高等代数专插本试卷总汇

广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编

试题一

考核课程： 《高等代数》（上） 考核类型： 考试 考核形式： 闭卷 学生院系： 年 级： 试 卷：

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分

得分 一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）

1． 若整系数多项式f(x)在有理数域可约，则f(x)一定有有理根． （ ） 2． 若p(x)、q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x))?1，则存在非零常数c，使得

p(x)?cq(x)． （ ）

3． 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变． （ ）4． 若矩阵A的所有r?1级的子式全为零，则A的秩为r． （ ） 5． 若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数． （ ）6． 若向量组?1,?2,?,?s（s?1）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合． （ ）

7． 若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （ ）8． 若矩阵A、B满足AB?0，且A?0，则B?0． （ ）9． A称为对称矩阵是指A'?A．若A与B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵． （ ） 10．设n级方阵A、B、C满足ABC?E，E为单位矩阵，则CAB?E． （ ）

得分 二、填空题：（每小题2分，共20分） 1． 设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为 ．

2． 设a?0，用g(x)?ax?b除f(x)所得的余式是函数值 ．

3． 多项式f(x)、g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)、v(x)使得 ． 4．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 ．

6．设矩阵A可逆，且A?1，则A的伴随矩阵A?

的逆矩阵为 ． 7．设A、B为n阶方阵，则(A?B)2?A2?2AB?B2的充要条件是 ．

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8．设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ?B，则X? ． 9．若?1??2????s?0，则向量组?1,?2,?,?s必线性 ．

10．一个齐次线性方程组中共有n1个线性方程、n2个未知量，其系数矩阵的秩为n3，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 ． 得分 三、计算题（每小题5分，共20分）

1．求多项式f(x)?x3?x2?2x?4与g(x)?x3?2x2?4x?1的最大公因式．

1?a1?12．

11?a?1???? （n级）

11?1?a

?a003．设A????ba0??，给出A可逆的充分必要条件，并在A可逆时求其逆．

??cba??

4．求向量组??(1,1,1)、??(1,2,3)、??(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．

得分 四、设向量组?1,?2,?,?r线性无关，而向量组?1,?2,?,?r,?

线性相关，证明：?可以由?1,?2,?,?r线性表出，且表示法唯一．

（本大题10分）

得分 五、设A是一个秩为r的m?n矩阵，证明：存在一个秩为n?r的 n?(n?r)矩阵B，使AB?0． （本大题10分）

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??1a1?得分 六、（10分）设A??1a?2?，B??11?1????????b?． 1b2?bn??1a?n?（1）计算AB及BA；

nnn（2）证明：BA可逆的充分必要条件是(?ai)(?bi)?n?aibi；

i?1i?1i?1（3）证明：当n?2时，AB不可逆． （本大题10分）

得分 七、设线性方程组为

??x1?x2?x3?x4?1??x1??x2?x3?x4?2?xx ?x12??x3?4?3??x1?x2?x3?(??1)x4?1讨论?为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）． （本大题10分）

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试题一

参考答案及评分标准

课程名称： 高等代数（下） 执笔人： 胡付高

一、判断题（每小题2分，共20分）

（1）×； （2）√； （3）√； （4）×； （5）√； （6）√； （7）×； （8）×； （9）×； （10）√．

二、填空题（每小题2分，共20分）

（1）g(x)； （2）f()； （3）u(x)f(x)?v(x)g(x)?1； （4）n；

（5）系数矩阵与增广矩阵的秩相等； （6）A； （7）AB?BA；

（8）P?1BQ?1； （9）相关； （10）n2?n3

三、计算题（每小题5分，共20分） 1．(f(x),g(x))?x?1．

注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式f(x)?(x?1)(x2?2x?4)，

bag(x)?(x?1)(x2?3x?1)得到最大公因式，也给满分．

2．解：原式?(n?a)an?1．

33．解：因为A?a，所以A可逆的充分必要条件是a?0．

???????（2分）

?a200???A的伴随矩阵A????aba20? ???????（4分）

?b2?ac?aba2????a200?1?1???1A?3??aba20? ???????（5分） 故A?Aa?22?b?ac?aba??注：本题在得到A可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法．

院系负责人签字

?113??102?????4．由?124???011?，可知?,?为向量组的一个极大线性无关组，

?135??000?????孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。

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???????（3分）

且有??2???． ???????（5分） 注：本题也可以先说明其秩为2，故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意 两个向量线性无关），或其它方法均可．

四、证明 （1）由?1,?2,?,?r,?线性相关，存在不全为零的数k1,k2,?,kr,kr?1，使

k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0

???????（2分）

又由?1,?2,?,?r线性无关，得kr?1?0（否则，?1,?2,?,?r线性相关，矛盾），于是有

???k1kk?1?2?2???r?r； kr?1kr?1kr?1 ???????（5分）

（2）设??c1?1?c2?2???cr?r，??l1?1?l2?2???lr?r，则

c1?1???cr?r?l1?1???lr?r，即(c1?l1)?1?(c2?l2)?2???(cr?lr)?r?0，

???????（8分）

由于?1,?2,?,?r线性无关，故c1?l1?0,c2?l2?0,?,cr?lr?0，即ci?li（i?1,2,?,r）．

???????（10分）

五、证明 考虑齐次线性方程组Ax?0，因为秩(A)?r，故存在基础解系?1,?2,?,?n?r，作n?(n?r)矩阵B?(?1,?2,?,?n?r)，则AB?0， ???????（6分） 由于B的n?r个列向量线性无关，故有秩(B)?n?r．

???????（10分）

?Er注： 本题的另一证法是：由秩(A)?r，存在可逆矩阵P,Q使PAQ???0?EA?P?1?r?00??1?0?B?Q，取（B的取法不唯一）． Q??，则AB?0．?E0??n?r??1?a1bn????n?1?a2b2?， BA??????nbi????1?anbn??i?10??，即 0??1?a1b11?a1b2?1?a2b11?a2b2?六、（1）AB??????1?anb11?anb2?a?i?i?1?． n?ab?ii?i?1?n ???????（4分）

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nnn（2）由于BA?n?aibi?(?1?ai)(i?1?bi)，故BA可逆的充分必要条件是BA?0，即

ii?1nnn(?ai)(?bi)?n?aibi． ???????（7分）

i?1i?1i?1（3）当n?2时，由于R(AB)?R(A)?2?n，故AB不可逆．

???????（10分）

注：对（3）直接证明AB?0的，只要方法正确，也给满分．

七、解 由于系数行列式A?(??1)2(??2) ???????（2分） （1）由克莱姆法则知，当??1且??2时，方程组有唯一解 ；???????（4分）

??11111??（2）当??1时，?11112?1???11111??0000???11113???0002?，方程组无解； ?11101???0?000?20?? ???????（6分）

??11111??11111?（3）当??2时，?12112????1001????11213??0?0102? ?11111?0???00000??方程组有无穷多解： ???????（8分）

??x1???2???1?x???2????1?????k?0?． ???????（?x??0?10分） ?3??2?x???4????0???1???11111??1111?注：直接作初等变换?1?112?1????0??1001??11?13????00??102?，然后讨论?111??11????000??20??方程组解的情况亦可，根据相应步骤给分．

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试题二

一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）

1．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 2．

a1?b1a3?b3a2?b2a4?b4?a1a3a2a4?b1b2b3b4． （×）

3．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 4．若矩阵A的秩是r，则A的所有r级的子式全不等于零． （×） 5．若矩阵A经过初等变换化为矩阵B，则A?B． （×） 6．若一组向量的和为零向量，则它们必线性相关． （√） 7．任一线性方程组有解?它的导出组有解． （×）

