课时学案 - 用三角函数模型刻画周期变化规律(例4)

课时学案——用三角函数模型刻画周期变化规律（例4）

江苏 韩文美

【课前准备】 1．课时目标

（1）利用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，关键是从实际问题中抽象出三角函数模型；

（2）明确所给问题是否具有周期现象，能否用三角函数来刻画；认真分析实际问题的意义，如自变量的范围．

2．基础预探 （1）________作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．

（2）我们可以利用搜集到的数据，作出相应的________，通过观察散点图关进行函数拟合而获得具体的________，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．

（3）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用________或________． 【知识训练】

1．函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（ ）

A．（C．（

π3π，） 22 B．（π，2π）

3π5π，） D．（2π，3π） 222．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2，则有（ ）

A．A=3，ω=

2?2?1515 B．A=3，ω= C．A=5，ω= D．A=5，ω=

2?2?1515

π是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________． 34．若f（x）具有性质：

ππ①f（x）为偶函数，②对任意x∈R，都有f（－x）=f（+x），则f（x）的解析式可

44以是_______．（只写一个即可）

π5．求下列函数的单调区间： y=－｜sin（x+）｜．

46．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离ycm和时间xs的函数关系为y=6sin

3．若x=（2πx+

π）． 6（1）单摆开始摆动（x=0）时，离开平衡位置多少厘米？ （2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ （3）单摆来回摆动一次需要多少时间？ 【学习引领】

三角函数能够模拟许多周期现象，在解决实际问题中有着广泛的应用．特别，三角函数在物理中有比较多的应用，物理中的单摆运动、波的传播、交流电等内容都可以用三角函数来分析和理解．特别是如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述．可以利用三角函数的相应理论来解答生产、科研和日常生活中的实际问题．

注意结合三角函数的图象与性质加以处理简单的实际问题，关键是体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．掌握数形结合的数学思想．解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题．注意三角函数中的变量的特定的取值等．

【典例导析】

题型一：变换问题中的三角函数模型

例1．估计某一天的白昼时间的小时数D（t）的表达式是：D（t）=

k2?sin（t－79）2365+12，其中t表示某天的序号，t=0表示1月1日，依次类推，常数k与某地所处的纬度有关．

（1）在波士顿，k=6，试画出函数当0≤t≤365时的图象； （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？ （3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．

思路导析：结合给出的三角函数表达式作出相应的函数图象，并结合具体的问题，结合

函数图象来分析与判断实际问题．

解析：（1）先用“五点法”作出f（t）=3sin（t－79）=0及sin

t f（t） 2?2?（t－79）的简图，如下图，由sin3653652?（t－79）=2π，可解得t=79及t=444，列表如下： 36579 0 170 3 262 0 353 444 －3 0 若t=0，f（0）=3sin

2?（－79）≈3sin（－1.36）=－2.9， 365因为f（x）的周期为365，所以f（365）=－2.9，

将f（t）在[0，365]上的图象向上平移12个单位，就得到D（t）的图象；

（2）白昼时间最长的一天，即D（t）取最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外）；类似地，t=365时，D（t）取最小值，即12月20日白昼最短；

（3）D（t）＞10.5，即3sin365]，∴49＜t＜292，

由于292－49=243，所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．

点评：理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，用相关的数学知识解答，是解决实际问题的关键，也是三角函数实际应用的表现之一．

变式练习1：如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时．

（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米？

2?2?1（t－79）+12＞10.5，sin（t－79）＞－，t∈[0，3653652

题型二：拟合问题中的三角函数模型

例2．在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老韩在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xOy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0<φ<π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老韩预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．

现在老韩决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得ω=

?． 72（Ⅰ）请你帮老韩算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；

（Ⅱ）老韩如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

思路导析：通过在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0<φ<π）来描述的关系进行待定系数法运算，计算相应的参数值，并结合对称性解决相应的解析式问题和函数值问题．

