新商品申请-亚式期权

亚式期权模型评价

一、亚式期权商品说明

亚式期权与一般期权之不同，在于其「平均」之概念。其方式可分为资产价格平均（Average Rate Options: ARO）或履约价平均（Average Strike Options: ASO）两种，以前者较为常见，其到期之报酬是由过去标的资产之平均价格与履约价格之差别而定，而非一般期权由标的资产到期价格与履约价格而定。由于平均价格之波动性低于标的资产价格，故亚式期权之价格较一般期权为低。以下列出各种亚式期权之到期报酬支付形式：

资产价格平均：

(F(0,T))?K,0] 看涨：Max[Average看跌：Max[K履约价平均： 看涨：Max[FT?Average(F(0,T)),0]

?Average(F(0,T)),0)

(F(0,T))?FT,0] 看跌：Max[Average其中

FT＝标的资产到期价格

K =履约价 T =期权到期日

二、亚式期权定价模型与模型测试 （一)亚式期权之定价模型

亚式期权之平均方式又可分为「几何平均」与「算数平均」。假设资产价格

呈log-normal分布时，由于log-normal分布之几何平均本身亦为log-normal分布，故几何平均亚式期权可依据Black-Scholes模型加以更改，得到良好的公式解。但一般实务上仍以算数平均期权较为常见，由于log-normal分布之算数平均不为log-normal分布，算数平均期权之评价较为困难。因计算过程繁复，

1

算数平均亚式期权难以用数值法评价，也难以找出精确的公式解，一般都以近似之方法求出逼近之公式解，或是使用如Monte Carlo simulation等模拟法。 考虑标的物动态

dFT??FTdt??FTdW(T),T?0

这里?是一固定数W(T) 是一个标准布朗运动，?是一个波动度常数 这里 t0 式开始平均标的物的时刻，设定 t?t0?T

我们把观察期分成 t1,t2,...,tn。(执行价通常为一个月的观察期报价平均)

t:期权开始日

t0:期权开始平均

T:期权到期日

1nA(t0,T)??Fi为一个算术平均术

ni?1 且

??G???Fi? 为一个几何平均

?i?1? 目标

看涨：CS?Ee?rTMax[Average(F(0,T))?K,0] (1) 看跌：PS?Ee?rTMax[K?Average(F(0,T)),0] (2) 看涨：CA?Ee?rTMax[ST?Average(F(0,T)),0) (3) 看跌：PA?Ee?rTMax[Average(F(0,T))?FT,0] (4)

这里是一个亚式期权四种型态，到期日为T， 主要方法

2

n1n????????A?G*Aprxm

这里，Aprxm是个误差调整项 性质1误差调整项的平均值

2E?Aprxm??1?(n?1)?1??2?2?n?12?t??????? ?2?2????t?n??2?1??3n2?2??n2???8?1?15n3??2?????23n2?2?????t??16n2?4?t2??? ?1???n2??1??t?22??1??2?2?2?????12??2?????2????t?n??? ????t?(T?t0)/n 且

Var?Aprxm??0 当 ?t?0

性质2几何平均的变异数

?2?G(T?t)??2??t?n?1??2n?1??0?t??6n2?T?t0????

???22???G?G?2????????n?1?(T?t)?????2????t0?t?2n?T?t0????

因此平均算术平均数为

2 A(t0,T)?E?Aprxm?F??texp???G???????G?2??(T?t)??GW(T?t)??为一个几何布朗动态 股价亚式看涨期权评价公式 型态一

CS?E?e?rTMax[Average(F(0,T))?K,0]?

?e?r(T?t)?FtE?Aprxm?e?G(T?t)?(d1)?K?(d2)? 3

5） （

E?Aprxm?Ft??2?ln???G??(T?t)??K2?? 且 d2?d1??GT?t d1??GT?t型态二

PS?E?Max[K?Average(F(0,T)),0]?

?e?r(T?t)K?(?d2)?FtE?Aprxm?e?G(T?t)?(?d1) （6）

E?Aprxm?Ft??2?ln????G?2??(T?t)K??其中 d1? 且 d2?d1??GT?t

?GT?t?(?)是标准正态的累积机率密度函数

?? 型态三

CA?Ee?rTMax[ST?Average(F(0,T)),0)

???e?r(T?t)Ft?(d1)?E?Aprxm?e?G(T?t)?(d2) （7）

?1?2?ln???G???(T?t)E?Aprxm??2??这里 d1? 且 d2?d1??T?t

?T?t2?2??2??G?2???G，关系系数??corr?lnF(T),lnA(t0,T)?

