专题讲座学生的原有知识结构与初中数学教学

专题讲座

学生的原有知识结构与初中数学教学

嵇文红 北京市芳星园中学

一、学生的原有知识结构在初中数学教学中的地位与作用

什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。

初中数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的原有知识结构，教师只有及时准确地掌握了解学生的原有知识结构，才能进一步了解学生的思维水平，只有考虑清楚新旧知识的联系，以及学习新知识时学生原有基础知识是否够用，过渡性的目标与支持性的条件是什么等等，才能明确选择用什么样的教学方法来完成初中数学教学任务。

初中数学知识以小学数学知识为基础，是小学数学知识的扩展和发展，同时也是进一步学习高中数学知识的基础，可以说 初中数学教学起着承上启下的重要作用 。与小学数学相比，初中数学的知识更加强调了学生对数学概念的认识和理解，强调了学生对知识的灵活应用能力以及逻辑思维能力等。

学生从小学进入初中，普遍感觉到数学课的进度快、难度大、要求高。由于学生心理发展的连续性、小学学习习惯的滞留性与初中数学内容日益的抽象性，使得一部分学生进入初中后数学成绩明显下降，经常有家长抱怨：我的孩子在小学时数学很好，怎么上了初中数学就变差了？这是一个非常普遍的现象，它反映了中小学的数学教材在知识结构上发生了较大的变化，所以作为初中数学教师要深入研究、正确认识并把握：学生的原有知识结构与初中数学教学的关系，从而使中小学的数学教学具有连续性和统一性。

二、下面我们谈一谈在 “ 空间与图形 ” 这一领域如何 正确认识并把握学生的原有知识结构与初中数学教学的关系

㈠ 认真分析《数学课程标准》的目标内容结构是 正确认识学生的原有知识结构与初中数学教学的关系的基础 。

从 《课程标准》中 “ 空间与图形 ” 这个领域的内容结构中，我们会发现无论是小学还是初中，《课程标准》都把 “ 空间与图形 ” 这个领域分成了四个方面，小学是图形的认识、图形与变换、图形与位置、测量这四个方面，初中有三个方面跟小学是一致的，也是图形的认识、图形与变换、图形与坐标，小学的图形与位置到初中就明确地提出图形与坐标。另外初中跟小学相比有一个不同的地方，它提到了图形与证明。

从《课程标准》中的内容结构上还会发现，在 “ 空间与图形 ” 领域，小学和初中第一个共同点就是从过去比较单一的强调图形的计算和证明，向现在的从多角度刻划图形发展。因为几何就是在刻划图形，刻划一个三角形、一个正方形，那么我们可以从多种角度来刻划，比如说这个图形有哪些性质；这个图形的大小；这个图形在空间中的位置以及图形之间的位置关系；这个图形经过平移旋转反射变换后的情况等等，所以我觉得从多角度能更全面的帮助我们来刻划图形。小学和初中第二个共同点就是强调几个关键词：空间观念、几何直观、推理能力。合情推理就是通过操作、通过归纳类比来猜想一个结论，那么演绎推理就是要来证明这个结论。在小学和初中虽然都强调空间观念、几何直观、推理能力这三点，但稍有不同就是：在初中，我们要开始严格的证明了，而小学它没有严格意义上的演绎推理，只要能够通过操作确认这个结论就可以了。可见在 “ 空间与图形 ” 领域，小学和初中从整体内容结构中虽然有差异，但是也有共同的地方。

㈡ 熟练掌握小学和初中在数学知识上的衔接点，准确把握 学生的原有知识结构

要想正确认识并把握学生的原有知识结构与初中数学教学的关系， 教师必须明确学生们在小学学过哪些图形，学习了哪些知识，那么到初中还要学习哪些知识，只有教师熟练掌握小学和初中在数学知识上的衔接点，才能在 学生的原有知识结构的基础上，有针对性的搞好初中数学教学 。

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平面图形知识的衔接点

实际上对于平面图形来说，小学和初中在认识基本图形上，都是那几个图形，都要认识线、角、三角形、四边形、圆等等，只是知识点有所不同。

我们在小学阶段对于线的学习，只要学生能够区分一下直线、射线、线段就可以了，同时了解一下两点确定一条直线和两条相交直线确定一点这两个事实；在中学，这两个事实要作为证明的非常重要的一个出发点。

对于角的学习，小学阶段要认识一些角，知道角是怎么一回事，然后要认识一些角的分类，比如锐角、钝角、直角、周角、平角等等；在中学，除了要进一步认识角以外还要深入学习如角平分线、角平分线的性质等等。

那么对于线和角你会发现，在小学和初中的变化并不是太大的，但是初中数学教学必须在小学初步认识的基础上要强调一种符号性的表达，比如说对于直线可以用 AB 来表示，也可以用 l 来表示等等，对于角除了用 ∠ 1 表示，中学可以用 ∠ α 或者是 ∠ AOB 这样的三个字母来表示，就是要进一步把它用几何语言把它表达出来。

对于平行和相交的学习，在小学只停留在直观认识，到了初中我们要对平行给一个比较明确的定义，另外要了解非常重要的平行公理，包括平行线的性质和判定，因为这些将是我们后来进行证明的一些基础。

对于三角形的学习，在小学要认识三角形，有等腰三角形、等边三角形，可以分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，要通过动手操作了解两边之和大于第三边，了解三角形的内角和等于 180 度，在小学阶段学生已经知道关于三角形的两个关于边和角的非常重要的一个事实；到了初中，要证明三角形内角和等于 180 度和证明两边之和大于第三边等等，要讲等腰三角形的性质、判定和全等三角形等，这是我们今后证明的一个非常重要基本出发点。