8．若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （×）

9．若向量组?1,?2,?,?s（s?1）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合． （×） 10．一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解． （√）

二、填空题（每小题2分，共20分）

n(n?1)1．排列n(n?1)?321的逆序数为．

22．五级行列式D中的一项a21a13a32a45a54在D中的符号为 负 ．

3．n级行列式D按第j列展开公式是D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj． 4．已知非零向量组?、?、?两两线性相关，则该向量组的秩为 1 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 ． 6．若矩阵A中有一个r级子式不为零，则秩(A)?r．

7．一个齐次线性方程组中共有s个线性方程、t个未知量，其系数矩阵的秩为p，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t?p．

8．一个非齐次线性方程组记为（Ⅰ），它的导出组记为（Ⅱ），则（Ⅰ）的一个解与（Ⅱ）的一个解的差是（Ⅰ）的解．

9．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性相关，则A的行列式 等于0 ． 10．两个向量组等价是指它们 可以相互线性表出 ． 三、计算下列行列式（每小题5分，共20分）．

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11（1）

11ab（2）cb?c2827641234916122 解 原式?2341211111bcac?a2caba?b23332314342411?113323314?12． 244312122123注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．

111 解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式?0． 11，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为2注：本题也可以从第4行提取公因子元素全为零，故原式?0．

a1?x（3）

a2?a2??anan?；

a1?a1a2?x??an?x解 将所有列全加到第1列并提起公因子，得

1a2nn1a2?x?an0x原式?(x??ai)?(x??ai)??????i?1i?11a2?an?x00?1a2an?an?0

???x?(x??ai)xi?1nn?1?x?(?ai)xn?1．

ni?1na1?x （4）

x?x??xx? （a1a2?an?0）

x?xa2?x??an?x解 将所有行减去第1行，化为爪形行列式，得

a1?x原式?x?x0a1?a1x?i?1n?a1??a1a2?0n1aix?xn????an?0?010?(a1?a1x?)a2?an

i?1ai???a2?0?an?(1?x?i?11)a1a2?an．注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算． ai孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。

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?x1?x2?x3?x4?1?x??x?x?x?1?1234四、设线性方程组为：?，试讨论下列问题：

?x1?x2??x3?x4?1??x1?x2?x3?(??1)x4?2（1）当?取什么值时，线性方程组有唯一解？ （2）当?取什么值时，线性方程组无解？

（3）当?取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解） （共15分）

解 线性方程组的系数行列式为

11111?1?1?111??111111110??100?(??1)2(??2)

00??10000??2（1）当(??1)2(??2)?0，即??1且??2时，线性方程组有唯一解； （2）当??2时，

?1??1?1??1线性方程组无解；

（3）当??1时

1211112111111??1??1??0?1??0??2??01100101010001??0? 0??1??1??1?1??11111111111101??1??1??0?1??0??2??010001100000?11??1??0??0?0??0??1??01000100002??1?1?

00??00?线性方程组有无穷多解，且其通解为

(x1,x2,x3,x4)?k1(?1,1,0,0)?k2(?1,0,1,0)?(2,0,0,?1)．

五、（1）设向量?1,?2,?3线性无关，证明：向量?1??2,?2??3,?3??1 线性无关；

（2）证明：对任意4个向量?1,?2,?3,?4，向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1都线性相关． （共15分）

证明 （1）设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，即

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(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，由于?1,?2,?3线性无关，故有

?k1?k3?0? ?k1?k2?0 解之得，k1?k2?k3?0

?k?k?0?23故?1??2,?2??3,?3??1也线性无关． ????（8）

（2）由(?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0关．

六、设向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?,?线性相关，但?不能由?1,?2,?,?r,?线性表出，证明：?可以由?1,?2,?,?r线性表出，且表示法唯一．（10分）

证明 （1）先证?可以由?1,?2,?,?r线性表出：

因为?1,?2,?,?r,?,?线性相关，所以存在不全为零的数k1,k2,?,kr?2，使得

得，?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性相

k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??kr?2??0．

由于?不能由?1,?2,?,?r,?线性表出，故必有kr?1?0，下证kr?2?0．用反证法：若kr?2?0，则

k1?1?k2?2???kr?r?0，由于k1,k2,?,kr?2不全为零，故k1,k2,?,kr不全为零，与?1,?2,?,?r线

性无关的假设矛盾，于是kr?2?0，得到???k1kk?1?2?2????r?r． kr?2kr?2kr?2（2）次证表示法唯一：设??c1?1?c2?2???cr?r，??l1?1?l2?2???lr?r，则

c1?1?c2?2???cr?r?l1?1?l2?2???lr?r，即(c1?l1)?1?(c2?l2)?2???(cr?lr)?r?0，

由于?1,?2,?,?r线性无关，故c1?l1?0,c2?l2?0,?,cr?lr?0，即ci?li（i?1,2,?,r），于是表示法唯一．

七、（附加题）证明或否定下面命题：若三个向量?,?,?两两线性无关，则?,?,?线性无关．并说明在三维矢量空间中的几何意义．（10分）

解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.

注 否定上述结论时，也可构造反例，如??(1,0,0),??(0,1,0),??(1,1,0)等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．

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线?????????? 试题六

题号 得分 一 二 三 四 五 六

得分 一、填空题（每小题2分，共20分）

七 八 九 十 总分 ????????????封??????????????密????????????????1．如果dimV1?m1，dimV2?m2，dim(V1?V2)?m3，则dim(V1?V2)? ． 2．两个有限维线性空间V1、V2同构的充分必要条件是 ．

3．用L(V)表示n维线性空间V的所有线性变换构成的线性空间，则dimL(V)? ． 4．若A?Pn?n，且A2?E，则A的特征值为 ．

5．设欧氏空间的正交变换A在一组标准正交基下的矩阵是U，则U? ． 6．设V是一个n维欧氏空间，??0是V中非零向量，W???(?,?)?0,??V?，则

dimW? ．

?1117．矩阵A????111??的最小多项式为 ．

??111???aa12a13?8．已知线性变换A在基?,??111,?23下的矩阵为?aa?2122a?23?1下的 ?a31aa?，则A在基?3,?2,3233??矩阵为 ．

9．在P[x]2n中，线性变换D(f(x))?f'(x)，则D在基1,x,x,?,xn?1下的矩阵为 ．10．设6级矩阵A的不变因子是1,1,1,1,(??2),(??2)2(??3)3，则A的若尔当标准形是 ．

得分 3分，共15分）

二、选择题（每小题1．下列集合构成Pn?n的子空间的是 （ ）

a．?AA?Pn?n,A?0?； b．?AA?Pn?n,A?0?； c．?AA?Pn?n,A'?A?．

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班 级： 姓 名： 学 号： 广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编

2．n维线性空间V的线性变换A可以对角化的充要条件是 （ ）

a．A有n个互不相同的特征向量； b．A有n个互不相同的特征根；

c．A有n个线性无关的特征向量．

3．对子空间V1,V2,V3，V1?V2?V3为直和的充要条件是 （ ）

a．V1?V2?V3??0?； b．V?V1?V2?V3； c．Vi?(?Vj)??0?，i?1,2,3．

j?i4．下列类型的矩阵A一定相似于对角矩阵 （ ）

a．正交矩阵； b．特征值皆为实数的矩阵； c．主对角元两两互异的上三角矩阵．5．A~B的充要条件是 （ ）

a．A、B具有相同的特征值； b．A?B； c．A、B具有相同的不变因子．

得分 三、（共15分）设?1,?2,?3为V的基，且线性变换 A在此基下的矩阵为 ?1 A??11??111? ??111? ?? （1）求A的特征值与特征向量； （2）A是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得T?1AT为对角形． 得分 四、 （10分）设Pn[x]表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式 作成的线性空间．

