深圳西丽湖世纪星学校七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷

深圳西丽湖世纪星学校七年级上册数学压轴题期末复习试卷

一、压轴题

1．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M，N所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M处，让这枚棋子沿数轴在线段MN上往复运动（即棋子从点M出发沿数轴向右运动，当运动到点N处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M处，随即沿数轴向右运动，如此反复?）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M开始运动t个单位长度至点1Q处；第2步，从点1Q继续运动2t单位长度至点

2

Q处；第3步，从点

2

Q继续运动3t个单位长度至点

3

Q处…例如：当3

t=时，点1Q、2

Q、

3

Q的位置如图2所示.

解决如下问题：

（1）如果

4

t=，那么线段

13

Q Q=______；

（2）如果4

t<，且点

3

Q表示的数为3，那么t=______；

（3）如果2

t≤，且线段

24

2

Q Q=，那么请你求出t的值.

2．阅读理解：如图①，若线段AB在数轴上，A、B两点表示的数分别为a和b(b a

>），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为AB=b a

-.

请用上面材料中的知识解答下面的问题:如图②，一个点从数轴的原点开始，先向左移动

2cm到达P点，再向右移动7cm到达Q点，用1个单位长度表示1cm．

（1）请你在图②的数轴上表示出P，Q两点的位置；

（2）若将图②中的点P向左移动x cm，点Q向右移动3x cm，则移动后点P、点Q表示的数分别为多少？并求此时线段PQ的长.（用含x的代数式表示）；

（3）若P、Q两点分别从第⑴问标出的位置开始，分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动，设运动时间为t（秒），当t为多少时PQ=2cm？

3．已知AODα

∠=，OB、OC、OM、ON是AOD

∠内的射线．

(1)如图1，当160

α=?，若OM平分AOB

∠，ON平分BOD

∠，求MON

∠的大小；

(2)如图2，若OM平分AOC

∠，ON平分BOD

∠，20

BOC

∠=?，60

MON

∠=?，求α．

4．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，然后提出如下问题：求出∠MON的度数．

特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON、OD、OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和

∠BOD相等．

（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON的度数为°．图3中

∠MON的度数为°．

发现感悟

解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：

小明：由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．

小华：设∠BOD为x°，我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数，这样也能求出∠MON的度数．

（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON的度数．

类比拓展

受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出

∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON，他们认为也能求出∠MON的度数．

（3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON的度数；若不同意，请说明理由．

5．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；

（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．

6．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，12

2

x x

+

，123

3

x x x

++

，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，

()

21

2

+-

=

1

2

，

()

213

3

+-+

=

4

3

，所以数列2，-1，3的最佳值为

1

2

．

东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为

1

2

；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳

值的最小值为1

2

．根据以上材料，回答下列问题：

（1）数列-4，-3，1的最佳值为

（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；

（3）将2，-9，a（a＞

1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数

列的最佳值为1，求a的值．

7．问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.

探究一：将边长为2

的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长

为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：

边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；

边长为2的正三角形一共有1个.

探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为2的正三角形共有个.

探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

（仿照上述方法，写出探究过程）

结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三

角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？

（仿照上述方法，写出探究过程）

应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该

三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个.

8．如图，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数

之和都相等．

6a b x-1-2...

（1）可求得x =______，第 2021 个格子中的数为______；

（2）若前k 个格子中所填数之和为 2019，求k 的值；

（3）如果m ，n为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|m-n | 的和可以通过计算

|6-a|+|6-b|+|a-b|+|a-6| +|b-6|+|b-a| 得到．若m ，n为前8个格子中的任意两个数，

求所有的|m-n|的和.

9．如图，数轴上点A表示的数为4

-，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个

单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向

左匀速运动

.设运动时间为t秒(t0)

>．

()1A，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______；

()2用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______；

()3求当t为何值时，1

PQ AB

2

=？

()4若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发

生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长．

10．已知线段30

AB cm

=

（1）如图1，点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动，同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动，几秒钟后，P Q 、两点相遇？

（2）如图1，几秒后，点P Q 、两点相距10cm ？

（3）如图2，4AO cm =，2PO cm =，当点P 在AB 的上方，且060=∠POB 时，点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q 沿直线BA 自B 点向A 点运动，假若点P Q 、两点能相遇，求点Q 的运动速度．

11．已知：如图数轴上两点A 、B 所对应的数分别为-3、1，点P 在数轴上从点A 出发以每秒钟2个单位长度的速度向右运动，点Q 在数轴上从点B 出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P 的运动时间为t 秒．