??型态四

看跌：PA?Ee?rTMax[Average(F(0,T))?FT,0]

???e?r(T?t)FtE?Aprxm?e?G(T?t)?(d2)??(d1) (8)

?1?2?ln???G??(T?t)??E?Aprxm??2?其中d1? 且 d2?d1??T?t

?T?t2?2??2??G?2???G，关系系数??corr?lnS(T),lnA(t0,T)?

??

此公式为半封闭解（Semi-closed form），因为我们使用几何平均的变异数

4

来代替算术平均数的变异数，理论上变异数变小，期权的价值变小,在特殊情形下都可以适用,特别是一开始没有以实现的期货价格进来的时候可以使用。 在一般的情状之下,我们需要使用蒙地卡罗来实现定价的原理。 二、蒙地卡罗的仿真模拟

由于亚式期权为一种新奇期权，因此，在模型研发上，尤须了解其定价模型

之收敛效果及对各种参数之敏感性。我们采用Monte Carlo为其定价模型，故在模型测试上着重于评估其敏感性。我们将分成ARO 与 ASO 分别在 2.1节与2.2 讨论分析：

2.1亚式期权定价模型测试 (Call options of the ARO)

以下将以一组实际数据来进行本公司研发之模型在定价亚式期权上的敏感

性分析，测试结果显示，本公司所采用之评价模型，在价格及避险参数的表现上都与产品特性相符。我们假设有一算数平均亚式ARO看涨的发行条款进行如下分析：

（1）ARO权利金对标的物的初始价格F0与到期日??T-t的分析

假定??T-t为X轴范围是从一个月到一年,是合同剩余时间,随着时间的推

移, ?也随个变小,所实限的过去价格都是以 F0是为目前价格,为Y轴范围是从220块到260 块「1」, 以图 2-1-1说明如下,其他参数整理如下： 参数如表2-1-1 履约价格 标的资产波动率 ? 13% 无风险利率 r 6% 蒙地卡罗 100000 每天一个观察期 K 240元

1

以下我们所划的图.都是以该条件之下成立而言

5

图 2-1-1权利金对标的物的初始价格F0与到期日T

2.2亚式期权定价模型测试 (Call option of the ASO) 以下将以一组实际数据来进行本公司研发之模型在定价亚式期权上的敏感性分析，测试结果显示，本公司所采用之评价模型，在价格及避险参数的表现上都与产品特性相符。我们假设有一算数平均亚式ASO看涨的发行条款如下： (1) 履约价平均（ASO）权利金对标的物的初始价格F0与到期日??T-t的分析 假定??T-t为X轴范围是从一个月到一年, F0为Y轴范围是从220块到260 ,其他参数整理如下： , 表2-2-1

标的资产波动率 13%

无风险利率 6% 蒙地卡罗 每天一个观察值 100000 6

根据图2-2-1权利金对标的物的初始价格F0与到期日??T-t的分析

根据图2-2-1,我们发现权利金在1.5快到六块多,时间的影响相对标的物的

起始价多,时间越长权利金越高,在标的物的起始价格上影响相对少这与ARO的亚式不同,我们特别的注意到在初始的时候会抖降权利金,这是因为ASO 起初的执行价格与标的物的本身价格有关,这特性会在期出避险的时别重要。 总之,存续期间愈长，则随时间越容易价内,则期权之价格亦愈高这些都与一般期权之看涨特性相符,但亚式期权有另一特性，那就是若期权已生效一段时间，过去已发生的的平均价格就会影响期权价格，接近到期日时（或者是平均的天数越长），平均价格的影响力将高于后期标的物资产价格。

三、亚式期权之风险冲销策略

（一）亚式期权风险特性之分析 基本上，亚式期权与一般型期权同样拥有期权的基本风险参数，即delta、gamma、vega、theta和rho。 避险参数可由下列式子蒙地卡罗的方式计算

7

???ff(S?0.5*?S,?)?f(S?0.5*?S,?)? ?S?S???deltaf(S??S,?)?2f(S,?)?f(S??S,?) ?2?S(?S)vega??ff(??0.5*??,?)?f(??0.5*??,?)? ?????ff(r?0.5*?r?)?f(r?0.5*?r,?)Rho??

?r?r这里我们在实务上是使用

vega??f?f(??0.01,?)?f(?,?)

