2009年高教社数学建模竞赛B题论文（完整版）

眼科病床安排的优化模型

摘要

本文主要针对眼科医院病床的合理安排问题,以排队论,优先级理论和优化理论为基础,依据实际的情况,建立不同的眼科病床安排模型,并解得了评价指标和具体方案,较好地解决了病床安排的问题,提高了医院对资源的有效利用率.

对于问题一,综合各方面的因素,确定三个评价指标,分别是病人的平均等待时间Wq,病人的平均住院时间Wh和病床的有效使用率B.以这三个指标建立评价指标体系,对文中不同模型的结果做出评价分析.

对于问题二,首先,用问题一中建立的评价指标体系对医院的FCFS模型的各指标进行计算,得到Wq=12.3,Wh=9.0,B=58.4%.接着,考虑到每种眼病在一周内手术安排时间不同,引入优先级概念,对一周内不同种类的眼病进行分级排序,按照优先级从高到低对病人的床位进行安排,对于同等级别的眼病采取FCFS原则,建立一个基于优先级和FCFS原则的床位安排模型.利用该模型,对附录中的数据进行仿真模拟,将表格填齐,最后统计出各指标的数据:Wq=11.8,Wh=9.0,B=83.0%,对比分析两个模型的各指标数据,可知基于优先级和FCFS原则的床位安排模型要优于FCFS模型.

对于问题三,利用基于优先级和FCFS原则的床位安排模型,对附录中等待住院的102位病人进行仿真模拟,统计模拟的结果,分析每种眼病平均等待时间的分布情况.由于每天某种眼病优先等级会影响到该眼病的等待时间,因此统计出周一至周五不同眼病的平均等待时间,并分析其与每种眼病平均等待时间的分布之间的联系,从而根据病人门诊的时间和眼病的种类估算出大概的等待入院时间.

对于问题四,在周六,周日不安排手术的情况下,考虑不改变手术时间和改变手术时间两种方案,分别分析各种眼病的手术时间,对问题二中模型的优先级进行改进,以附录中的数据进行仿真模拟,分别计算出各项评价指标,进行对比分析.在不改变手术时间的方案中,Wq=12.0,Wh=8.6,B=36.1%;在改变手术时间的方案中,通过对各眼病患者的门诊时间进行分析,将白内障手术时间改为周二和周四,算出的指标为Wq=12.5,Wh=9.2,B=29.0%.对比分析后可得不改变手术时间而只改变模型优先级的方案更为合理.

对于问题五, 对于问题五，首先，将病床按照眼病的种类分为5个区域，假设每个区域内病人的排队系统都为M/M/S/?排队论模型.接着，统计附录中的数据，计算出每种眼病的平均到达率?i和平均服务率?i，再通过M/M/S/?排队论模型中的运行指标公式，可得到各类眼病的平均逗留时间。最后，由此建立非线性规划模型，以所有病人在系统内的平均逗留时间最短作为目标函数，运用Lingo软件求解得白内障(单眼)、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病、外伤分配的床位分别为c1=11，c2=13，

c3=23，c4=14，c5=18.

关键词: 眼科病床问题,评价指标体系,优先级,排队论模型,仿真模拟

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1. 问题重述

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象,它以这样或那样的形式出现在我们面前,例如,患者到门诊就诊,到收费处划价,到药房取药,到注射室打针,等待住院等,往往需要排队等待接受某种服务.

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题.

该医院眼科门诊每天开放,住院部共有病床79张.该医院眼科手术主要分四大类:白内障,视网膜疾病,青光眼和外伤.附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况.

白内障手术较简单,而且没有急症.目前该院是每周一,三做白内障手术,此类病人的术前准备时间只需1,2天.做两只眼的病人比做一只眼的要多一些,大约占到60%.如果要做双眼是周一先做一只,周三再做另一只.

外伤疾病通常属于急症,病床有空时立即安排住院,住院后第二天便会安排手术. 其他眼科疾病比较复杂,有各种不同情况,但大致住院以后2-3天内就可以接受手术,主要是术后的观察时间较长.这类疾病手术时间可根据需要安排,一般不安排在周一,周三.由于急症数量较少,建模时这些眼科疾病可不考虑急症.

该医院眼科手术条件比较充分,在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制,但考虑到手术医生的安排问题,通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天做.当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(First come, First serve)规则安排住院,但等待住院病人队列却越来越长,医院方面希望我们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题,以提高对医院资源的有效利用.