（1）若点P 和点Q 同时出发，求点P 和点Q 相遇时的位置所对应的数；

（2）若点P 比点Q 迟1秒钟出发，问点P 出发几秒后，点P 和点Q 刚好相距1个单位长度；

（3）在（2）的条件下，当点P 和点Q 刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C ，使其到点A 、点P 和点Q 这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C

所对应的数，若不存在，试说明理由．

12．在数轴上，图中点A 表示－36，点B 表示44，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，相向而行，动点P 、Q 的运动速度比之是3∶2（速度单位：1个单位长度/秒）．12秒后，动点P 到达原点O ，动点Q 到达点C ，设运动的时间为t （t ＞0）秒．

（1）求OC 的长；

（2）经过t 秒钟，P 、Q 两点之间相距5个单位长度，求t 的值；

（3）若动点P 到达B 点后，以原速度立即返回，当P 点运动至原点时，动点Q 是否到达A 点，若到达，求提前到达了多少时间，

若未能到达，说明理由．

13．如图，直线l 上有A 、B 两点，点O 是线段AB 上的一点，且OA =10cm ，OB =5cm ． （1）若点C 是线段 AB 的中点，求线段CO 的长．

（2）若动点 P 、Q 分别从 A 、B 同时出发，向右运动，点P 的速度为4c m/s ，点Q 的速度为3c m/s ，设运动时间为 x 秒，

①当 x =__________秒时，PQ =1cm ；

②若点M 从点O 以7c m/s 的速度与P 、Q 两点同时向右运动，是否存在常数m ，使得

4PM+3OQ﹣mOM为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（3）若有两条射线OC、OD均从射线OA同时绕点O顺时针方向旋转，OC旋转的速度为6度/秒，OD旋转的速度为2度/秒.当OC与OD第一次重合时，OC、OD同时停止旋转，设旋转时间为t秒，当t为何值时，射线OC⊥OD？

14．如图，12cm

AB=，点C是线段AB上的一点，2

BC AC

=.动点P从点A出发，以3cm/s的速度向右运动，到达点B后立即返回，以3cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动. 设它们同时出发，运动时间为s t. 当点P与点Q 第二次重合时，P Q

、两点停止运动.

（1）求AC，BC；

（2）当t为何值时，AP PQ

=；

（3）当t为何值时，P与Q第一次相遇；

（4）当t为何值时，1cm

PQ=.

15．（阅读理解）

若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是（A，B）的优点．

例如，如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的优点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的优点，但点D是（B，A）的优点．（知识运用）

如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．

（1）数所表示的点是（M，N）的优点；

（2）如图③，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．(1)4；(2)

12或72；(3)27或2213

或2 【解析】

【分析】

(1)根据题目得出棋子一共运动了t+2t+3t=6t 个单位长度，当t=4时，6t=24,为MN 长度的整的偶数倍，即棋子回到起点M 处，点3Q 与M 点重合，从而得出13Q Q 的长度.

(2)根据棋子的运动规律可得，到3Q 点时，棋子运动运动的总的单位长度为6t,,因为t<4,由

(1)知道，棋子运动的总长度为3或12+9=21，从而得出t 的值.

(3)若t 2,≤则棋子运动的总长度10t 20≤,可知棋子或从M 点未运动到N 点或从N 点返回运动到2Q 的左边或从N 点返回运动到2Q 的右边三种情况可使242Q Q =

【详解】

解：(1)∵t+2t+3t=6t,

∴当t=4时，6t=24,

∵24122=?,

∴点3Q 与M 点重合，

∴134Q Q =

(2)由已知条件得出：6t=3或6t=21, 解得：1t 2=或7t 2

= (3)情况一：3t+4t=2, 解得：2t 7

= 情况二：点4Q 在点2Q 右边时：3t+4t+2=2(12-3t) 解得：22t 13

= 情况三：点4Q 在点2Q 左边时：3t+4t-2=2(12-3t)

解得：t=2.

综上所述：t 的值为，2或

27或2213

. 【点睛】

本题是一道探索动点的运动规律的题目，考查了学生数形结合的能力，探索规律的能力，用一元一次方程解决问题的能力.最后要注意分多种情况讨论.

2．（1）见详解；（2）2x --，53x +，47x +；（3）当运动时间为5秒或9秒时，PQ=2cm.