这里的 Theta[2]为了顾及程序的效率性，我们不再让它用蒙地卡罗产生,所以我

们去解Black-Scholes partial difference equation,如下

??rc??rS???2S2

然后在呈现 ?*1/245(交易日)如下面圖形

亚式其与一般型期权最大差别在于其到期报酬决定取决于多期之平均价格，

12而非单一时点价格。分析亚式期权（ARO,ASO）风险分叙述特性如下：

3.1.1资产价格平均(ARO)避险值探究

资产价格平均(ARO)：Delta对初始价格F0与到期日T的分析,这里的时间是指现在到合约到期的时间长度??T-t。以下我们改用符号? 表3.1.1 履约价格 标的资产波动率 ? K 240元 13% 无风险利率 r 6% 蒙地卡罗 100000 每天一个观察值

2

,?)?f(?,?) 这里的时间 这里的一般监测风险时是用Theta?-?f?f(??1/245?是合同剩余的时间,上面两个均以单位化的表示

8

图3.1.1 Delta对初始价格F0与到期日?的分析(for ARO)

我们展现一个避险值, 假定F0为X轴范围是从220块到260 ?为Y轴范围是

从一个月到一年,我们可以发现到当起始价格改变时 改变时,Delta的值比较大,整体而言,Delta 值在标的的起始值大的比较接近一。 我们使用相同的数据来看Gamma 避险值的表现。

9

图3.1.2 Gamma对初始价格F0与到期日??T-t的分析(for ARO)

在图形中在相对时间的影响之下，我们发现标的物的起始价格对Gamma的影响还是比较大,因此在避险的delta neutral 之下 我们发现亚式选择权的变动量在相较一般欧式选择权之下式相对小的。

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图3.1.3 Vega对初始价格F0与到期日?的分析(for ARO)

我们可以发现到当?改变时, Vega的值比较大,在期权平值得时候影响也大,

整体而言Vega 变化很大。

11

图3.1.4 Theta对初始价格F0与到期日?的分析(for ARO)

整体而言Theta 只对标的物的起始价格变化影响较大，本图展示的是期权剩余

「3」

价值的时间,也就是我们是对 ??T-t 的时间。

3

一般而言是对 是对T?t的小t作微分

12

图3.1.5 Rho对初始价格F0与到期日?的分析(for ARO)

整体而言Rho 只对标的物的到期时间长短变化影响较大

我们展现一个避险值, 假定F0为X轴范围是从220块到260块, ?为Y轴范

围是从一个月到一年,我们可以发现到当起始价格改变时 改变时,Delta的值比较大,整体而言,离值为一的Delta 很小(离值为一很远)。 3.2.1 履约价平均(ASO)避险值探究 Delta对初始价格F0与到期日?的分析 表3-2-1

标的资产波动率 无风险利率 13%

6% 蒙地卡罗 100000

图3-2-1履约价平均(ASO)：Delta对初始价格F0与到期日?

重视期初之避险,亚式期权另一特性是其各种风险系数在期末时均为最高，

而之后慢慢上升。在到期时拉长后因为delta并不趋近1，并不需要持有一对一之避险部位，也因此其避险成本较为低廉，故其价格也较为低廉。但若本公司是

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期权之卖方，相对而言能收取之权利金亦较低，故仍须在避险上妥善处理。

图3-2-2履约价平均(ASO)：Gamma对初始价格F0与到期日?

因为这类的亚式选择权执行价与标的资产的变动有关,因此在Gamma的改变量特别小,因此在避险值比较不需要时时变动Delta。

图3-2-3履约价平均(ASO)：Vega对初始价格F0与到期日?

对此类的选亚式选择权在波动度的Vega避险仍需特别注意,尤其是时间变长的时候,这里我们特别的注意到我们已经使用每百分之一的变动量为单位。

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图3-2-4履约价平均(ASO)：Theta对初始价格F0与到期日?

亚式选择权通通常到期的时间,都会比较长因此在长时间之下, Theta值会变得比较大, 所以我们要别别注意长天期的亚选择权。

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图3-2-5履约价平均(ASO)：Rho对初始价格F0与到期日?

由图型观之, 短天期亚式选择权是较容易受到利率的影响,但是在市面上通常是长天期的亚式选择权。 总之,在避险参数上

1.亚式期权也有异于一般期权，delta在期初时期容易受到自身价格的影响

平均执行价,因此值不大，随着到期日接近而上升。这是因为随着到期日接近，在期权后期的时候平均价格多已决定，亚式期权的表现会与一般欧式的期权无异,新的价格变动所产生之风险降低之故。一面可以推测若初始的价格高于平均价格,到到期日越短的后期则delta的避险参数越高,但是整体而言还是离一很远。 2. Vega 因为在执行价为平均价格，所以在波动度对期权的权利金影响之下，较一般的期权小。