对于四边形的学习，小学阶段是直观认识，主要是会辨认平行四边形、长方形、正方形，通过操作稍微的了解一下平行四边形、长方形、正方形的特征，但是没有给平行四边形、长方形、正方形下定义；而到了初中我们不仅要对平行四边形进行定义，还要讨论判定条件、性质定理。

对于圆的学习，在小学阶段只要能够认识这个叫圆，稍微的体会它一些特征，比如说圆有无数多条直径，无数多条半径，所有的半径都相等，同圆中半径是直径的一半；在初中要给要给出圆的定义，要给出圆心角、圆周角、垂径定理等等，要给出点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等等。

对比中小学知识的衔接点，可以看出在平面图形的学习中，小学和初中的教学有非常大区别，第一点是小学主要强调的是直观辨认，通过操作来探索一些性质，确认一些性质，比如说对于三角形，对于三角形内角和等于 180 度，无论是小学是通过量一量，撕了以后拼在一起，还是折一折的方法，让学生初步确认相信是 180 度就可以了。到了中学，不仅要去确认它，还要去用几何语言去描述它，另外更重要的是要去证明它。第二点是小学比较强调一个图形的一些特征，而中学开始研究图形之间的关系。比如说点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，比如说全等三角形，实际上它研究的是两个三角形的关系 , 而小学基本上是不研究这种关系的。

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立体图形知识的衔接点

在新课程中还增加了一个内容就是立体图形，小学和中学的区别好像不是很大，都是能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位

置，体现了一种从立体到平面的一种思想，这非常符合我们认识一个事物从整体到局部这样的一个思维过程。同时从立体到平面、从平面到立体的这种转化也是非常有益于培养学生的空间观念。

在小学阶段，一般课标上只要求你能够辨认，从这三个面观察到的简单物体的形状就可以了，在课标上没有明确的提出要去画它；到了初中，实际上我们把它叫做视图与投影，从这个名字已经体会到跟小学相比内容丰富了，也更加抽象化。

从具体内容来说，对于这个视图除了要去判断，还要让学生能自己画出，另外还要求能把从正面、上面、侧面看到这东西，还原想象出这个立体图形是什么样子，设计的图形也比小学复杂了。更重要的一个区别，就是它开始揭示其中的内涵了。我们知道视图实际上是一种平行投影，所以让学生能够了解一些平行投影，同时还有一个内容就是中心投影，就是通过阴影来了解一些中心投影。那么通过这样的一个比较，你就会体会到小学和中学有一脉相承的是对立体图形的一种感受，空间观念。不同点是初中比小学的更加丰富了，初中开始尝试揭示背后的一些数学的内涵，如平行投影和中心投影。

㈢ 明确中小学数学知识上的差别， 有针对性的搞好初中数学教学

作为教师，在初中数学教学中，只有明确中小学数学知识上的差别，才能 有针对性的搞好初中数学教学。 小学主要是直观化、描述阶段、分析阶段，即通过直观认识、描述，进行简单的分析，加以动作确认；到了初中，进入到抽象阶段、关联阶段、演绎阶段、形式化推理阶段，即要把图形的性质抽象出来，表达出来，要讨论图形之间的关联，非常重要的是要去进行形式化的证明。在初中数学教学中，重要的数学内容和重要的数学思想方法要遵循螺旋式的上升的原则，可以说，正确认识学生的原有知识结构是搞好初中数学教学的关键。

㈣ 下面 《等腰三角形的性质》为例 ，谈一谈教学中的一些设计与感受

1 ．教学 背景分析

⑴ 教学内容分析：

《等腰三角形的性质》选自北京市义务教育课程改革实验教材第 15 册第 13 章第 6 节， 是三角形一章中的重要内容。本节课是在小学掌握了等腰三角形，中学掌握了全等三角形的基础上进行的，主要学习等腰三角形“等边对等角”及“底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线互相重合”的性质。本节内容既是三角形全等知识的深化和应用，又是学习线段的垂直平分线、轴对称图形、四边形等其他数学知识的基础，还是证明角相等、线段相等及两条直线互相垂直的依据。 因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置，起着承前启后的作用。等腰三角形的性质在平面图形和空间立体图形的证明和计算中有着广泛的应用，在实际生活的建筑、测量、设计等方面也有其独特的应用。等腰三角形性质的认识和学习，可以从学生周边熟悉的事物入手，让学生观察和动手体验等腰三角形的性质的存在和作用，通过学生主动细心观察和动手实践来体验认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，让学生感受到数学活动充满着探索性和创造性，

⑵ 学生情况分析：

初二的学生是中学阶段身心发展变化较大的一个年级，处于青春期的学生，情绪、情感都有明显的不稳定因素，但是学生对于用新知识、新观点来认识周边的世界非常感兴趣，因此，教师要激发学生学习兴趣，营造一个使学生有机会自己动手、亲自体验新知识的氛围。在学生的原有知识结构的基础上，让每位学生都能在数学学习中有所发现、有所发展，改变以往过于注重基础知识传授而忽略学生情感发展的倾向，让学生从动手实验入手，发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质，并逐步懂得联系生活实际。