【解析】

【分析】

（1）根据数轴的特点，所以可以求出点P ，Q 的位置；

（2）根据向左移动用减法，向右移动用加法，即可得到答案；

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①点P 在点Q 的左边时；②点P 在点Q 的右边时；分别进行列式计算，即可得到答案.

【详解】

解：（1）如图所示：

.

（2）由（1）可知，点P 为2-，点Q 为5；

∴移动后的点P 为：2x --；移动后的点Q 为：53x +；

∴线段PQ 的长为：53(2)47x x x +---=+；

（3）根据题意可知，

当PQ=2cm 时可分为两种情况：

①当点P 在点Q 的左边时，有

(21)72t -=-， 解得：5t =；

②点P 在点Q 的右边时，有

(21)72t -=+，

解得：9t =；

综上所述，当运动时间为5秒或9秒时，PQ=2cm.

【点睛】

本题要是把方程和数轴结合起来，既要根据条件列出方程，又要把握数轴的特点．解题的关键是熟练掌握数轴上的动点运动问题，注意分类讨论进行解题.

3．（1）80°；（2）140°

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义得∠BOM=12∠AOB ，∠BON=12

∠BOD ，再根据角的和差得∠AOD=∠AOB+∠BOD ，∠MON=∠BOM+∠BON ，结合三式求解；（2）根据角平分线的定

义∠MOC=

12∠AOC ，∠BON=12

∠BOD ，再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC ，∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC 结合三式求解.

【详解】

解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，

∴∠BOM=1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOD，

∴∠MON=∠BOM+∠BON=1

2

∠AOB+

1

2

∠BOD=

1

2

(∠AOB+∠BOD).

∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，

∴∠MON=1

2

×160°=80°；

（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠MOC=1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD，

∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC，

∴∠MON=1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD -∠BOC=

1

2

(∠AOC+∠BOD )-∠BOC.

∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠AOC=∠AOB+∠BOC,

∴∠MON=1

2

(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=

1

2

(∠AOD+∠BOC )-∠BOC，

∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°,

∴60°=1

2

(α+20°)-20°,

∴α=140°.

【点睛】

本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键.

4．（1）135，135；（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣1

2

x°）+x°+

（45°﹣1

2

x°）＝135°.

【解析】【分析】

（1）由题意可得，∠MON＝1

2

×90°+90°，∠MON＝

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD+∠COD，即可

得出答案；

（2）根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON ＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案；

（3）设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，进而求出∠MOC和∠BON，又∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON，即可得出答案.

【详解】

解：（1）图2中∠MON＝1

2

×90°+90°＝135°；图3中∠MON＝

1 2∠AOC+

1

2

∠BOD+∠COD＝

1

2

（∠AOC+∠BOD）+90°＝

1

2

?90°+90°＝135°；

故答案为：135，135；

（2）∵∠COD＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，

∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，

∴∠MOC+∠NOD＝1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD＝

1

2

（∠AOC+∠BOD）＝45°，

∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°；（3）同意，

设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，

∴∠MOC＝1

2

∠AOC＝

1

2

（180°﹣x°）＝90°﹣

1

2

x°，

∠BON＝1

2

∠BOD＝

1

2

（90°﹣x°）＝45°﹣

1

2

x°，

∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝（90°﹣1

2

x°）+x°+（45°﹣

1

2

x°）＝135°．

【点睛】

本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握，此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解.

5．（1）35°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由详见解析；（3）4．

【解析】

【分析】

（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE﹣∠BOF求解；

（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可；

（3）根据题意得∠BOF＝（3t+14）°，故

3

31420

2

t t

+=+，解方程即可求出t的值．

【详解】

解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

∴

11

AOE AOC110

22

?

∠=∠=?＝55°，

11

AOF BOD4020

22

??

∠=∠=?=，

∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°；

（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值

由题意∠BOC＝3t°，

则∠AOC＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°＝40°+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

()11AOE AOC 1103t =22??∴∠=

∠=?+3552t ??+ ∴()

113BOF BOD 403t 20t 222????∠=∠=+=+， ∴33AOE BOF 55t 20t 3522?????????∠-∠=+-+= ? ??