解析：（Ⅰ）由于C、D关于直线l对称，则C点坐标为（2×34－44，16），即（24，16），

??22?asin??把A、B、C的坐标代入解析式y=asin（ωx+φ）+b，得?19?asin(??16?asin(??②?①，得a[sin（

??b ①???)?b②

6?3??)?b③?+φ）－sinφ]=－3， 6???③?①，得a[sin（+φ）－sinφ]=－6，则有2 [sin（+φ）－sinφ]=sin（+φ）－sinφ，

363展开有cosφ+3sinφ=

33cosφ+sinφ，

22即（1－

3333）cosφ=（－3）sinφ=3（－1）sinφ，故tanφ=－，

2223?5?=，代入②，得b=19，再由①，得a=6， 665?所以a=6，b=19，φ=，

6?5?于是，ABC段的解析式为y=6sin（x+）+19，

726?5?由对称性得，DEF段的解析式为y=6sin[（68－x）+]+19，

726?5??故（68－xF）+=，解得xF=92，即当x=92时，股价见顶； 7262而0<φ<π，则φ=π－

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，yF=6+19=25 ，故这次操作老韩能赚5000×（25－16）=45000元． 点评：在解决拟合三角函数模型问题中，往往通过待定系数法，根据已经点的坐标的关系解决相应的方程组先求解对应的参数值，再根据实际问题求解相应的三角函数问题．

变式练习2：下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）

日期 日期位置1月1日 1 2月28 日 59 3月21 日 80 4月27 日 117 5月6 日 126 6月21 日 172 8月13 日 225 9月20 日 263 10月25日 298 12月21日 355 序号x 白昼时间y（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 （I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；

（Ⅱ）试选用一个形如y=Asin（ωx+φ）+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日．．．．期位置序号x之间的函数关系；[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算] （Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？

【随堂练习】

1．方程sinx=lgx的实根个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2

2．函数f（x）=x－sinx（x∈R）的部分图象是（ ）

?

3．为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）

A．98π 4．y=

B．

197π 2 C．

199π 2 D．100π

sinx的最大值是_________，最小值是_________．

2?sinx5．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（x），下表是某日各时的浪高数据． t（小时） 0 y（米） 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f（x）的曲线可近似看成是函数y=Acosωt+b（A>0）根据以上数据，函数的解析式为 ．

6．设x∈［0，值．

【课后作业】

? a (a≤b)

1．定义新运算a*b为：a*b=? ，例如1*2=1，3*2=2，则函数f（x）=sinx*cosx

?b (a＞b)

π］，f（x）=sin（cosx），g（x）=cos（sinx），求f（x）、g（x）的最大2

的值域为（ ）

A．[－1，

2222] B．[0，] C．[－1，2] D．[－，] 2222

2．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v0，发射角为θ，重力加速度为g，则炮弹

上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为（ ）

A．y=v0t B．y=v0sinθ·t－3．y=

12

gt C．y= v0sinθ·t D．y= v0cosθ·t 22?cosx（0＜x＜π）的最小值是________．

sinx4．如图，一广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是长半轴长为5 m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料为 m2．

5．f（x）是定义在［－2π，2π］上的偶函数，当x∈［0，π］时，y=f（x）=cosx，当x∈（π，2π］时，f（x）的图象是斜率为的部分．

2，在y轴上截距为－2的直线在相应区间上ππ）； 3（2）求f（x），并作出图象，写出其单调区间． （1）求f（－2π），f（－

?sinx（sinx?cosx），6．已知函数f（x）=?

cosx（cosx?sinx）.?（1）画出f（x）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；

（2）判断f（x）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期．

答案：

【课前准备】 2．基础预探 （1）三角函数；（2）散点图，函数模型；（3）计算机，计算器； 【知识训练】

1．C；解析：根据各选项，依次排除A、B、D；

2．A；解析：周期T=15，ω=3．

2?2?=； T154ππππ；解析：∵x=是方程2cos（x+α）=1的解，∴2cos（+α）=1，即cos（+33337π5π4π1πππα）=，又α∈（0，2π），∴+α∈（，），∴+α=，∴α=；

23333334．f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等；解析：开放性问题，只要写出满足条件的函数即可；