2 ．教学目标 及教学重、难点 的确定

根据数学课程标准中关于 “ 等腰三角形的性质 ” 的教学要求，结合学生已有的知识基础和认知能力，我确定了本节课的教学目标及教学重、难点：

⑴ 教学目标：

① 理解 并掌握等腰三角形的性质 定理及推论；能根据 等腰三角形的性质 定理及推论，解决有关计算和证明的问题。

② 通过剪纸、折叠、度量以及等腰三角形的性质的验证与证明等活动， 使学生 经历观察、实验、发现、猜想、归纳、证明的探索过程，体会 一般与特殊的关系， 学会发现问题，解决问题，培养学生多角度思考问题的习惯，体会方程、 转化、分类讨论、数形结合等数学思想 和应用数学意识，提高学生分析问题和解决问题的能力。

③ 通过小组讨论交流活动，培养学生互相合作的意识，通过一题多证，活跃学生思维，培养学生善于发现问题、解决问题的实践能力。

⑵ 教学重点： 等腰三角形性质的探索、证明和应用；

⑶ 教学难点： 等腰三角形性质的证明和应用。

3 ．教学方法与手段的选择

本节课主要围绕学生动手实践、自主探索的学习方式进行设计，采取实验探究发现法， 以学生小组讨论、合作探究、教师启发引导的方式 学习等腰三角形的性质。

在教学手段方面，我选择了 多媒体课件 辅助教学的方式，直观、形象地再现了 等腰三角形性质的探索、验证过程， 使学生在实践中体验发现学习的过程， 积累基本的数学活动经验，感悟数学思想 。

4 ．教学过程的设计

⑴ 创设情境，提出问题

问题：在学校开展的“我为 2008 添光彩”活动中，初二（ 1 ）班举办了“奥运场馆绚丽风姿”图片展览，参观中，数学小组的同学们从鸟巢的钢结构中发现：等腰三角形在实际生活中应用非常广泛，他们非常想知道：等腰三角形有什么特殊的性质呢？老师对数学小组的探索精神颁发了“科技奥运流动红旗”，数学小组的同学们又想检验：流动红旗在教室内摆放得是否水平？你能帮他们设计一种检验方案吗？自然引入新课——等腰三角形的性质。

从学生熟悉的亲身经历的现实生活入手，符合学生原有认知结构，营造使学生亲自体验新知识的氛围，创设有利于引向数学问题本质的真实情境，引导学生发现问题、提出问题，激发学生学习兴趣及探究的欲望，显示实际生活中等腰三角形的广泛应用，引出研究等腰三角形的重要性。

⑵ 实验探究，发现猜想

① 通过剪纸自制等腰三角形

把一张长方形的纸按照图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开。在剪纸过程中可知：剪刀剪过的两条边是相等的，即 △ ABC 为等腰三角形（ △ ABC 中， AB ＝ AC ）

② 观察实验，测量验证

把剪出的等腰三角形 △ ABC 沿折痕 AD 对折，观察：哪些线段重合？哪些角重合？并用量角器、直尺测量验证，探究：等腰三角形中存在怎样的数量关系？折痕具有什么特性呢？

小组合作交流，填入下表：

③ 归纳，提出猜想

引导学生通过小组讨论交流，用文字语言对结论进行归纳、抽象、概括，提出猜想。

猜想 1 ：等腰三角形的两个底角相等 。

猜想 2 ：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

本阶段 通过对折、测量等活动，培养学生的合作意识、探究意识和动手能力。引导学生自主探究、发现、猜想、验证等腰三角形的性质，体验数学的学习活动过程，发展合理推理能力，符合学生认知规律。

⑶ 合作交流，证明猜想

本阶段 在学生经历“实验 --- 发现 --- 猜想 --- 验证”的基础上，引导学生讨论交流， 分别作出不同的辅助线，利用不同的方法证明 猜想 ， 符合学生的原有知识结构，使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，把证明作为学生探索等腰三角形性质活动的自然延续和必要发展，发展演绎推理的能力，激发学生对数学证明的兴趣，提高学生思维的广阔性和灵活性。

① 证明猜想 1 ：等腰三角形的两个底角相等 。

启发引导学生：要证明两个角相等，可以通过构造 两个 全等三角形进行证明。在学生独立思考后， 引导学生讨论交流，分别作出不同的辅助线，用不同的 思路、方法 证明性质， 教师对学生及时进行鼓励评价，归纳示范，形成定理，并 揭示 等腰三角形 性质 定理的实质，体会转化思想 ，同时帮助引导学生总结证明两个角相等的方法，开阔学生思路。

利用平行线证明两个角相等；利用全等三角形判断两个角相等；利用等腰三角形性质来

证明两个角相等。

② 证明猜想 2 ：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

问题 : 在添加不同的辅助线，用不同方法证明 “ 等边对等角 ” 性质时，还可以进一步得出什么结论？ 折痕具有什么特性呢？

引导学生回顾讨论，小组交流：

进一步强化几何的 3 种语言（图形语言、符号语言、文字语言）的互相转化。

注意：

只有等腰三角形才具有“三线合一”的性质，一般三角形中线 AD ，高线 AF ，角平分线 AE 互不重合，但是当 △ ABC 中， AB ＝ A C 时，这三条线重合在一起，即“等腰三角形三线合一”。用几何画板演示，使学生体会一般与特殊的关系。

强调：

等腰三角形性质定理及推论为证明边等、角等、垂直提供了重要依据，在实际生产、生活中应用广泛。

⑷ 应用定理，解决问题

本阶段 选取了不同层次的例题和练习，使学生在原有知识结构的基础上，进一步理解掌握等腰三角形的性质，会应用性质进行简单计算、证明，体会几何问题的代数解法，体会利用三线合一作辅助线的解题基本方法， 培养学生的发散思维能力， 注重知识的“生长点”与“延伸点”，灵活解决实际生活中的问题，感受数学知识连续性、整体性，体验发现问题、

提出问题、探究问题、解决问题、应用问题的乐趣。

① 应用等腰三角形的性质解决实际问题 .