???， ∴∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，定值为35°；

（3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°， ∴3314202t t +=+

， 解得4t =．

故答案为4．

【点睛】

本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．

6．（1）3；（2）

12；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10． 【解析】

【分析】

（1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可；

（2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|?3＋2|＝1，由此得出答案即可；

（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a 的数值即可．

【详解】

（1）因为|?4|＝4，-4-3

2＝3.5，-4-31

2+＝3，

所以数列?4，?3，1的最佳值为3．

故答案为：3；

（2）对于数列?4，?3，2，因为|?4|＝4，

432--＝72，432||2--＋＝52， 所以数列?4，?3，2的最佳值为52

； 对于数列?4，2，?3，因为|?4|＝4，||422-＋＝1，432||2--＋＝52

， 所以数列?4，2，?3的最佳值为1； 对于数列2，?4，?3，因为|2|＝2，224

-＝1，432||2--＋＝52

， 所以数列2，?4，?3的最佳值为1；

对于数列2，?3，?4，因为|2|＝2，2

2

3

-

＝

1

2

，

432

||

2

--＋

＝

5

2

，

所以数列2，?3，?4的最佳值为1 2

∴数列的最佳值的最小值为2

2

3

-

＝

1

2

，

数列可以为：?3，2，?4或2，?3，?4．

故答案为：1

2

，?3，2，?4或2，?3，?4．

（3）当2

2

a

＋

＝1，则a＝0或?4，不合题意；

当

9

2

a

-＋

＝1，则a＝11或7；

当a＝7时，数列为?9，7，2，因为|?9|＝9，

97

2

-＋

＝1，

972

2

-+

＋

＝0，

所以数列2，?3，?4的最佳值为0，不符合题意；

当

97

2

a

-+

＋

＝1，则a＝4或10．

∴a＝11或4或10．

【点睛】

此题考查数字的变化规律，理解新定义运算的方法是解决问题的关键．

7．探究三：16,6；结论：n2,;应用：625，300.

【解析】

【分析】

探究三：模仿探究一、二即可解决问题；

结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2

的正三角形共有个；

应用：根据结论即可解决问题.

【详解】

解：探究三：

如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有

个；

边长为2的正三角形有个.

结论：

连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有

个，共有

个； 边长为2的正三角形，共有

个. 应用： 边长为1的正三角形有

=625（个）， 边长为2的正三角形有

（个）. 故答案为探究三：16,6；结论：n2,

;应用：625，300. 【点睛】

本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．

8．（1）6，-1；（2）2019或2014；（3）234

【解析】

【分析】

（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a 、x 的值，再根据第9个数是-2可得b =-2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．

（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．

（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．

【详解】

（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴6+a +b =a +b +x ，解得x =6，a +b +x =b +x -1，∴a =-1，所以数据从左到右依次为6、-1、b 、6、-1、b ，第9个数与第三个数相同，即b =-2，所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环．

∵2021÷3=673…2，∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为-1． 故答案为：6，-1．

（2）∵6+（-1）+（-2）=3，∴2019÷3=673．

∵前k 个格子中所填数之和可能为2019，2019=673×3或2019=671×3+6，∴k 的值为：673×3=2019或671×3+1=2014．

故答案为：2019或2014．

（3）由于是三个数重复出现，那么前8个格子中，这三个数中，6和-1都出现了3次，-2出现了2次．

故代入式子可得：（|6+2|×2+|6+1|×3）×3+（|-1-6|×3+|-1+2|×2）×3+（|-2-6|×3+|-2+1|×3）×2=234．

【点睛】

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，规律推导的运用，此类题的关键是找出是按什么规律变化的，然后再按规律找出字母所代表的数，再进行进一步的计算．

9．（1）20,6；（2）43t -+，162t -；（3）t 2=或6时；（4）不变，10，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由数轴上两点距离先求得A ，B 两点间的距离，由中点公式可求线段AB 的中点表示的数；

（2）点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发，向右为正，所以-4+3t ；

Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t.

（3）由题意,1PQ AB 2

=

表示出线段长度，可列方程求t 的值； （4）由线段中点的性质可求MN 的值不变．

【详解】 解：()1点A 表示的数为4-，点B 表示的数为16，

A ∴，

B 两点间的距离等于41620--=，线段AB 的中点表示的数为

41662

-+= 故答案为20，6 ()2点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

∴点P 表示的数为：43t -+，

点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，

∴点Q 表示的数为：162t -，

故答案为43t -+，162t -

()13PQ AB 2= ()43t 162t 10∴-+--=

t 2∴=或6

答：t 2=或6时，1PQ AB 2

= ()4线段MN 的长度不会变化，

点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，

1PM PA 2∴=，1PN PB 2

= ()1MN PM PN PA PB 2∴=-=

- 1MN AB 102

∴== 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程是本题的关键．

10．（1）6秒钟;（2）4秒钟或8秒钟；（3）点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s ．

【解析】

【分析】

（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇，根据题意可得方程2330t t +=，解方程即可求得t 值；（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，分相遇前相距10cm 和相遇后相距10cm 两种情况求解即可；（3）由题意可知点P Q 、只能在直线AB 上相遇，由此求得点Q 的速度即可.