（1）证明：1,x?a,(x?a)2,?,(x?a)n?1是Pn[x]的一组基； （2）求上述的一组基到基1,x,x2,?,xn?1的过渡矩阵．

得分 五、（12分）设A?L(V)，且A2?A．证明 （1）A的特征值为０或１；

（2）V?AV?A-1

(0)．

得分 六、（8分）设?1,?2,?,?s是欧氏空间V的两两正交的非零向量组，证 明它们线性无关．

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得分 得分 广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编

七、（10分）设A是一个固定的n级矩阵，证明： （1）W??XAX?XA,X?Pn?n?是Pn?n的一个子空间； （2）当A为主对角元两两互异的对角矩阵时，写出W的维数及一组基． 八、（10分）设?1,?2,?,?s是欧氏空间V的一组向量，记W?L(?1,?2,?,?s)，证明：（1）如果??W使(?,?i)?0，i?1,2,?,s，那么??0； （2）记Vi???(?i,?)?0,??V?，i?1,2,?,s，那么 W??V1?V2???Vs． 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。

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试题六

参考答案及评分标准

一、填空题（每小题2分，共20分）

（1）m1?m2?m3； （2）dimV1?dimV2； （3） n； （4）1或?1； （5）?1； （6）n?1； （7）??3?；

22?a33?（8）?a23?a?13a32a22a120??010??2???a31?002?0????a21?； （9）???????； （10）?????a11?000?n?1??????000???0????2?12??． 3?13?13??

二、选择题（每小题3分，共15分） （1）c；（2）c；（3）c；（4）c；（5）c．

??1三、（1）解 ?E?A??1?1?12?1??（??3），因此A的特征值为??0与??3． ??1??1?1?1???????（4分）

?1???对??3，可求出A的一个线性无关的特征向量为?3??1?，故得A的所有特征向量为

?1???k(?1??2??3)，这里k不为零． ???????（6分）

??1???1?????对??0，求出A的两个线性无关的特征向量?1??1?，?2??0?，故A的所有特征向量为

?0??1??????(k1?k2)?1?k1?2?k2?3，或k1(??1??2)?k2(??1??3)，这里k1、k2不全为零．

???????（8分）

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（2）由于A有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化． ???????（3分）

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????取T??????131313?121201??6??300?1????1TAT?000，则 ???????（7分） ????6??000???2??6??注：也可以指出A是实对称阵，故A可以对角化．另外注意正交矩阵T的取法不唯一．

四、（1）证明（方法1）由于dimP?n，只需证明1,x?a,(x?a)2,?,(x?a)n?1线性无关：设n[x]k1?1?k2(x?a)?k3(x?a)2???kn(x?a)n?1?0，令x?a，得k1?0，又对等式两边求导后令x?a，

得k2?0，再求二阶导数，?，求n?1阶导数，分别得到k3???kn?0，于是

1,x?a,(x?a)2,?,(x?a)n?1是Pn[x]的一组基； ???????（5分）

（方法2）已知1,x,x2,?,xn?1是Pn[x]的一组基，求出(1,x?a,(x?a)2,?,(x?a)n?1)?

(1,x,x2,?,xn?1)A中的矩阵A，只需说明A可逆，便得结论；

（方法3）由数学分析中的泰勒定理可知，对于?f(x)?Pn[x]，都有

f(x)?f(a)?1?f'(a)(x?a)???又已知dimP,x?a,(x?a),?,(x?a)n[x]?n，故1（2）所求过渡矩阵为

2n?11f(n?1)(a)(x?a)n?1

(n?1)!是Pn[x]的一组基．

?1a?an?1??n?2?01?(n?1)a?． A???????????00??1?? ???????（10分）

五、证明（1）设A????（??0），则由A2?A推出A

２

???2?，从而????2?，即得

???2，于是??0或１； ???????（6分）

（2）对???V，由??A??(??A?)，注意到A(??A?)?0，因此??AV?A-1(0)，于是

V?AV?A-1(0)，即得V?AV?A-1(0)； ???????（3分）

设???AV?A-1(0)，则???V，s.t??A(?)，且A(?)?0，推出A(?)?0，即得??A(?)?0，

２

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于是AV?A-1(0)??0?，故V?AV?A-1(0)．

???????（6分）

六、证明 设k1?1?k2?2???ks?s?0，由于(?i,?j)?0，i?j，故由(?i,?k?jj)?0，得

， ???????（5分） ki(?i,?i)?0而?i?0，所以(?i,?i)?0，于是ki?0，i?1,2,?,s．因此?1,?2,?,?s线性无关． ???????（8分）

七、证明（1）因为0?W，所以W设?X,Y?W，由A(X??． ???????（1分）

?Y)?AX?AY?XA?YA?(X?Y)A，得X?Y?W．

???????（3分）

?(kX)，A得kX?W，因此W是又设?X?W，?k?P，由A(kX)?kAXPn?n的一个子空

间； ???????（5分）

（2）当A为主对角元两两互异的对角矩阵时，与A可换的矩阵也一定是对角矩阵，即W是由所有对角矩阵作成的子空间，因此W的一组基可取为E11,E22,?,Enn，故dimW

八、证明（1）若??W，则有??k1?1?k2?2???ks?s，于是

?n．

???????（10分）

(?,?)?(?,k1?1?k2?2???ks?s)?k1(?,?1)???ks(?,?s)?0，则??0；

???????（5分）

（2）设???W，则(?i,?)?0，从而??Vi，即W??Vi，i?1,2,?,s，因此有

?W??V1?V2???Vs． ???????（2分）

,?)0?设???V1?V2???Vs，则(?,对?w?W，设w?l1?则(w????ls?s，)0?，1?2l2i?于是有??W，即V1?V2???Vs?W．故W?V1?V2???Vs．

???????（5分）

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?，

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试题八

一、（共12分）叙述下列概念或命题： （1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.

答：（1）向量组?1,?2,?,?s称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,?,ks，使

k1?1?k2?2???ks?s?0.

注 对如下定义也视为正确：如果向量组?1,?2,?,?s（s?1）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组?1,?2,?,?s称为线性相关的.

（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.

注 对如下定义也视为正确：向量组?1,?2,?,?s的一个部分组?i1,?i2,?,?it称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）?i1,?i2,?,?it线性无关；（ⅱ）?1,?2,?,?s可由?i1,?i2,?,?it线性表出.

（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.

注 用公式写出按行（或列）展开定理亦可.

二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1．

a1?b1a3?b3a2?b2a4?b4?a1a3a2a4?b1b2b3b4． （×）

2．若向量组?1,?2,?,?s（s?1）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合． （×） 3．在全部n（n?1）级排列中，奇排列的个数为

n!． （√） 24．若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列． （×） 5．若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r级的子式（如果有的话）全为零． （√） 6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例． （×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解． （×） 8．对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解． （×） 9．等价向量组的秩相等． （√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解． （√） 三、（共18分）计算行列式

11（1）

118276412333491612232 解 原式?2341231111114342411?113323314?12． 424312122123注 用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．

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ab（2）cb?c2bcac?a2caba?b2111 1解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式?0． 注 本题也可以从第4行提取公因子元素全为零，故原式?0．

1，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为2a1?x1（3）

a2?a2??anan? （x1x2?xn?0）．

a1?a1a2?x2??an?xna1?x1?x1解 原式?a2x200a3?an0?0x3?0nx1(1??i?1nai)a2xix20a3?an0?00

?x1??x10??????xn00?0x3?????00?xn?x1x2?xn(1??i?1ai)． xia1?x1?a1?a1a2?a2?00?anx1x2?xn?1?xnDn?1，答案正确给满分，