数学小组的同学们想检验：流动红旗在教室内摆放得是否水平？请你能帮他们设计一种检验方案，并说明理由。

检验方案：自制 三角形测平架， AB =AC ，在 BC 的中点 D 挂一个重锤，自然下垂。调整架身，使 BC 与 流动红旗顶端 重合，若点 A 恰好在重锤线上。这时 流动红旗 处于水平位置。

或利用等腰三角形的性质来证明。

教学预案一：过 A 作 AG ⊥ BC 于 G . （如图 1 ）

教学预案二：过 A 作 AH ⊥ EF 于 H . （如图 2 ）

教学预案三：过 C 作 MC ⊥ BC 交 BA 的延长线于 M . （如图 3 ）

教学预案四：过 E 作 EN ⊥ EF 交 CA 的延长线于 N . （如图 4 ）

教学预案五：过 F 点作 EP ∥ AC 交 BC 的延长线于 P . （如图 5 ）

教师引导学生讨论交流，对学生的不同证明思路、方法及时鼓励评价，使学生体会利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线的解题基本方法，培养学生的发散思维能力，感悟转化等基本数学思想。

反思 《等腰三角形的性质》 这节课，我深刻的认识到：只有从学生的原有知识结构和认知规律出发，才能搞好初中数学教学。

㈤ 针对初中数学“空间与图形”领域，给老师们提出的几点教学建议

1 ．在教学中要认真研究中小学教材，正确把握新旧内容的衔接点

数学知识体系是一个前后连贯性很强的知识系统，在空间与图形领域， 小学生主要是对空间特性的直接的具体的反映，具有直观性和个别性；中学生可以逐步地实现对空间关系间接的概括的反映，具有了一定的抽象性和普遍性。 中小学数学主要体现为由直观几何、实验几何向论证几何逐渐过渡。在教学中要充分了解学生已有知识结构，准确把握教学的重难点，要遵循由具体到抽象、由感性到理性的认知规律，逐步发展学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。要运用各种教学手段，创设真实情境，充分揭示新旧知识的内在联系，尽可能多地利用小学已学过的旧知识，形成旧知识对新知识的正迁移，从而提高课堂教学效率。

2 ．在教学中要重视观察、操作、想象、推理、表达之间的一个结合

小学侧重于操作，到了初中开始侧重于证明，但是并不是说初中就不要求操作了，还需要把观察、操作作为认识这个图形性质的一个非常重要的手段，同时在操作的过程中实际上也为证明提供了一些思路。比如说等腰三角形，学生把它一对折，既发现了这个等腰三角形两个底角是重合的，同时这个对折又为他添辅助线证明两个三角形全等奠定了一个基础。但是仅仅操作不行，还需要把操作过程中的推理证明结合在一起。 一般说来，小学生需要借助于和生活实际有关的具体情境认识和把握与空间观念有关的内容，通过观察、分析、动手操作、合作交流等方式，从形状、特征、方位、关系等多种角度感知和体验周围事物，不断地积累关于图形与空间方面的知识和经验。进入初中以后，学生的语言表达能力、动手操作能力和自主探索的能力有所提高，在小学积累的基础上，学生仍旧通过生活经验的回忆、实物观察、动手操作等，进一步感知和体验空间与图形的现实意义，而且可以通过对图形的分解、变换、运动以及确定方向和位置等更全面地感知，在这个发展的过程中，理解空间、把握空间，直观和抽象进一步相互融合，并逐步产生演绎和论证的需要。总之，教师必须明确中学不是小学简单的重复，而是在更高水平上的深入学习。

3 ．在教学中一定要让学生体会证明的必要性。

体会证明的必要性是个难点，学生总觉得这是很显然的东西，我为什么要去证明，例如两个等腰三角形一折，就是重合，就是相等，我看都能看出来，我干吗要证明。此外很多学生没有任何证明的意识，他体会不到证明是一般性的东西。 在证明的教学中，首先，应通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性； 在教学中，可以充分利用几何画板的直观性，通过动态演示，体现从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律，让学生充分体会到证明的价值，证明的必要性。

4 ．在教学中 应关注证明的基本过程和基本方法。

几何证明的教学所关注的是，对证明基本方法和证明过程的体验，而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。应该使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，知道推理必须有依据，证明过程的表述必须条理清楚。在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这十分有利于学生对证明的全面理解；使用较规范的数学语言表述论证的过程，有利于学生清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人的思想；组织学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，这有利于开阔学生的视野；提供一些具有实际背景的命题，增加论证的趣味性，有助于激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心。

三、下面我们谈一谈在 “数与代数” 这一领域如何 正确认识并把握学生的原有知识结构与初中数学教学的关系

㈠ 整体把握 《课程标准》中 “数与代数” 领域 中小学在知识、思想、经验上的衔接点

“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。 要想正确认识 “数与代数”这一领域 学生的原有知识结构与初中数学教学的关系， 教师必须 从整体上来把握数学课程的内容，这里不仅包括把握中小学知识上的衔接点，更重要的是把握思想上和经验上的衔接点。教师不仅要了解小学阶段为初中数学学习奠定了哪些知识和经验的基础，还要了解现在初中数学的内容在今后高中数学学习中的发展是什么等等。