【详解】

解：（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇．

依题意，有2330t t +=，

解得：6t =．

答：经过6秒钟后，点P Q 、相遇；

（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，由题意得

231030x x ++=或231030x x +-=，

解得：4x =或8x =．

答：经过4秒钟或8秒钟后，P Q 、两点相距10cm ；

（3）点P Q 、只能在直线AB 上相遇，

则点P 旋转到直线AB 上的时间为：

()120430s =或()1201801030

s +=， 设点Q 的速度为/ycm s ，则有4302y =-， 解得：7y =；

或10306y =-，

解得 2.4y =，

答：点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s ．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的综合应用解决第（2）（3）问都要分两种情况进行讨论，注意不要漏解.

11．（1）13-；（2）P 出发

23秒或43

秒；(3)见解析. 【解析】

【分析】

(1)由题意可知运动t 秒时P 点表示的数为-3+2t ，Q 点表示的数为1-t ，若P 、Q 相遇，则P 、Q 两点表示的数相等，由此可得关于t 的方程，解方程即可求得答案；

(2)由点P 比点Q 迟1秒钟出发，则点Q 运动了(t+1)秒，分相遇前相距1个单位长度与相遇后相距1个单位长度两种情况分别求解即可得；

(3)设点C 表示的数为a ，根据两点间的距离进行求解即可得.

【详解】

(1)由题意可知运动t 秒时P 点表示的数为-5+t ，Q 点表示的数为10-2t ；

若P ，Q 两点相遇，则有

-3+2t=1-t ，

解得：t=43

， ∴413233

-+?=-， ∴点P 和点Q 相遇时的位置所对应的数为1

3-；

(2)∵点P 比点Q 迟1秒钟出发，∴点Q 运动了(t+1)秒，

若点P 和点Q 在相遇前相距1个单位长度，

则()2t 1t 141+?+=-， 解得：2t 3

=； 若点P 和点Q 在相遇后相距1个单位长度，

则2t+1×(t+1) =4+1， 解得：4t 3

=， 综合上述，当P 出发

23秒或43

秒时，P 和点Q 相距1个单位长度； (3)①若点P 和点Q 在相遇前相距1个单位长度， 此时点P 表示的数为-3+2×23=-53，Q 点表示的数为1-(1+23)=-23

， 设此时数轴上存在-个点C ，点C 表示的数为a ，由题意得 AC+PC+QC=|a+3|+|a+

53|+|a+23|， 要使|a+3|+|a+53|+|a+23

|最小， 当点C 与P 重合时，即a=-

53

时，点C 到点A 、点P 和点Q 这三点的距离和最小； ②若点P 和点Q 在相遇后相距1个单位长度， 此时点P 表示的数为-3+2×43=-13，Q 点表示的数为1-(1+43)=-43

， 此时满足条件的点C 即为Q 点，所表示的数为43-

， 综上所述，点C 所表示的数分别为-

53和-43

. 【点睛】 本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，正确理解数

轴上两点间的距离，从中找到等量关系列出方程是解题的关键.本题也考查了分类讨论思想.

12．（1）20；（2）t=15s或17s （3）4 3 s.

【解析】

【分析】

（1）设P、Q速度分别为3m、2m，根据12秒后，动点P到达原点O列方程，求出P、Q 的速度，由此即可得到结论．

（2）分两种情况讨论：①当A、B在相遇前且相距5个单位长度时；②当A、B在相遇后且相距5个单位长度时；列方程，求解即可．

（3）算出P运动到B再到原点时，所用的时间，再算出Q从B到A所需的时间，比较即可得出结论．

【详解】

（1）设P、Q速度分别为3m、2m，根据题意得：12×3m=36，解得：m=1，∴P、Q速度分别为3、2，∴BC=12×2=24，∴OC=OB－BC=44－24=20．

