10-19 横截面积S ＝2.0 mm 2的铜线，密度ρ＝8.9×103 kg·m －3，弯成正方形的三边，可以绕水平轴OO ′转动，如图所示.均匀磁场方向向上，当导线中通有电流I ＝10 A ，导线AD 段和BC 段与竖直方向的夹角θ＝15°时处于平衡状态，求磁感应强度B 的量值.

解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框

所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)．

设正方形的边长为a , 则重力矩

θρθρsin sin 2

121gSa a a gS a M +?= θρsin 22g Sa =

磁力矩 θθcos )2

1sin(222B Ia BIa M =-π= 平衡时 21M M =

所以 θρsin 22g Sa θcos 2B Ia =

习题10-19图

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可编辑 31035.9/tg 2-?≈=I g S B θρ T

10-20 塑料圆环盘，内外半径分别为a 和R ，如图所示.均匀带电＋q ，令此盘以ω绕过环心O 处的垂直轴匀角速转动.求：(1)环心O 处的磁感应强度B ；(2)若施加一均匀外磁场，其磁感应强度B 平行于环盘平面，计算圆环受到的磁力矩. 解：(1) 取一r →r r d +圆环，

环上电荷 r r q d 2d π=σ

环电流 r r I d d ωσ=

圆环电流的中心的 r dI dB 20μ= dr dB 20σωμ=

dr B R a 20σωμ?=)()(2220a R a R q --=πωμ)

(20a R q +=πωμ (2) 圆环r →r r d +磁矩大小为

I r p m d d 2π=r r r d 2σωπ=

r B r M R a d 3σωπ=?)(22a R B q +4

1=ω

10-21 一电子具有速度 v ＝(2.0×106i ＋3.0×106j ) m·s －1，进入磁场B ＝(0.03i －0.15j ) T 中，求作用在电子上的洛伦兹力. 解：)(B q F ρρρ?=υ 610)15.003.0()0.30.2(?-?+=j i j i q F ρρρρρ N k j k k F ρρρρ-1413106.0810)09.030.0(6.1?-=?--?=-

10-22 一质子以v ＝(2.0×105i ＋3.0×105j ) m·s －1的速度射入磁感应强度B ＝0.08i T 的均匀磁场中，求这质子作螺线运动的半径和螺距(质子质量m p ＝1.67×10－27 kg).

解：半径:qB

m R ⊥=υ 08.0106.1100.31067.119527?????=--=3.9110-2m

qB m v R T ππ22==⊥ 螺距:qB

m v T v h π2////?== 08.0106.11067.114.32100.219275???????=--=0.164m

习题10-20图

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