注 本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：

a1?x1Dn?a1?a1a2?a2?an???ana2?x2?ana2?x2????xn有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．

四、设向量组?1?(1,1,0,0)，?2?(1,2,1,?1)，?3?(0,1,1,?1)，?4?(1,3,2,1)，?5?(2,6,4,?1)．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）

?110?121解 ??011??0?1?112??10?1??36?011???00024???1?1??0000?1??02? ????（5分） ?11?00?故向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组，并且 ????（8分）

?3???1??2，?5???1?2?2??4． ????（10分）

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注 本题关于极大线性无关组答案中，除?1,?2,?3不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分． 五、讨论?取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）

??x1?x2?x3?1??x1??x2?x3?1 ?x?x??x?13?12??1?解 方程组的增广矩阵为?1??11?11???11?，系数行列式为11?1??111?(??2)(??1)2 ??（2分）

?1?（1） 当??1且???2时，方程有唯一解，此时 ????（3分）

????1?1?1?111????2??2??23????11???1?11???1?1?1???1???111???1?1?11???3??3??111??2??????2????1?1??0??10

????21?????1???0??1??0??2?????111???010????001?3??100????2??1???010????2??1????001??2??1???2??1?1，故得解为x1?x2?x3?； ????（5分） ???2??2?1???2??11???2111???21????（2）当???2时，增广矩阵?1?211???1?211?，无解；????（7分）

?1?1?21?003????0??1111??1111?????（3）当??1时，增广矩阵?1111???0000?，有无穷多组解，通解为

?1111??0000?????，或表成??(1,0,0)?k1(?1,1,0)?k2(?1,0,1)． ??（10分） x1?1?x2?x3（x2,x3为自由未知量）

注 本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，

各扣2分． 六、证明题：（每小题10分，共30分）

1．证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量?可以由（10分）． ?1,?2,?,?r线性表示，且表示法唯一．

证明 （1）由?1,?2,?,?r,?线性相关，存在不全为零的数k1,k2,?,kr,kr?1，使

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k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0 ????（2分） 又由?1,?2,?,?r线性无关，得kr?1?0（否则，?1,?2,?,?r线性相关，矛盾）????（4分） 于是，???k1kk?1?2?2???r?r； ????（5分） kr?1kr?1kr?1（2）设??c1?1?c2?2???cr?r，??l1?1?l2?2???lr?r，则

c1?1?c2?2???cr?r?l1?1?l2?2???lr?r，即(c1?l1)?1?(c2?l2)?2???(cr?lr)?r?0，

由于?1,?2,?,?r线性无关，故c1?l1?0,c2?l2?0,?,cr?lr?0，即ci?li（i?1,2,?,r）．

????（10分）

2．证明：若向量?,?,?线性无关，则???,???,???也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．

证明 设k1(???)?k2(???)?k3(???)?0，即(k1?k3)??(k1?k2)?)?(k2?k3)??0，

????（2分）

由于?,?,?线性无关，故有

?k1?k3?0? ?k1?k2?0 解之得，k1?k2?k3?0 ????（5分）

?k?k?0?23故???,???,???也线性无关． ????（6分）

对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量?1,?2,?3,?4线性无关，并不能得到向量

?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关的结论．

注1 由(?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0知，?1??2,?2??3,?3??4,?4??1是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；

注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论: 若4个向量

?1,?2,?3,?4线性无关，则向量?2??3??4,?1??3??4,?1??2??4,?1??2??3也线性无关．该答案

也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．

3．设a1,a2,?an是数域P中个互不相同的数，b1,b2,?,bn是数域P中任一组给定的数．求证： （1）存在唯一的数域P上的次数不超过n?1的多项式f(x)?c0?c1x???cn?2xn?2?cn?1xn?1，使

f(ai)?bi，i?1,2,?,n；

（2）特别的，求出使f(ai)?ain?1，i?1,2,?,n成立的n?1次的多项式f(x)．

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证明 （1）将f(ai)?bi，i?1,2,?,n，代入f(x)?c0?c1x???cn?2xn?2?cn?1xn?1，得

?c0?a1c1???a1n?2cn?2?a1n?1cn?1?b1?n?2n?1?c0?a2c1???a2cn?2?a2cn?1?b2 ????（2分） ????????????c?ac???an?2c?an?1c?bnn?2nn?1n?0n1由于系数行列式

1a1?a1n?11a2?a2n?1??(aj?ai)?0， ??

????1?i?j?n1an?ann?1??（4分）

故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域P上的次数不超过n?1的多项式f(x)?c0?c1x

???cn?2xn?2?cn?1xn?1，使f(ai)?bi，i?1,2,?,n； ????（5分）

DDDD?1，故使f(ai)?ain?1， （2）由克莱姆定理x1?1?0，?，xn?1?n?1?0，xn?1?n?1?DDDDi?1,2,?,n成立的n?1次的多项式为f(x)?xn?1． ????（10分）

注 对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出f(x)?xn?1的也给满分．

七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量?,?,?两两线性无关，则?,?,?线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）

解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面． ???（5分） 很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面． ???（10分）

注 否定上述结论时，也可构造反例，如??(1,0,0),??(0,1,0),??(1,1,0)等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．

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试题十及答案

一、判断题：（每小题2分，共30分，在括号里打“√”或“×”）

1． 零多项式的次数为零． （×） 2． 零多项式与f(x)的最大公因式为f(x)． （√） 3． 设f(x),g(x),d(x)?P[x]且?u(x),v(x)?P[x]，使得 d(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x)，则

d(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式． （×）

４．零次多项式能整除任一多项式． （√） 5．若h(x)f(x)，但h(x)不整除g(x)，则h(x)不整除f(x)?g(x)． （√） 6．设h(x)f(x)g(x)，但h(x)g(x)，则h(x)f(x)． （×） ７．若?是f(x)的导数f?(x)的k重根，则?为f(x)的k?1重根． （×） ８．设P?P，P、P为数域，如果在P[x]中f(x)与g(x)互素，则在P[x]中f(x)与g(x) 也互素． （√） ９．若(f1(x),f2(x))?1，且(f2(x),f3(x))?1，则(f1(x),f3(x))?1． （×） 10．若p(x)在数域P上不可约，则p(x)在P上没有根． （×） 11．设f(x)?Q[x]，如果f(x)无有理根，则f(x)在Q上不可约． （×） 12．若f(x)g(x)h(x)，则f(x)g(x)或f(x)h(x)． （×） 13．设p(x)是不可约多项式，如果p(x)?f(x)g(x)，则f(x)与g(x)有且仅有一个为零次多项式． （√）

14．设f(x)?P[x]，且f(?1)?f(1)?0，则x2?1f(x)． （√）

15．n次实系数多项式的实根个数的奇偶性与n的奇偶性相同． （√） 二、填空题：（每小题2分，共10分）

１．若(x?1)3x6?ax4?bx2?c，则a? -3 ，b? 3 ，c? -1 ．

２．若p(x)，q(x)均为P上的不可约多项式，且(p(x),q(x))?1，则p(x)与q(x)的关系是

p(x)?cq(x),0?c?P．

３．若?1是f(x)?x5?ax2?ax?1的重根，则a? -5 ． ４．用g(x)?2x?3除f(x)?8x3?9所得的余数r? -18 ．

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5．已知1?2i为f(x)?x3?3x2?7x?5的一个根，那么f(x)的其余根是 1，1-2i ． 三、计算题： １．（8分）求f(x)?解 f(x)?1514113x?x?3x3?7x2?x?的根和标准分解式． 222215(x?x4?6x3?14x2?11x?3) 214 ?(x?1)(x?3)