5．解析：y=－|sin（x+kπ+

ππππ）|的图象的增区间为［kπ－，kπ+］，减区间为［kπ+，44443π］，k∈Z． 4y??-44O5?4x 6．解析：（1）当x=0时，y=6sin（2π×0+

ππ）=6sin=3，即此时离开平衡位置3厘米； 66（2）单摆摆动到最右边时，此时y取得最大值，即离开平衡位置6厘米； （3）由于T=

2??=1，那么f=

1=1，即单摆来回摆动一次需要1s． T【典例导析】

变式练习1：解析：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为

所以t秒时，Q点的纵坐标为

2ππt=t， 2010πt， 10πt +12（米）； 10ππ1（2）令y=10sint +12≤12，则sint ≤－，

10105故在t秒时此人相对于地面的高度为y=10sin

由于0≤t≤20，可得10.64≤t≤19.36，则19.36－10.64=8.72，

故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米． 变式练习2：解析：（I）画散点图见下面：

（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin（ωx+φ）+t， 由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即ymax=19.4，ymin=5.4， 由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；

2?2?2??323?=，当x=172时，x+φ=，则φ=－， T36536573022?323?所以y=7sin（x－）+12.4（1≤x≤365，x∈N*）；

3657302?323?1?2?323?5?（Ⅲ）由y>15.9得sin（x－）>，则有

365730273066365365323365?5323解得+

1242?64又T=365，则ω=

∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时． 【随堂练习】

1．C；解析：根据函数y=sinx与y=lgx的图象加以分析与判断，其两图象的交点有3个，故其方程的实根有3个；

2．D；解析：当x→＋∞时，函数值y→＋∞，当x→－∞时，函数值y→－∞，仅选项D满足；

3．B；解析：49

11972π197π×T≤1，即×≤1，∴ω≥； 44?212?sinx?224．，－1；解析：y==1－，当sinx=－1时，得ymin=－1；当sinx=1

2?sinx2?sinx31时，得ymax=；

31?1cost+1；解析：根据表格中数据可知y的极差是1.5－0.5=1，则A=，由2262??此可以判断b=1，结合数据可知周期为T=2×（9－3）=24，则ω==；

T65．y=

π］上，y=cosx是单调递减的，且cosx∈［0，1］，而y=sinx2是单调递增的，且sinx∈［0，1］，

∴f（x）=sin（cosx）∈［0，sin1］，g（x）=cos（sinx）∈［cos1，1］， ∴f（x）的最大值是sin1，g（x）的最大值是1． 【课后作业】

6．解析：∵在x∈［0，

3??

1．A；解析：当sinx≤cosx时，即2kπ－≤x≤2kπ+（k∈Z）时，f（x）=sinx∈[－

441，23?2?

]，当sinx>cosx时，即2kπ+

2

]； 2

函数f（x）的值域为[－1，

2．B；解析：根据实际问题结合选项加以分析与判断；

3．3；解析：y可视为点A（－sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨?x???sinx，3迹?x∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A（－，

?y?cosx，2?1）时，ymin=kAB=3； 2y'B(0,2)AO-11x'

4．100πcos2α；解析：由图知：2R=10cosα，R=5cosα，则S=4πR2=100πcos2α； 5．解析：（1）当x∈（π，2π］时，y=f（x）=

2x－2， π又f（x）是偶函数，∴f（－2π）=f（2π）=2， 又x∈［0，π］时，y=f（x）=cosx，∴f（－

ππ1）=f（）=；

233?2?π?，??πx?2x???2π，?（2）y=f（x）=?cosxx???π，π?，

?2?x?2x??π，2π?.π?y212?--?-1O-2??x2 单调区间为［－2π，－π），［0，π），［－π，0］，［π，2π］． 6．解析：（1）实线即为f（x）的图象：

y=sinx1y2?-?-cosxy=O-1?2?x 单调增区间为［2kπ+

ππ5π，2kπ+］，［2kπ+，2kπ+2π］（k∈Z）， 424ππ5π］，［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）， 424单调减区间为［2kπ，2kπ+f（x）max=1，f（x）min=－

2； 2（2）f（x）为周期函数，T=2π．

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