四、亚式期权风险特性之分析

1、已发生平均价格是重要影响因素

亚式期权到期报酬是由平均价格决定，因此已发生之资产平均价格是决定期

权价格的重要因素，尤其愈接近到期日时，如图2-1-1及图2-2-1所示，平均价格之到期日长短之影响力将高于标的资产价格，这是亚式期权之特性。 2、重视期初之避险

亚式期权另一特性是其各种风险系数在期初时均为最高，而后慢慢下滑。以

看涨为例，即使处于价内，在到期时因为delta并不趋近1，并不需要持有一对一之避险部位，也因此其避险成本较为低廉，故其价格也较为低廉。但若本公司是期权之卖方，相对而言能收取之权利金亦较低，故仍须在避险上妥善处理。对于亚式期权，本公司将加强期初的情境分析，仿真在各种资产价格下对避险参数之影响，据此做为避险的参考。

四、系统要求

1.本程序语言使用 MATLABr2012B, 在Windows 7, 处理器Intel（R） Core(TM） i7-4790 CPU@3.60GHz 3.6Ghz。

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2.附录一 是蒙地卡罗 ARO 含避险值 附录二 是蒙地卡罗ASO含避险值

3.亚式与普通欧式选择权情况不同，无法建制在原系统上,日后会逐一建制，因此在交易系统建制后会出现在每日损益报表上。

4.序语言使用 MATLABr2012B, 在Windows 7, 处理器intel Core TM i7-4790 CPU@3.60GHz 3.6Ghz。

5. 每次模拟标的价格路径十万次,平均每个值的计算时间在0.12-0.2秒之间,在盘中交易时间内,每隔0.5秒进行一次运算。

Reference

Sum,J.,Chen,J., and Li,S.'A Qusi- Analytical pricing model for arithmetic asian option'The Journal of Futures Markets 12,1143-1166 (2013)

陈松男教授，《期权投资交易策略》(Option Trading Strategies) 台湾:新陆书局，2013 陈松男教授，《金融工程学》 (Financial Engineering) 台湾:新陆书局，2008，3版 陈松男教授，《投资组合管理与资产配置策略》台湾:新陆书局，2009

陈松男教授，《利率衍生品设计原理与应用：案例分析》北京:机械工业出版社，2014年7月

陈松男教授，《结构式金融产品设计与应用(一)：案例分析》北京:机械工业出版社2014 陈松男教授，《结构式金融产品设计与应用(二) ：案例分析》北京:机械工业出版社2014 陈松男教授，《信用挂钩产品设计与应用：案例分析》北京:机械工业出版社2014 陈松男教授，《金融数学与随机微积分》台湾: 新陆书局，2007

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附录一 ARO

% callputflag: it chose call(a=1)（averge-K）^+ or put(a=－1) options % s is initial value %标的物起始价

% T is time to maturity dat % %存续时间 of 年化交易日 ％剩余交易天数%1年245

% r is risk-free rate %无风险利率 年化 % v is volatility %波动度 年化

% nSteps is time step %时间轴的模拟从左到右交易日 % nSimulations is time of simulation %模拟次数由上往下

% Slast is sum of realized price /N2 %已实现的价格(收盘价)除 契约天数交易日 % N2 is days of contract (trading day ) %契约天数交易日 % Dividend is Dividend of stock %股息

% a is weight of average stock priceb (not equal zeros) %平均价格权重

function [y, delta,Gamma,Vega,Rho,Theta]= AsianOption_AverageRate(callputflag, s, T,r, v,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend ,a) randn('seed',1);

randMat=randn(nSimulations,nSteps); dt=T/nSteps;

if Dividend<0 %futures %futures flag=-1 z= (-0.5*v^2)*dt+v*sqrt(dt)*randMat; else

z= (r-Dividend-0.5*v^2)*dt+v*sqrt(dt)*randMat; end

zz=cumsum(z,2); Smat=s*exp(zz);

AvgS=sum(Smat,2)/N2+Slast;

y= mean(max((a*AvgS-K)*callputflag,0))*exp(-r*T);

if nargout==1 return end

% hedge ratio ds=0.001;

delta_1=AsianOption_AverageRate(callputflag, s+0.5*ds, T,r, v,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend ,a);

delta_2=AsianOption_AverageRate(callputflag, s-0.5*ds, T,r, v,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend ,a); delta=(delta_1-delta_2)/(ds);

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if nargout==2 return end

Gamma=(delta_1-2*y+delta_2)/(0.5*ds)^2;

if nargout==3 return end

vega_1=AsianOption_AverageRate(callputflag, s, T,r, v+0.01,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend,a); vega_2=AsianOption_AverageRate(callputflag, s, T,r, v,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend,a);