22．（10分）?为何值时，f(x)?x3?3x2??x?1有重根．

解 因为f'(x)?3x2?6x??，作辗转相除法，要使f(x)有重根，则必须(f'(x),f(x))?1，

3f(x)?(x?1)f'(x)?(??3)(2x?1)，若??3，则(f'(x),f(x))?1；??3，由于 15151515)(2x?1)?2??，当2???0，即???时(f'(x),f(x))?1． 222415故当??3或???时，f(x)有重根．

42f'(x)?(3x?3．（12分）设f(x)?x4?x3?3x2?5x?2，g(x)?x3?x2?2x?2．

（1）用辗转相除法求(f(x),g(x))．

（2）求u(x)，v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)． 答案 （1）(f(x),g(x))?x?1；

（2）回代得：2x?2?(x?2)f(x)?(?x?2x?1)g(x)，故取u(x)?21(x?2)， 2v(x)?1(?x2?2x?1)，使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)． 2四、证明题：（每小题10分，共30分）

1．设f(x)?x5?5x?4，证明：（1）f(x)在Q上不可约；（2）f(x)至少有一个实根，但不是有理根．

55432证明 （1）令x?y?1，则f(y?1)?(y?1)?5(y?1)?4?y?5y?10y?10y?10y?10，

取p?5，由Eisenstein判别法知，f(y?1)在Q上不可约，从而f(x)在Q上不可约；

注 也可利用反证法证之：若可约，则f(x)能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略．

（2）因为f(x)是奇次的，则f(x)必有一个实根，此根若是有理根，则f(x)在Q上可约，矛盾． 注 奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将f(x)在实数域上作标准分解，

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由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式，故奇次多项式f(x)一定有一次因式，因此 f(x)必有一个实根．另外，对f(x)没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．

2．设f(x),g(x)不全为零，证明(f(x),f(x)?g(x))?(g(x),g(x)?f(x))． 证明 设(f(x),f(x)?g(x))?d1(x)，(g(x),g(x)?f(x))?d2(x)，

由d1(x)f(x),d1(x)f(x)?g(x)?d1(x)(f(x)?g(x))?f(x)?g(x)?d1(x)g(x)?f(x)， 又d2(x)为g(x)与g(x)?f(x)的最大公因式，故d1(x)d2(x)；

反之，由d2(x)g(x)，d2(x)g(x)?f(x)?d2(x)g(x)?(g(x)?f(x))?f(x)

?d2(x)f(x)?g(x)，又d1(x)为f(x)与f(x)?g(x)的最大公因式，故d2(x)d1(x)．

又d1(x)、d2(x)均为首1多项式，从而d1(x)?d2(x)． 3．若整系数多项式f(x)有根

p，这里(p,q)?1，则(q?p)f(1)，(q?p)f(?1)． q证明 因

pp为f(x)的根，则f(x)?(x?)g(x)，g(x)为整系数多项式．

qqp)g(1)，即qf(1)?(q?p)g(1)，(q?p)qf(1)，又(q?p,q)?1，故有(q?p)f(1)； qp)g(?1)，得?qf(?1)?(q?p)g(?1)，同理可得(q?p)f(?1)． qp)f(x)，得(qx?p)f(x)，f(x)?(qx?p)h(x)，由于qx?p是本原多项式，故q由f(1)?(1?由f(?1)?(?1?注 可以由(x?h(x)为整系数多项式， f(1)?(q?p)h(1)，f(?1)??(q?p)h(?1)，因此有

(q?p)f(1)，(q?p)f(?1)．

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试题十一及答案

一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）

１．若向量组?1,?2,?,?s与向量组?1,?2,?,?t都线性无关，则?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?t也线性无关； （×）

2．n维线性空间V中任何n个线性无关的向量都是V的一组基； （√）

3．对n维线性空间V中任何非零向量?，在V中一定存在n?1个向量?1,?2,?,?n?1，使得

?1,?1,?2,?,?n?1作成V的一组基； （√）

4．三个子空间V1,V2,V3的和V1?V2?V3为直和的充要条件是V1?V2?V3??0?； （×） 5．把复数域看成实数域R上的线性空间，它与R是同构的； （√） 6．线性空间V的两组基?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵是可逆的； （√）

2V的任意两个子空间的交V1?V2与并V1?V2都是V的子空间；7． （×） 8．集

合W?AA?P?n?n,A?0作成Pn?n的子空间； （×）

?9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负； （×） 10．设n元实二次型的正负惯性指数分别为s,t，则必有s?t?n． （√）

二、填空题（每小题2分，共20分）

1．如果dimV1?m1，dimV2?m2，dim(V1?V2)?m3，则dim(V1?V2)?m1?m2?m3． 2．两个有限维线性空间V1、V2同构的充分必要条件是dimV1?dimV2． 3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是 它们的秩相等 ．

4．设实二次型的秩为r，负惯性指数为q，符号差为m，则r、q、m的关系是r?m?2q． 5．2?2级实对称矩阵的所有可能的规范型是：

?00??10???10??10??10???10???,??,????,??,??. 000000010?10?1????????????6．设基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A，而基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是B，则?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵是BA．

7．已知?,?,?为线性空间V的三个线性无关的向量，则子空间L(?,?)?L(?,?)的维数为 3 ．

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8．若dim(V1?V2)?dimV1?dimV2，则V1?V2??0?．

??111???9．设三维线性空间V的基?1,?2,?3到?1,?2,?3的过渡矩阵为A??1?11?，向量?在基?1,?2,?3?11?1???下的坐标为(1,2,3)，在?在基?1,?2,?3下的坐标为(4,2,0)．

22210．n元实二次型f(x1,x2,?,xn)?(a?1)x1正定的充分必要条件是 ?(a?2)x2???(a?n)xn常数a满足a?n．

三、简述下列定义（共12分）

1．n级矩阵A、B合同：如果存在可逆矩阵C，使得B?C'AC 2．子空间的和V1?V2??1??2?i?Vi,i?1,2

3．生成子空间L(?1,?2,?3)?k1?1?k2?2?k3?3?ki?P,i?1,2,3

4．子空间的直和：V1?V2中每个向量?的分解式???1??2（?i?Vi,i?1,2）是唯一的．

四、（10分）设?可由?1,?2,?,?r线性表出，但不能由?1,?2,?,?r?1线性表出，证明：

L(?1,?2,?,?r?1,?r)?L(?1,?2,?,?r?1,?)．

证明 只需证明向量组??1,?2,?,?r?1,?r?与??1,?2,?,?r?1,??等价：易知??1,?2,?,?r?1,??可由与??1,?2,?,?r?1,?r?线性表示，另一方面，由于?可由?1,?2,?,?r线性表出，故有 （否则?可?1,?2,?,?r?1线性表出，矛盾），于是 ??k1?1?k2?2???kr?r，且kr?0，

?????r??k1k1?1????r?1?r?1??，因而??1,?2,?,?r?1,?r?可由??1,?2,?,?r?1,??线性表出，故向krkrkr量组??1,?2,?,?r?1,?r?与??1,?2,?,?r?1,??等价，最后不难得到结论．

五、（1）讨论：?取什么值时，二次型?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)是正定的． （2）证明当??3时，上述二次型是半正定的．（共14分）

解 （1）二次型可化为(??1)x1?(??1)x2?(??1)x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，它对应的矩阵是

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?1????1?1???1??1?1?? ??1?1??1???由二次型是正定的?它的矩阵的所有顺序主子式全大于零，可得到??1?0，?(??2)?0，