1 ． 准确掌握“数与代数”领域 中小学在知识上的衔接点

小学第二学段明确提出了“式与方程”的这样一个版块，有三方面的要求：在具体情景中会用字母表示数；会用方程表示简单情景中的等量关系；理解等式的性质，会用等式的性质，解简单的方程。小学阶段主要是会解象 3x ＋ 2=5 、 2x － x =3 这样简单的方程，实际上是简单的一元一次方程，过去把它叫做简易方程，这是课程标准对于小学的要求。老师们要清楚在小学学生已经学了一点点方程，学了一点点字母表示数等，作为初中数学教师必须有一个直观了解，很多中学老师不知道自己的学生在小学已经学过字母表示数了，还把学生当成一张白纸重新再教。此外，我们还应该看到小学跟中学学习方程确实有明显的差别，由于小学不要求负数的运算，所

以我们在解方程的过程中是不要求出现有关负数的运算的。因此，在进行初中数学教学时，教师无论是通过一些调查，还是通过一些访谈，首先要了解你们班的学生在小学知识掌握情况，然后再进行有针对性的教学设计，正确处理好学生原有知识结构与初中数学教学的关系。

2 ． 深入领会“数与代数”领域 中小学在思想方法上的衔接点

在“数与代数”这个领域，教师 除了要清晰把握中小学知识上的衔接点，还要思考为什么要在小学就开始设置方程？它的一些思想是什么？这主要目的是让学生逐步从算术走入代数。我们知道，用字母表示数，是从算术到代数的开始，因为有了字母，有了符号，我们就可以用符号来表示一般性的东西了，那么有了符号的运算，我们就可以进行一般性的运算和推理了，这是从算术到代数的重要思想，这种进化思想在中学非常重要。另外，在小学引进方程还有一个目的就是解决算术应用题，我们知道，小学长期以来解算术应用题是一个难点，而很多繁难的算术应用题是可以用方程来解决的，特别是一些逆向的问题如果顺着想，列方程很简单。引进方程，让学生初步体会到用方程解决实际问题的优越性，也就是说，设了未知数，那么未知数和已知数就可以同等地位参与运算列方程，这样一来，数量关系分析就比较简单了。另外引进方程，特别是引进字母表示数，让学生初步感受函数的思想。在初中数学教学中，要使不断的使学生体会到用方程来解决问题的优越性，帮助学生熟悉并逐步形成代数思维。

㈡ 注重旧知识的延伸点与新知识的生长点

1 ．在初中数学 新知识的 教学中，小学内容的第一个延伸是方程思想

对于方程来说，从原来的简单的没有负数参与运算的一元一次方程到初中要解决一般性的一元一次方程、一元二次方程及一些一次的方程组，这是从小学到中学一个很明显的延伸。

2 ．在初中数学 新知识的 教学中，小学内容的第二个延伸是树立一种模型的思想

因为小学阶段只是用方程解决一些简单的实际问题，让学生初步体会到方程能够帮助我们解决一些较难的问题。但到了中学，我们要学习一些数学模型，比如说一元一次方程模型、一元二次方程模型等。初中数学教师要善于让学生把实际问题中抽象出数学问题，然后建立一个模型，并解这个模型，最后应用这个模型解决实际问题。通过这样的数学建模的一般过程，让学生体会到一元一次方程的模型可以帮助我们解决很多实际生活中的问题，一元二次方程的模型在解决一些极大值、极小值中起到了非常重要的作用等等。

3 ．在初中数学 新知识的 教学中，小学内容的第三个延伸是联系

在初中阶段，我们还有一个非常重要的一个内容就是函数和不等式。所以我们在初中要让学生初步体会到方程与函数、不等式的一些联系，这种联系到高中会进一步得到加强，例如方程可能还会跟一些几何的东西进行研究，比如说圆锥曲线的一些方程等等。

4 ．在初中数学 新知识的 教学中，小学内容的第三个延伸是让学生进一步树立符号意识

符号能够帮助我们来刻划一般性的东西，能够帮助我们进行一般性的运算和推理，这个在小学只能是一个非常初步的体验，到了中学，我们有了方程、不等式、函数等模型；有了方程的一些运算；有了式的运算，便能充分体会到符号能够进行一般性的运算和推理，因此教学中要在学生的原有知识结构的基础上，抓住一些关键词：一个是模型；一个是符号的意识；一个是运算，符号的运算。

⑴ 正确把握中小学数学中关于符号运算的特点是初中数学教学的关键

小学数学数概念的发展是以自然数，小数、分数（实际上是正分数）、百分数、负数的顺序展开的。在掌握数概念的基础上，学习四则运算。并且，在小学高年级，引入了“简易方程”，使学生初步认识了“用字母表示数”。中学数学中首先接触的“有理数”的概念，通过

全面地对“负数”的学习，完成有理数系的扩充；随后，引入无理数，完成实数系的扩充；进一步地，由解方程引入虚数，完成复数系的扩充。但是，初中数学与小学数学的一个根本不同在于：中学在完成数系扩充的同时，把重点放在了“用字母表示数”上，因为它是现代数学的根基，是形成符号化、形式化数学思想的基础，有此基础之后，中学数学可以学习代数式、方程、不等式，以及函数等内容，也正是这些内容构成了中学数学的核心。