（2）当A、B在相遇前且相距5个单位长度时：3t＋2t＋5=44＋36，5t=75，∴t=15（s）；

当A、B在相遇后且相距5个单位长度时：3t＋2t－5=44＋36，5t=85，∴t=17（s）．

综上所述：t=15s或17s．

（3）P运动到原点时，t=364444

3

++

=

124

3

s，此时QB=2×

124

3

=

248

3

＞44+38=80，∴Q

点已到达A点，∴Q点已到达A点的时间为：364480

40

22

+

==（s），故提前的时间

为：124

3

－40=

4

3

（s）．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用-行程问题以及数轴上的动点问题．解题的关键是找出等量关系，列出方程求解．

13．（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由见解析；（3）t=22.5和67.5

【解析】

【分析】

（1）先求出线段AB的长，然后根据线段中点的定义解答即可；

（2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可；

②先表示出PM、OQ、OM的长，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使

4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解方程即可；

（3）分两种情况讨论，画出图形，根据图形列出方程，解方程即可．

【详解】

（1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm．

∵点C是线段AB的中点，∴AC=AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）．

（2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16．

②∵PM=10+7x-4x=10+3x，OQ=5+3x，OM=7x，∴4PM+3OQ﹣

mOM=4（10+3x）+3（5+3x）-7mx=55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解得：m=3，此时定值为55．

（3）分两种情况讨论：①如图1，根据题意得：6t-2t=90，解得：t=22.5；

②如图2，根据题意得：6t+90=360+2t，解得：t=67.5．

综上所述：当t=22.5秒和67.5秒时，射线OC⊥OD．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是分类讨论．

14．（1）AC=4cm, BC=8cm；(2)当

4

5

t=时，AP PQ

=；(3)当2

t=时，P与Q第一次相遇；(4)

3519

1cm.

224

t PQ=

当为，，时，

【解析】

【分析】

（1）由于AB=12cm，点C是线段AB上的一点，BC=2AC，则AC+BC=3AC=AB=12cm，依此即可求解；

（2）分别表示出AP、PQ，然后根据等量关系AP=PQ列出方程求解即可；

（3）当P与Q第一次相遇时由AP AC CQ

=+得到关于t的方程，求解即可；

（4）分相遇前、相遇后以及到达B点返回后相距1cm四种情况列出方程求解即可．

【详解】

（1）AC=4cm, BC=8cm.

(2) 当AP PQ

=时，AP3t,PQ AC AP CQ43t t

==-+=-+,

即3t43t t

=-+,解得

4

t

5

=.

所以当

4

t

5

=时，AP PQ

=.

(3) 当P与Q第一次相遇时，AP AC CQ

=+,即3t4t

=+,解得t2

=.

所以当t2

=时，P与Q第一次相遇.

(4)()()

P,Q1cm,4t3t13t4t1

+-=-+=

因为点相距的路程为所以或，

35

t t

22

解得或

==，

P B P,Q1cm

当到达点后时立即返回，点相距的路程为，

193t 4t 1122,t 4

+++=?=则解得， 3519t PQ 1cm.224

所以当为，，时，= 【点睛】

此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系以及分类讨论思想是解决问题的关键．

15．（1）2或10；（2）当t 为5秒、10秒或7.5秒时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点．

【解析】

【分析】

（1）设所求数为x ，根据优点的定义分优点在M 、N 之间和优点在点N 右边，列出方程解方程即可；（2）根据优点的定义可知分三种情况：①P 为（A ，B ）的优点；②P 为（B ，A ）的优点；③B 为（A ，P ）的优点．设点P 表示的数为x ，根据优点的定义列出方程，进而得出t 的值．

【详解】

解：（1）设所求数为x ，

当优点在M 、N 之间时，由题意得x ﹣（﹣2）=2（4﹣x ），解得x=2；

当优点在点N 右边时，由题意得x ﹣（﹣2）=2（x ﹣4），解得：x=10；

故答案为：2或10；

（2）设点P 表示的数为x ，则PA=x+20，PB=40﹣x ，AB=40﹣（﹣20）=60，

分三种情况：

①P 为（A ，B ）的优点．

由题意，得PA=2PB ，即x ﹣（﹣20）=2（40﹣x ），

解得x=20，

∴t=（40﹣20）÷4=5（秒）；

②P 为（B ，A ）的优点．

由题意，得PB=2PA ，即40﹣x=2（x+20），

解得x=0，

∴t=（40﹣0）÷4=10（秒）；

③B 为（A ，P ）的优点．

由题意，得AB=2PA ，即60=2（x+20）

解得x=10，

此时，点P 为AB 的中点，即A 也为（B ，P ）的优点，

∴t=30÷4=7.5（秒）；

综上可知，当t 为5秒、10秒或7.5秒时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解优点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qywl.html