?2(??3)?0，它等价于??3，即二次型是正定的???3．

（2）当??3时，二次型可化为(x1?x2)2?(x1?x3)2?(x2?x3)2?0，故二次型是半正定的． 注 对（2）还可以用求二次型标准型的方法得到结论，求得它的正惯性指数为2，负正惯性指数为0．

六、设A、B是两个固定的n级矩阵，证明： （1）W?XX?Pn?n,AX?XB是Pn?n的一个子空间；

??（2）当A?B是主对角元两两互异的对角矩阵时，W是什么样的子空间，并求W的维数及一组基（可以只写结果，不必说明理由）．（共14分）

解 （1）因为0?W，故W??，对?X,Y?W，即AX?XB，AY?YB，得

A(X?Y)?AX?AY?XB?YB?(X?Y)B，于是X?Y?W，设k?P，又由 A(kX)?k(AX)?k(XB)?(kX)B，得到kX?W，因此WPn?n的一个子空间；

（2）W是所有n级对角矩阵作成的子空间，它的一组基可取为E11,E22,?,Enn，dimW

七、设?1?(1,?1,3,7)，?2?(2,?1,0,1)，?3?(?1,1,1,1)，?4?(1,2,1,0) （1）分别写出生成子空间L(?1,?2)与L(?3,?4)的基和维数； （2）求L(?1,?2,?3,?4)的一组基和维数； （3）求L(?1,?2)?L(?3,?4)的维数．（共15分）

解 （1）?1,?2为L(?1,?2)的一组基，?3,?4为L(?3,?4)的一组基，它们的维数都为2；

?n．

?12?1??1?11（2）由??301??7111??1??2??0初等行变换??????????????1?0??0??02?11001001??3?，L(?1,?2,?3,?4)的一组基可取为 4??0??1,?2,?3，故它的维数为3；

（3）注意到L(?1,?2)?L(?3,?4)?L(?1,?2,?3,?4)，由维数公式即得L(?1,?2)?L(?3,?4)的维数?2?2?3?1．

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八、补充题（共15分，本题得分可以计入总分）

设P[x]n表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式作成的线性空间，a?P． （1）验证V1?f(x)f(a)?0,f(x)?P[x]n是P[x]n的一个子空间； （2）求V1的一组基及维数；

（3）记V2?P，则V2也是数域P上的一个子空间，试证明：P[x]n?V1?V2．

证明 （1）因为0?V1，所以V1??，设f(x),g(x)，且?0?V1，k?P，则f(a)?0,g(a)因此f(a)?g(a)?0，kf(a)?0，故f(即V1是P[x]nf(x)?g(x)?P[xx)?g(x)V?1，kf(x)?V1，n]，的一个子空间；

（2）对?f(x)?P[x]n，f(x)一定可以表成形式

f(x)?c0?c1(x?a)?c2(x?a)2???cn?1(x?a)n?1 （?）

若f(x)?V1，则f(a)?c0?0，即得f(x)?c1(x?a)?c2(x?a)2???cn?1(x?a)n?1，注意到

??(x?a),(x?a)2,?,(x?a)n?1都属于V1，且线性无关，它们构成了V1的一组基，dimV1?n?1；

（3）V2是一个一维子空间，1为它的一组基，由（?）式即得P[x]n?V1?V2，故P[x]n?V1?V2， 又dim(V1?V2)?dimP[x]n?n?dimV1?dimV2，故P[x]n?V1?V2． 注 对（2）式也可以用数学分析中Taylor公式f(x)??k?1nf(k)(a)；对（3）也可以设(x?a)k得到（?）

n!?f(x)?V1?V2，则f(x)?c0?1?c1(x?a)?c2(x?a)2???cn?1(x?a)n?1，比较两端次数得

ci?0,i?0,1,2,?,n?1，即f(x)?0，从而V1?V2??0?，即V1?V2为直和．

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试题十二 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分 一．（24分）计算下列n阶行列式： abc1 bca1 1．cab1； b?cc?aa?b 2221 a1?x1a2?an 2．a1a2?x2?an ???? （x1x2?xn?0）． a1a2?an?xn 210?00 121?00 3．Dn?012?00 ?????? 000?12 ?n?n二．（10分）试讨论a取什么值时， n元二次型ax22i?(x i)是正定的？ i?1i?1 ?100? 三．（10分）设A???101??． ??010?? （1）证明：An?An?2?A2?I； （2）求A100． 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 34

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?211???3

四．（16分）设R的线性变换?在标准基下的矩阵为A??121?．

?112???（1）求A的特征值和特征向量；

（2）求R的一组标准正交基，使?在此基下的矩阵为对角矩阵．

五．（15分）证明：若向量?,?,?线性无关，则???,???,???也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．

六．（15分）设f(x)?x5?5x?4，证明：（1）f(x)在Q上不可约；（2）f(x)至少有一个实根，但不是有 理根． n?nn?n七．（10分）设A,B?P是两个给定的n级矩阵，记W?XAX?XB,X?P,证明： n?n （1）W是线性空间P的一个子空间； （2）若B?E，且A?E?0，则W?0． ?? 3

??孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 35

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试题十二评分标准

一．1．解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式?0．

????（8分） 注 本题也可以从第4行提取公因子

1，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为2n元素全为零，故原式?0．

a1?x1?x12．解 原式?a2x200na3?an0?0x3?0x1(1??i?1ai)a2xix20a3?an0?00

?x1??x10??????xn00?0x3?????00?xn?x1x2?xn(1??i?1ai)． ????（8分） xia1?x1?a1?a1a2?a2?00?anx1x2?xn?1?xnDn?1，

注 本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：

a1?x1Dn?a1?a1a2?a2?an???ana2?x2?ana2?x2????xn答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．

3． 解 行列式按第1行展开，然后接着对其中一个n?1阶行列式再次展开，得

Dn?2Dn?1?Dn?2，因此 Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?2?Dn?2?Dn?3???D2?D1?1， Dn?1?Dn?1?n?1． ????（8分）

注 对一般二阶线性递推数列Dn?aDn?1?bDn?2，可考虑特征方程x?ax?b的两个根?,?，则递推数列Dn?aDn?1?bDn?2化为Dn?(???)Dn?1???Dn?2，就能求出Dn的通项，更一般的结论参考《组合数学》中方法．

2?a?1?1??1a?1二．解 （方法1）此二次型对应的矩阵为A????????1?1?子式(a?k)ak?1??1????1?，当且仅当它的k阶顺序主

?????a?1???0(k?1,2,?,n)，即a?n时二次型正定。 ????（10分）

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（方法2）配方法：二次型化为的。

（方法3）

1?i?j?n?(xj?xi)?(a?n)?xi2，当且仅当a?n时，二次型是正定

2i?1n?E?A?(??a?n)(??a)n?1，??1?a?n，?2??3????n?a，

当且仅当a?n时，二次型是正定的。

三． 解 （1）当n?3可以直接验证，对n作归纳，用数学归纳法即得（略）； ????（5分）

（2）A100?100????A98?A2?I?A96?2(A2?I)???A2?49(A2?I)?5010?．

?5001???????（5分）

注 由于矩阵A的特征多项式f(?)??3??2???1，由凯莱-哈密尔顿定理，得到

f(A)?0，即A3?A2?A?I?0，故知n?3时成立；另外注意到f(?)?(??1)2(??1)，作带余除法：

?100?(??1)2(??1)g(?)?(a?2?b??c)

在上式中分别令??1，???1，以及对上式求导并令??1，得到

?a?b?c?1?1002?a?b?c?1，解之得，a?50,b?0,c??49，故A?50A?49I． ?2a?b?100?四．解

?I?A?(??4)(??1)2，所以A的特征值?1?4，?2??3?1． ????（ 4分）

对?1?4，齐次线性方程组(4I?A)x?0的基础解系为?1?(1,1,1)'，故对应的特征向量k?1，（0?k?R）； ????（ 6分）

对?2??3?1，齐次线性方程组(I?A)x?0的基础解系为?2?(?1,1,0)'，?3?(?1,0,1)'故对应的特征向量为k1?2?k2?3，（k1、k2?R且不全为0）． ????（ 8分）