⑵ 正确把握小学生与初中生的符号运算的学习特点是初中教学成功的保障

首先要明确初中与小学符号运算范围发生的大小不同：小学阶段基本上是在算术集上的算术运算，初中数学，由于学习了有理数，实数的概念，学习了字母表示数的运算法则，所以，初中数学符号运算的范围要较小学有更大的定义域。其次要明确初中与小学在运算的步骤，或者说复杂性水平上不同：显然，小学生由于他们的认识，在很大程度上要依赖于对事物的直观，因此在进行符号运算时，自觉性，方向性，目的性就不如初中学生。所以，在小学阶段的符号运算的复杂性水平要远远低于初中的水平。比如，就是一个运算题，在小学里，涉及到的运算法则与概念就少；在初中就多，不仅包括小学已有的所有概念与法则，还包括 新学习的例如：绝对值的概念，相反数的概念，以及在字母表示数上的运算。例如，解方程，不等式；函数解析式的意义等。此外还要明确初中与小学抽象概括程度不同，对算理的教学要求不同：小学更简单，初中更严谨。或者说，小学更机械些，中学更强调推理的成分，以及对算法的简捷性、正确性、合理性的认识。

㈢ 重点突破“负数引入”和“从数到式”，实现“二次飞跃”

1 ．在初中数学教学中，要重点突破学生容易遇到的障碍的地方：“负数概念的形成”

学生在学习负数时，与学习“ 0”（表示“没有”的意义）、学习分数、小数（表示一个整体的部分量的意义）相比较而言，负数概念的实际意义让学生感觉不是很自然。教师在教学过程中，要耐心地让学生表示物体的长度、重量、温度等，体会仅用自然数、零和分数表示是不够的，在感性认识的基础上获得理性认识，通过列举实例来解释负数在实际生活中的意义，如使用温度计，说明最高温度是零上 5℃，最低温度是零下 5℃时，为把它们区分清楚，把零上 5℃记作 +5℃，把零下 5℃记作 -5℃，通过表示具有相反意义的量来学习负数概念，但是由于把曾经是运算符号的“ +”（表示加法）和“ -”（表示减法），现在又要将它们写在数字的前面来表示意义相反的量，成为性质符号，对于这一点学生很不适应，不仅如此，而且数集上的运算也发生了很大变化，括号“（）”的参与，去括号法则的复杂性，使得许多学生经常在进行有理数运算时犯错误。因此，在初中数学教学中，必须符合学生的原有认知结构，以循序渐进的原则，使学生逐步对“数系扩充”的概念的发展水平上升到一个新高度，实现 “一次飞跃” 。

2 ．在初中数学教学中，要重点突破学生容易出现困难的地方：“字母表示数的发展”

字母表示数具有二重性，也就是说：字母表示的“数”既确定又任意，既要把字母看成是“数”的抽象，又要领会字母取值的任意性，这就要求学生在认识上从算术方法转变为用代数方法来思维。表示学生数学能力发展水平的一个显著标志是学生使用“字母表示数”的水平。学生如果能从数的运算中，看到把数抽象为字母表示的必要性；从求代数式的值的过程中，看到抽象的具体意义，理解字母表示就是对数的进一步抽象；会从数的运算性质，类比出式的运算性质；会用具体的数，去推断各种数学式子之间的关系，并能够验证其正确性。只有到了这时，我们才能说学生理解了“用字母表示数”的思想方法。但实际上，对于在一 定程度上还依靠直观的、具体的内容来思维的中学生来讲，实现这个突破需要很长时间，教师可以不断地用一个个具体的情境，让孩子一点点的感知用字母表示数的优越性。因此，在初中数学教学中，必须符合学生的原有认知结构，遵循螺旋式上升的原则，逐步使学生实现从“数”到“式”这个了不起的“二次飞跃” 。

㈣ 下面以 《分式》为例，谈一谈教学中的一些设计与感受

1 ．教学 背景分析

⑴ 教学内容分析

《分式》选自北京市义务教育课程改革实验教材第 15册第 11章第 1节，是在学生小学掌握了分数，中学掌握了整式及其运算 , 多项式的因式分解，以及一元一次方程等知识的基础上进行的，主要是通过类比分数的方法来学习研究分式的概念、性质和运算，并运用分式的有关知识解决分式方程、公式变形以及简单的实际问题等． 分式的概念是分式一章中的重要内容，在解分式方程时可能产生增根，以及公式变形时要考虑字母的条件等都与分式的概念有重要的关系．分式的概念既是前面所学知识的深化、巩固和应用，又是进一步学习分式方程、公式变形、函数和一元二次方程等其他数学知识的基础，起着承前启后的关键作用．

⑵ 学生情况分析

我所任教 的初二年级学生已初步具有“从具体到抽象、从特殊到一般”的认识事物规律的意识，特别是学生对于用新知识、新观点来认识周边的世界非常感兴趣，因此，在教学中，我选择适合分式内容而又接近学生生活的实际问题，在学生原有知识结构基础上，类比分数 探究分式，反映分式来自实际又服务于实际的应用意识，加强对“分式是解决现实问题的一种数学模型”的认识，充分体现“从生活走进课程，从课程走进社会”的理念．

