8.6 空间向量及其运算

8.6 空间向量及其运算

一、选择题

1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．

A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋

b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C

2．以下四个命题中正确的是( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底

→

→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－λ－1μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b1－μλ＋μ＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 1－μ答案 B

3．有下列命题：

①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.

→

→

→

→

其中真命题的个数是( )．

③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A、B共面；

→

→

④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.

A．1 B．2 C．3 D．4 解析 其中①③为正确命题． 答案 B

4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若AB＝a，A1D1＝b，A1A＝c则下列向量中与B1M相等的向量是( ) 11

A．－a＋b＋c

2211

C.a－b＋c 22

11

B.a＋b＋c

2211

D．－a－b＋c

22

解析 B1M＝B1A＋AM＝B1B＋BA＋AM 11

＝－a＋b＋c.

22答案 A

→

π

5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，

3→

BC〉的值为( )．

A．0 C.3 2

→

1B. 2D.2 2

→→

解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c

π

由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，

3→→

OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b

→→

11

＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0. 22

答案 A

6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )

A.3 B.2 C．1

D.3－2

→→→→2→2→2→2→→→→

解析 ∵→BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|＝|BF|＋|FE|＋|ED|＋2BF·FE＋2FE·ED＋→|＝3－2. 2→BF·→ED＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD答案 D 7．下列命题中

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；

③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d. 正确命题的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3 解析 只有命题③是正确命题． 答案 B 二、填空题

8．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC→→→→→→

的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________________．

→→12

解析 ∵OG＝OM＋MG＝OA＋MN

23

→→→

→→→12

＝OA＋(ON－OM) 23→→→122＝OA＋ON－OM 233

→→→→12121＝OA＋×(OB＋OC)－×OA 23232→→→111＝OA＋OB＋OC 633

111∴x，y，z的值分别为，，. 633答案

111，， 633

9. 设x,y?R，向量a??x,1?,b??1,y?,c??2,?4?，且a?c,b//c，则a?b?_______?2x?4?0?x?2a?c,b//c?????a?b?(3,?1)?102y??4y??2解析 . ??答案 10 10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．

→＝→→＝→→，

解析 如图，AC′AB＋→BC＋CC′AB＋→AD＋AA′→|＝|AB→＋→→| 所以|AC′|＝|AC′AD＋AA′＝ →→→2＋

AB2＋AD2＋AA′

→→＋→→

AB·→AD＋→AB·AA′AD·AA′＋

＝23.

＝1＋4＋9＋

答案 23

11．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(A1A1＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②

③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCDA1C·(A1B1－A1A1)＝0；

－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________． 解析 由AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，A1D1⊥A1B1⊥A1B1，得(A1A＋A1D1＋

22

A1B1)＝3(A1B1)，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1，由于AB1⊥A1C，故②

正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0.故④也不正确． 答案 ①②

12．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．

X

→→

解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c.

→

OA与BC所成的角为θ， →→

OA·BC＝a(c－b)＝a·c－a·b →→

＝a·(a＋AC)－a·(a＋AB)

→→

＝a2＋a·AC－a2－a·AB＝24－162.

→

∴cos θ＝

→

|OA·BC|24－1623－22

＝＝. →→8×55|OA|·|BC|

答案

3－22

5

三、解答题

13．已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．

证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0. ?λ＋2μ＋3v＝0，

∵e1，e2不共线，∴?

?λ＋8μ－3v＝0.

?λ＝－5，易知?μ＝1，

?v＝1，

是其中一组解，

则－5AB＋AC＋AD＝0. ∴A、B、C、D共面．

14．如右图，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心， (1)试证A1、G、C三点共线； (2)试证A1C⊥平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离．

→

→

→

→

→

→

→

解析 (1)证明 CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1， →→→→→

11

可以证明：CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，

33→→

∴CG∥CA1即A1、G、C三点共线．

→→

(2)证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a， 且a·b＝b·c＝c·a＝0， →→

→

→

→

→→

→

∵CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0， ∴CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD， 因此A1C⊥平面BC1D.

→→

即|CA1|＝3a，

→

→

(3) ∵CA1＝a＋b＋c，∴CA12＝a2＋b2＋c2＝3a2，

→因此|CG|＝

33a.即C到平面BC1D的距离为a. 33

15．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、

BC的中点，点O是原正方形的中心，求： (1)EF的长；

(2)折起后∠EOF的大小．

2

解析 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），

2

B（22222a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a）， 22244

22

F（a，a,0）.

44

?2?2?232?2?2?232→2

(1)|EF|＝?a－0?＋?a＋a?＋?0－a?＝a，∴|EF|＝a.

24??4?4?4??4

??22?→?22→

(2)OE＝?0，－a，a?，OF＝?a，a，0?，

44?4??4?

?22a22??2?→→

OE·OF＝0×a＋?－a?×?a?＋a×0＝－，

48?4??4?4

→

a→aOE·→OF1→→→|OE|＝，|OF|＝，cos〈OE，OF〉＝＝－，

222

|→OE||→OF|

∴∠EOF＝120°.

16．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

→→→→(1)EF·BA； (2)EF·DC；

(3)EG的长； (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值． →→

解析 设AB＝a，AC＝b，AD＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，

→

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， →→

111

(1)EF＝BD＝c－a，

222→→

BA＝－a，DC＝b－c， →→

1??1

(2)EF·BA＝?c－a?·(－a)

2??21211

＝a－a·c＝，

224→→

1

EF·DC＝(c－a)·(b－c)

2

11 ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；

24→→→→

111

(3)EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b

222111

＝－a＋b＋c，

222

→

111111

|EG|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a

444222→12＝，则|EG|＝. 22→

11

(4)AG＝b＋c，

22→→→

1

CE＝CA＋AE＝－b＋a，

2

→

→

→

→

2＝－，

→→3|AG||CE|

cos〈AG，CE〉＝

AG·CE由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，

2

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

3

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