（2）用施密特方法将?1,?2,?3标准正交化后即为所求基（略）． ????（ 8分） 五．证明 设k1(???)?k2(???)?k3(???)?0，即

(k1?k3)??(k1?k2)?)?(k2?k3)??0， ????（3分） 由于?,?,?线性无关，故有

?k1?k3?0? ?k1?k2?0 解之得，k1?k2?k3?0 ????（7分）

?k?k?0?23孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。

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故???,???,???也线性无关． ????（8分）

对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量?1,?2,?3,?4线性无关，并不能得到向量

?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关的结论． ????（ 15分）

注1 由(?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0知，?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；

注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论: 若4个向量

?1,?2,?3,?4线性无关，则向量?2??3??4,?1??3??4,?1??2??4,?1??2??3也线性无关．该答案

也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．

六． 证明 （1）令x?y?1，则

f(y?1)?(y?1)5?5(y?1)?4?y5?5y4?10y3?10y2?10y?10，

取p?5，由Eisenstein判别法知，f(y?1)在Q上不可约，从而f(x)在Q上不可约；

????（ 8分）

注 也可利用反证法证之：若可约，则f(x)能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略．

（2）因为f(x)是奇次的，则f(x)必有一个实根，此根若是有理根，则f(x)在Q上可约，矛盾． ????（7分）

注 奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将f(x)在实数域上作标准分解，由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式，故奇次多项式f(x)一定有一次因式，因此

f(x)必有一个实根．另外，对f(x)没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．

七．证明 （1）?0?W,?W?? ????（ 1分） 对?k?P，?X,Y?W，即AX?XB, AY?YB， ????（ 2分） 有A(X?Y)?XB?YB?(X?Y)B，A(kX)?k(BX)?B(kX)，所以X?Y?W，kX?W， 故W是线性空间Pn?n的一个子空间 ????（ 5分）

（2）当B?E时，W?XAX?X?X(A?E)X?0，由于A?E可逆，故得

????W??0? ????（ 5分）

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试题十三

题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分

一、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。把答案填在横线上。

1． 设列向量?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n都是线性空间P的一组基，记n级矩阵

nA?(?1,?2,?,?n)，B?(?1,?2,?,?n)，则由基?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵

是 ；

?1?12???1? 2．设数域P上三维线性空间V的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵是?20?12?1???则A在基?1,2?2,?3下的矩阵是 ；

3．设V1,V2是n维线性空间V的子空间，关于子空间的维数公式是dim(V1?V2)?

4．数域P上的一次多项式x?a与f(x)互素的充要条件是f(?a) ；

115．行列式

11111234? ；

491682764??x1?x2?x3?0?6．齐次线性方程组?x1??x2?x3?0 有非零解的充要条件是?? ；

?x?x??x?03?127．设?1,?2,?3线性无关，则常数m,n满足条件 时，向量组m?2??1,

n?3??2,?1??3线性无关；

8．如果n级矩阵A、B及n级单位矩阵E满足B?(E?A)(E?A)，则(E?B)表成矩阵A的多项式是 ；

239．若(x?1)ax?bx?2，则a,b分别为 ；

?1?110．设A?R3?3??1，且A可逆．若A??2A，则A? ．

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二、选择题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1．设4级矩阵A与B相似，B的特征值是1，2，3，4，则A的行列式是（ ）

（A）-24； （B）10； （C）24； （D）不能确定

2．下列P的子集中是P的子空间的为（ ）

nn?（C）?(a,a,?,a)a12n222（A）(a1,a2,?,an)a1?a2???an?0； （B）(a1,a2,?,an)a1?a2???an?1；

1?a2???an???1?；（D）?(a,a,?,a)aa?a12n12?n?0?

3．设?,?,?是线性空间的三个线性无关的向量，记V1?L(?)，V2?L(?)，V3?L(?)，则子空间

(V1?V2)?V3?（ ）

（A）L(???,?)； （B）L(???,???)； （C）空集； （D）零子空间 4．设矩阵A～B，C～D，则下列命题正确的是（ ） （A）A?B～C?D； （B）AB～CD；

（C）A2～B2，2C～2D； （D）以上结论都不对

5．设A是数域P上偶数维线性空间V上的线性变换，那么A与?A具有相同的（ （A）特征值； （B）行列式；

（C）特征多项式； （D）在同一基下的矩阵

三、设A,B?Pn?n是两个给定的n级矩阵，记W??XAX?XB,X?Pn?n,?证明：

（1）W是线性空间Pn?n的一个子空间；

（2）若B?E，且A?E?0，则W??0?．（8分）

四、试讨论a取什么值时， n元二次型a?nnx2i?()2是正定的？ （8分）?

i?1?xii?1???

五、设P[X]3表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间， 而f1(x)?1?x，f2(x)?1?x2，f3(x)?x?2x2是P[X]3的一组基，线性变换A?满足?

Af21(x)?2?x，Af2(x)?x，Af3(x)?1?x?x2

（1）求A?在已知基下的矩阵；?

（2）设f(x)?1?2x?3x2，求Af(x)． （8分）

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）

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六、设f(x1,x2,?,xn)?X'AX是一个实二次型，若有实n维列向量X1，X2使

X'?0，X'1AX12AX2?0

证明：必存在实n维列向量X，使X'0?00AX0?0．

（7分）

七、设A是二维列向量空间P2的线性变换：设x???x1??x??P2，定义Ax???1?1??x． 2???11?（1）求值域AP2的基与维数；（2）求核A?1(0)的基与维数；（3）求证：P2?AP2?A?1(0)．（8分）

八、设n阶方阵A和B满足AB?A?B，证明：?（1）??1不是B的特征值；

（2）若B相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵P，使得P?1AP与P?1BP都是对角矩阵． （8分）

九、设A是n维线性空间V上的线性变换．若dim(A?1(0))?r，1?r?n，则

（1）存在n?r个向量?1,?2,?,?n?r，使A?1,A?2,?,A?n?r线性无关； （2）存在V的一个非恒等线性变换B，使得BA?A． （8分）

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试题十四及参考答案

一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题1.5分，共30分）

1．n维线性空间V中任何n?1个向量都线性相关； （√） 2．同一组基下的不同线性变换的矩阵一定是相似的； （×） 3．任意两个子空间V1、V2的并集V1?V2仍是子空间； （×） 4．子空间V1、V2的和V1?V2为直和?V1?V2??（这里?表示空集）； （×） 5．相似矩阵具有相同的特征值、相同的行列式及相同的秩； （√） 6．线性空间V的两组基?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵是可逆的； （√） 7．Pn?n中所有n级可逆矩阵的集合作成Pn?n的一个子空间； （×）

8．设A为n级矩阵，则一定存在一个首项系数为1的n次多项式g(?)使得g(A)?0； （√）

9．设A是线性空间V的线性变换，则A的值域AV与核A?1(0)的和AV?A?1(0)?V； （×） 10．线性空间V的子空间W称为线性变换A的不变子空间，是指值域AW?W； （√） 11．线性变换A的值域与核都是A的不变子空间； （√） 12．若矩阵A与B具有相同的特征多项式，则A与B相似； （×） 13．两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等； （×） 14．可逆复对称矩阵的规范形为单位矩阵； （√） 15．实二次型f(x1,x2,?,xn)?X'AX（其中A'?A）是半正定的充要条件是A的所有顺序主子式大于或等于零； （×）