2 ． 教学目标及教学重、难点的确定

根据数学课程标准中关于“分式”的教学要求，结合我们班学生已有的知识 经验基础和认知能力，我确定了本节课的教学目标及教学重、难点：

⑴ 教学目标：

① 使学生 在 现实情境中准确的列出分式，正确掌握分式的概念， 理解有理式的概念以及分式与整式概念的区别联系、掌握分式有意义、分式值为 0 的条件．

② 通过丰富的现实情境，使学生经历从具体情境中抽象出数量关系和变化规律的探索过程，体会建立分式数学模型的思想，以及特殊与一般的认识规律，进一步培养符号感及应用数学的意识 . 通过分式与分数的类比， 使学生亲身经历探究由整式扩充到分式的过程， 体会类比的 数学方法、转化的 数学思想， 提高学生分析问题和解决问题的能力．

③ 通过小组讨论交流以及开放探究等数学活动，培养学生互相合作的意识，活跃学生思维， 体验学习的乐趣及探究精神 ．

⑵ 教学重、难点：

① 教学重点： 正确理解掌握分式的概念．

② 教学难点：用 类比数学方法掌握分式的概念，对分式有意义、分式值为 0 条件的探究．

3 ． 教学方式与教学手段的选择

本节课通过丰富的现实情境问题，类比的数学方法，从特殊到一般，经历对具体问题的探索过程，采取 师生互动探究 发现式教学 法，以学生小组讨论、合作探究、教师启发引导的方式 学习分式的概念，体现以学生发展为本的理念．

在教学手段方面，我选择了多媒体课件辅助教学的方式，通过大量图片使学生 从直观的具体情境中抽象出数量关系和变化规律，体会类比的方法，感悟数学 建模思想 ．

4 ．教学过程的设计

⑴ 创设情境，导入新课

在学校开展“奥运我争先”活动中，善于细心观察的小明发现： 2008 年奥运会主会场 鸟巢国家体育场 是世界上最大的钢结构建筑体育馆，观众容量为 91000 个（固定座位 80000 个，临时座位 11000 个）， 雅典奥运会主会场的观众容量为 45000 个．

问题 1 ： 你知道鸟巢 国家体育场的 观众容量是雅典奥运会主会场观众容量的多少倍吗？

问题 2 ： 如果鸟巢 体育场 观众容量为固定座位 a 个，临时座位 b 个， 南非世界杯体育场观众容量为 c 个． 你知道鸟巢体育场的 观众容量是南非世界杯体育场观众容量的多少倍吗？

本阶段 从学生亲身经历熟悉的现实生活入手，营造使学生亲自体验新知识的氛围，创设有利于引向数学问题本质的真实情境，学生会自然想到类比分数，从而引出 研究课题—分式．

⑵ 建模类比，形成概念

同 特征为：都有类似于分数的形式；分子和分母都是整式；分母中的整式都含有字母，每一个分母都不得 0 ．

本阶段 通过学生 观察，小组讨论、交流，类比分数， 归纳分式的特征， 体会类比 、转化等 数学思想 方法， 以及特殊与一般的认识规律．

③ 在此基础上，学生类比分数概念，抽象概括形成分式的概念．

一般地，用 A 、 B 表示两个整式， A ÷ B (B ≠ 0) 可以表示成 的形式．如果 B 中含有字母，那么我们把式子 (B ≠

0) 叫做分式（ fraction ），其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母．

强调 ：

分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，分数线可以理解为除号， 还有括号的作用；分式的分母中必须含有字

母，分子中可以含有字母也可以不含有字母；分母 是除式，因此分母不等于零． 只有在分母不等于零的条件下，式子才有意义．分母不等于零是分式概念的组成部分．

④ 在学生形成正确的分式概念后， 教师指出：“式”扩充到“有理式”，并 引导学生概括得出有理式的概念及分类．

本阶段在学生原有知识结构的基础上，用准确的语言揭示分式概念的本质，突出分式概念的有关特征，并帮助学生顺利完成 “从数到式”重大飞跃”。

⑶ 合作交流，巩固概念

本阶段 通过以下题目，使学生巩固掌握分式的概念，感受分式概念在实际生活中的应用，引导学生关注社会，关注生活，发展符号感和应用意识．

① 比一比，谁最快！

问题：下列各式：

是分式吗？如果不是，请说明理由．

本阶段 通过学生抢答问题，活跃课堂气氛，使学生进一步 理解分式的概念，正确理解分式与整式概念的区别及联系，从而提高思维辨析能力．

② 试一试，你能行！

问题：当 x 取什么值时，下列各式： 有意义？

本阶段 先让学生独自进行判断，再组织学生讨论，交流自己的想法，然后教师给出规范的解题格式．使学生学会言必有据，明确遇到分式问题，首先要考虑当分母不等于零的条件，也就是说，必须在分母不等于零的前提下去研究分式问题．

③ 赛一赛，谁最棒！

问题：从“ 1 ，－ 2 ， a ， b － c ”中，任意选取其中若干个，组成两个有理式，其中一个是整式，一个是分式．

本阶段 通过开放探究型问题，使学生在交流、展示活动中，巩固有理式的概念，加深学生对整式与分式两个概念本质的区别与理解，培养学生发散思维、创新思维及探究能力．

⑷ 拓展探究，深化概念

1.分小组开展探究活动， 议一议：

问题：在什么条件下 , 一个分式的值为零 ?