Vega=(vega_1-vega_2);%已經使用每單(一天)位波動度百分比為分母; if nargout==4 return end

dr=0.0001;

rho_1=AsianOption_AverageRate(callputflag, s,

T,r+0.5*dr,v,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend ,a); rho_2=AsianOption_AverageRate(callputflag, s,

T,r-0.5*dr,v,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend ,a); Rho=(rho_1-rho_2)/dr;

% %此写法风空二部说有问题 %(1.)不能计算最後一天

%（2.）当少一天时t再取乱数时有问题

% theta_1=AsianOption_AverageRate(callputflag, s, T-1/245,r, v,nSteps,nSimulations,K,Slast+s/N2,N2,Dividend,a); % theta_2=AsianOption_AverageRate(callputflag, s, T,r, v,nSteps,nSimulations,K,Slast,N2,Dividend ,a);

% Theta=(theta_1-theta_2);%已經使用每單(一天)为百分比為分母;; % if nargout==5 % return % end

theta=r*y-delta*r*s-0.5*Gamma*v^2*s^2; Theta=theta*1/245;

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附录二 ASO

êllputflag: it chose call(a=1)(ST-a*avergS) or putoptions (a=-1)(a*avergS-ST) % s is initial value %标的物起始价

% T is time to maturity dat % %存续时间的交易日％剩余交易天数 % r is risk-free rate %无风险利率 % v is volatility %波动度

% nSteps is time step %时间轴的模拟从左到右 % nSimulations is time of simulation %模拟次数由上往下

% Slast is sum of realized price /N2 %已实现的价格(收盘价)和除契约天数的交易日

% N2 is days of contract (trading day ) %契约天数的交易日 % Dividend is Dividend of stock %股息

% a is weight of average stock priceb (not equal zeros) %平均价格权重

function [y, delta,Gamma,Vega, Theta, Rho]= AsianOption_AverageStrike(callputflag, s, T,r, v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a) randn('seed',1);

randMat=randn(nSimulations,nSteps); dt=T/nSteps;

if Dividend<0 %futures flag=-1

z= ( -0.5*v^2)*dt+v*sqrt(dt)*randMat; else

z= (r-Dividend-0.5*v^2)*dt+v*sqrt(dt)*randMat; end

zz=cumsum(z,2); Smat=s*exp(zz);

Smatlast=Smat(:,end);

AvgS=sum(Smat,2)/N2+Slast;

% Slast 是以发生的实际的价格和/交易日（N2）

y= mean(max((Smatlast-a*AvgS)*callputflag,0))*exp(-r*T);

if nargout==1 return end

% hedge ratio ds=0.001;

delta_1=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s+0.5*ds, T,r, v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a);

delta_2=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s-0.5*ds, T,r,

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v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a); delta=(delta_1-delta_2)/(ds);

if nargout==2 return end

Gamma=(delta_1-2*y+delta_2)/(0.5*ds)^2;

if nargout==3 return end

dv=0.01;

vega_1=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s, T,r, v+dv,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend,a);

vega_2=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s, T,r, v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend,a);

Vega=(vega_1-vega_2);%已经使用每单(一天)位波动度百分比为分母; if nargout==4 return end

theta=r*y-delta*r*s-0.5*Gamma*v^2*s^2;

Theta=theta*1/245;%已经使用每单(一天)为百分比为分母;; if nargout==5 return end

dr=0.0001;

rho_1=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s,

T,r+0.5*dr,v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a); rho_2=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s,

T,r-0.5*dr,v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a); Rho=(rho_1-rho_2)/dr;

21

v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a); delta=(delta_1-delta_2)/(ds);

if nargout==2 return end

Gamma=(delta_1-2*y+delta_2)/(0.5*ds)^2;

if nargout==3 return end

dv=0.01;

vega_1=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s, T,r, v+dv,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend,a);

vega_2=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s, T,r, v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend,a);

Vega=(vega_1-vega_2);%已经使用每单(一天)位波动度百分比为分母; if nargout==4 return end

theta=r*y-delta*r*s-0.5*Gamma*v^2*s^2;

Theta=theta*1/245;%已经使用每单(一天)为百分比为分母;; if nargout==5 return end

dr=0.0001;

rho_1=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s,

T,r+0.5*dr,v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a); rho_2=AsianOption_AverageStrike(callputflag, s,

T,r-0.5*dr,v,nSteps,nSimulations,Slast,N2,Dividend ,a); Rho=(rho_1-rho_2)/dr;

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qy5h.html