16．n维线性空间的线性变换在某组基下的矩阵是对角形的充分必要条件是该线性变换具有n个不同的根； （×）

17．用L(V)表示n维线性空间V的所有线性变换作成的线性空间，则dimL(V)?n2； （√）

22218．当a??1时，实二次型f(x1,x2,?,xn)?(a?1)x1是正定的;（√） ?(a?2)x2???(a?n)xn19．设?1,?2线性无关，?1,?2也线性无关，则L(?1,?2)?L(?1,?2)的维数一定为4； （×） 20．设V1、V2都是线性空间V的子空间，则V1?V2?V1?V2． （√）

二、求下面实二次型的标准形及所作的非退化的线性变换，并确定其秩和符号差．

?112???f(x1,x2,x3)?X?AX，其中A??101?． （10分）

?213???孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。

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2222解 f?x1 ?3x3?2x1x2?4x1x3?2x2x3?(x1?x2?2x3)2?2x2x3?x2?x3?y1?x1?x2?2x3?222x2设?y2?，得f?y1?2y2y3?y2?y3?y12?(y2?y3)2，

?y?x3?3?z1?y1?2y2?y3，得到标准形为f?z12?z2设 ?z2?，

?z?y3?3?z1?x1?x2?2x3?x1?z1?z2?z3??x2?x3，即?x2?z2?z3， 故所作的非退化线性替换为?z2??z??x?x3z3?3?322标准形为f?z1，二次型的秩为2，符号差为0． ?z2

三、设V为数域P上的n维线性空间，且V?L(?1,?2,?,?n)， （1）证明{?1,?1??2,?,?1??2????n}是V的一组基；

（2） 若??V在基{?1,?2,?,?n}的坐标为(n,n?1,?,2,1),求?在基

{?1,?1??2,?,?1??2????n}下的坐标． （12分）

证明 （1）设k1?1?k2(?1??2)???kn(?1??2????n)?0，即

(k1?k2???kn)?1?(k2???kn)?2???kn?n?0，因为V?L(?1,?2,?,?n)，所以

?1,?2,?,?n线性无关，即得

?k1?k2???kn?0?k2???kn?0? 解之得，k1?k2???kn?0， ???????????kn?0?故?1,?1??2,?,?1??2????n线性无关，又dimV?n，因此它们是V的一组基．

（2）由??n?1?(n?1)?2???2?n?1??n，得???1?(?1??2)???(?1??2????n)， 故?在基{?1,?1??2,?,?1??2????n}下的坐标为(1,1,?,1)．

?1?0注 （1）的另一证法：可由(?1,?1??2,?,?1??2????n)?(?1,?2,?,?n)?????0矩阵的可逆性证得结论；（2）也可由坐标变换公式

11?0????1??1?及后一???1??1??0????01?1??1?1??????0?1??1?n??1?????n?1????1? ??????????1???1?43

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得到结论．

四、设Pn?n是数域P上的所有n阶矩阵的集合，S?{A?Pn?n|A'?A}，

T?{A?Pn?n|A'??A}．

（1）证明S,T是Pn?n的子空间；

（2）求S,T的一组基,并确定其维数； （3）证明P?S?T． （共12分）

证明 （1）?0?S，?S??，设?A、B?S，即A'?A,B'?B，则

n?n(A?B)'?A'?B'?A?B，所以A?B?S；又设?k?P，由(kA)'?kA'?kA，得kA?S，故 S是Pn?n的子空间，同理可证T也是Pn?n的子空间．

（2）S的一组基可取为：E11,E22,?,Enn,Eij?Eji（1?i?j?n），故dimS?n(n?1) 2T的一组基可取为：Eij?Eji（1?i?j?n），故dimT?n(n?1) 21111n?n（3）对?A?P，由A?(A?A')?(A?A')，容易验证(A?A')?S与(A?A')?T，

2222n?n得P?S?T，因此Pn?n?S?T，又设?A?S?T，则A'?A，A'??A，得到A?0，于是有

S?T??0?，故Pn?n?S?T．

注 对（3）中直和的另一证法：由（2）得dim(S?T)?dim(Pn?n)?n2?dimS?dimT，故

S?T?S?T．

五、设V为数域P上的n维线性空间，?是V的一个线性变换, 且有??V使得?n?1??0，而

?n??0．

（1）证明：?,??,?,?n?1?也为V的一组基；

（2）求?在基?,??,?,?n?1?下的矩阵；

（3）证明：?必为零变换． （共12分） 证明 （1）因为dimV?n，所以只需证明?,??,?,?n?1?线性无关： 设k1??k2?????kn?n?1??0，两边用?n?1n作用，注意到?n??0得k1?n?1??0，又?n?1??0，于

n?2是k1?0，代入上式得k2?????kn?n?1??0，两边再用?作用，得k2?0，继续这个过程，得到

k1?k2???kn?0，故?,??,?,?n?1?线性无关，从而为V的一组基．

（2）由?(?,??,?,?n?1?)?(?,??,?,?n?1?00?n?1?)??得?在基?,??,?,??下的矩阵为?En?10??0??En?10??，这里En?1表示n?1级单位矩阵． 0?n?1（3）对???V，设??k1??k2?????kn??，则?n???n(k1??k2?????kn?n?1?)

?k1?n??k2?n?1????kn?2n?1??0，故?n为零变换．

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注 对（3）的另一证法：因为?在基?,??,?,?n?1?下的矩阵为??0?En?10?n?，故?在此基下的矩0??00?n阵为???0，故?为零变换．

?En?10?

六、设???是线性变换A的两个特征值，?,?是分别属于?与?的特征向量．证明 （1）?,?线性无关；

（2）???不是A的特征向量；

（3）??1是A??的一个特征值，这里?表示恒等变换． （共12分）

证明（1）设k1??k2??0，两边用线性变换A作用，得k1???k2???0，对k1??k2??0两边同乘?后两式相减，得k1(???)??0，由于???及??0，得k1?0，代入得k2??0，又有k2?0，故?,?线性无关．

（2）若???是A的属于某特征值?0的特征向量，则A（???）＝?0(???)，得到

???????0(???)，即(???0)??(???0)??0，由（1）知?,?线性无关，得???0????0?0，于是???0??，矛盾．

（3）由A（?）＝??，得(A2??)??(?2?1)?，故??1是A??的一个特征值．

七、设线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵是

2222n?1?11???A??2?22?

??11?1???（1）求矩阵A以及线性变换A的特征值与特征向量；

（2）判断A是否可以对角化（即线性变换A是否在某组基下的矩阵为对角形），若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵T，使TAT为对角形． （共12分）

?1??1解 （1）?E?A??21??10?1??2?2??2??2??2(??2)，则A或A的特征值 ?1??11???11?1?1??2?0和?3??2．

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?1???1?????当?1??2?0时，由(?1E?A)X?0得基础解系X1??1?，X2??0?，故矩阵A的全体特征向量

?0??1??????k1?k2???为k1X1?k2X2??k1?，而线性变换A的全体特征向量为(k1?k2)?1?k1?2?k2?3（其中k1,k2为不

?k??2?全为零的任意常数）．

??1???当?3??2时，由(?3E?A)X?0得基础解系X3???2?，故矩阵A的全体特征向量为

?1?????1???k3?????k3X3?k3??2????2k3?，而线性变换A的全体特征向量为?k3?1?2k3?2?k3?3（其中k3为不为零的

?1??k????3?任意常数）．

?1?1?1???（2）由于A有3个线性无关的特征向量，故A可以对角化，取可逆矩阵T??10?2?，则

?011????0???T?1AT??0?．

??2???

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