如果分式 ，怎样确定 x 的取值范围？

对于学生的错误结论，教师要引导学生想一想：当 x =1 时，分式 ,

有意义吗？使学生在辨析中理解使分式的值等于零的条件，渗透分类讨论思想．

对于学生的正确结论，教师要给予及时的鼓励评价，并引导学生抽象、概括， 探究使分式的值等于零的条件．

在学生 分小组进行充分讨论、交流 探究的基础上，师生共同总结得出：

分式的分母不为零时，分式才有意义；当分子为零且分母不为零时，分式的值为零．即： 分式 为零的条件是

2.巩固练习：

当 x 取什么值时，下列 分式： 的值等于零？

本阶段 采取先议后用例题加深认识的方法，培养学生一种认识问题的方法—先理性考虑，再实际操作，培养学生解题的规范性，思维的严谨性．

③ 拓展变式练习：

当 x 取什么值时，下列各式

有意义？ 无意义？ 各式的值为 0 ？

本阶段通过 学生 巩固、变式、拓展练习，使学生对分式的概念逐渐内化成为自己的知识结构，培养学生思维的灵活性、广阔性、深刻性．

⑸ 课堂小结，反思感悟

反思 《分式》 这节课， 本节课使学生经历从丰富具体的现实情境中抽象出数量关系和变化规律的探索过程， 类比分数， 归纳、概括、抽象形成分式的概念；在学生的原有知识基础 上，用准确的语言揭示概念本质，突出概念有关特征； 通过开放探究型、实际应用型等问题，培养学生思维的严谨性、发散性、灵活性、广阔性、深刻性，使学生对分式的概念逐渐内化成为自己的知识结构， 渗透特殊与一般的认识规律，体会类比、转化、建模、方程、分类等数学思想方法，发展符号感及数学应用意识．

㈤ 针对初中数学“数与代数”领域，给老师们提出的几点教学建议

①． 在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、求解、验证解的正确性与合理性的过程，通过这个过程使得学生发展符号感。教学中要准确把握学生现阶段的认知发展水平、认知思维特点，加强方程、不等式、函数等内容的联系。

2．在初中学习用字母表示数时，教师要对学生学习的问题深层次的研究，字母表示数是其它重要的数学思想（方程思想、函数思想等）的根本所在，在字母表示数的学习中，还渗透了符号化、换元的思想方法，这些思想方法不仅可以逐步加深学生对“字母表示数”的理解，而且领会其中的思想方法实质，会促使学生对代数的认识上升到一个新水平。在初中数学教学中，要把代数看成一种思维方式，它是一种对规律的一种推理的方式。从这种角度理解，有利于我们整体把握数与代数这个领域的教学。

四、下面我们谈一谈在 “ 统计与概率 ” 这一领域如何 正确认识并把握学生的原有知识结构与初中数学教学的关系

㈠ 明确中小学“ 统计与概率 ” 的研究对象、教学内容以及教学策略

“ 统计与概率 ” 主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。 在小学阶段，已渗透了统计与概率的一些初步知识，学生 经历了简单的数据统计过程，学习了收集、整理和描述数据的方法，并能够根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。 到了中学，统计与概率又有不同程度的扩展和提高， 教材遵循逐级递进、螺旋上升的原则， 由浅入深、由感性到理性，逐步 巩固深化 统计与概率的相关内容并能应用统计与概率的思想方法解决一些实际问题。

在初中 统计的 数学教学中， 重点不是要学生背公式，熟练计算，我们应 淡化统计量的计算技巧，突出统计量的特征和作用．避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习。注意让学生弄清每个统计量的含义及作用。在教学中，要设置合理的问题情境，认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑，使学生形成正确的统计观念、统计意识。

在初中 概率的 数学教学中， 要建立“随机观念”，随机现象是概率与统计部分重要的研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念。特别是如果学生缺乏随机现象的丰富体验，往往很难建立随机观念。因此教师要注重创设情境， 在大量的实验过程中， 让学生亲自经历随机现象的探索过程，亲自动手进行试验，收集实验数据，分析实验结果、并将所得结果与自己的猜测进行比较。 丰富学生对概率意义的理解，形成随机观念。

㈡ 下面以 《求简单事件发生的可能性》为例 ，谈一谈教学中的一些设计与感受

《求简单事件发生的可能性》选自北京市义务教育课程改革实验教材第 15 册 14 章 3 节，本节课采用“创设情境、复习导入→实验观察，合作探究→ 归纳概括，探索新知 → 拓展延伸，灵活应用 → 举一反三，巩固练习 →归纳小结，反思提高 ”等环节，层层深入展开教学。

1.创设情境、复习导入

首先引导学生复习已经掌握的基础知识 ：“事件”及“事件发生的可能性”，认识到：

接着请同学们看一段录像（放映录像），并 在学生原有知识结构的基础上提出三个问题：

同学们看到的是：著名电视主持人李咏主持的中央电视台“幸运 52 ”栏目中“百宝箱”互动环节，这是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20 个商标中，有五个商标牌的背面注明一定的奖励，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这次游戏的观众有三次翻牌机会（翻过牌不能再翻）。

⑴ 你知道随意翻一个牌，获奖可能性的大小吗？

⑵ 若第一次翻牌未获奖，第二次随意翻一个牌，获奖的可能性是多少？

⑶ 若前两次翻牌都获奖，第三次再随意翻一个牌，获奖的可能性是多少？

通过放映录像，由生活中的实例导入学习“求简单事件发生的可能性”新课，激发学生观察生活中数学的热情，提高学生学习兴趣及探究热情，培养学生发现问题，思考问题、解决问题的能力。符合学生的原有知识结构，获得新知识的生长点。

2.实验观察，合作探究

⑴ 下面请同学们分成实验小组，继续进行“摸球实验” .

① 动手实验，完成实验报告 .

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