问题一:分析确定合理的评价指标体系,用以评价该问题的病床安排模型的优劣. 问题二:就该住院部当前的情况,建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院.并对我们的模型利用问题一中的指标体系作出评价.

问题三:作为病人,自然希望尽早知道自己大约何时能住院.能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况,在病人门诊时即告知其大致入住时间区间.

问题四:若该住院部周六,周日不安排手术,请我们重新回答问题二,医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五:有人从便于管理的角度提出建议,在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案,试就此方案,建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短的病床比例分配模型.

2. 问题分析

题目要求我们通过对医院门诊住院出院数据分析,来得出评价病床安排方案优劣的体系,优化的病床安排方案,病人住院预期时间,手术时间调整后的病床安排方案,分病人类型的病床安排方案.

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2.1. 对于问题一的分析

为了建立一个合理的评价体系,应当为体系选取适当的指标,这些指标应具有科学性,代表性,可行性,可比性,能较好地代表病床安排模式的特点.因此选取病人平均等待时间,病人平均住院时间,等待住院的病人数目,病人对病床的有效使用率4个指标构成病床安排模式的评价体系.建立评价体系后,根据计算公式以及已有的数据进行计算得到指标的具体数值,依据数据代表的方案特点对方案进行评价. 2.2. 对于问题二的分析

为了建立更合适,更优化的病床安排,依据周一,周三只做白内障手术等限制条件,以系统内逗留时间最短为目标设计一周内每一天对不同眼科疾病的病人入院的优先级别模型,依据建立的优先级模型进行基于排队论的仿真模拟,解得评价体系的各项指标,进行分析评价.

由于手术间差异较大,所以按照眼科疾病的类型进行分类,将在排队病人分为白内障(单眼),白内障(双眼),外伤,其他(含青光眼与视网膜疾病);同时由于白内障手术时间限制为周一,周三,且这两天不做其他疾病的手术,安排方案必须按照一周内每天不同而做出调整.为了提高病床资源的利用效率,使占用病床的病人均处于必须住院阶段,按照一周内每天不同安排不同眼科疾病病人入院建立优先级模型,使得新的安排模式在问题一中的评价体系中优于原有安排模式.例如白内障(双眼)的病人必须住院的时间为术前准备2天,手术2天,术后观察2天,共6天,最优的方案应该安排在周日入院,则可以在周五出院.从而使得医院的病床资源得到有效利用. 2.3. 对于问题三的分析

为了给排队患者提供较为准确的入院时间区间,需要对在住院以及在排队的病人进行统计,分析,运用基于排队论的仿真模拟的方法计算出该病人入院的大致时间区间.结合附录中已出院的名单以及在住院的人员名单的特点,以附录中的排队名单中的102人为初始值,进行仿真模拟,得到具有现有数据某些特点的后续队列.以此队列作为基础数据对优化后的病床安排方案进行模拟,获得优化后的病床安排方案在病床资源利用上的数据.从而运用数据统计的方法,对模拟得到的数据进行分析,获取在排队病人的预期入院时间. 2.4. 对于问题四的分析

依据周六,周日不做手术的事实,首先假设做白内障手术的手术日不变,仍为周一,周三,沿用第三问,以附录中的排队名单中的102人为初始值,进行仿真模拟的方法修改手术规则,得到新的各项指标.下一步是改进白内障手术的手术日,建立多种方案,并依据手术日的改动改进优先级模型,运用调整参数后的基于排队论的得到的各项指标数据作为对白内障手术的手术日改进方案的对照标准. 2.5. 对于问题五的分析

为了解决按眼科疾病预期需要床位分派病床的问题,用Lingo软件以平均系统内逗留时间最短为目标函数,以每种病分得的病床数为自变量,以病床总数,每种眼科疾

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病病例平均增长数,病床周转率等作为约束条件,建立基于排队论的优化模型.优化模型的架构设计为5种病对应5个排队论的服务体系,对应5套不同的服务模型,通过改变各服务体系的服务台数,使得5个服务体系的平均系统内逗留时间最短.求解得到的全局最优解即每种病分得的病床数,也就是使得平均系统内逗留时间最短的病床分派方案.

出于简化模型,符合实际情况考虑,病人入院模式为严格遵照FCFS原则的模式,白内障手术日按照题设安排在周一,周三,且一周中每天均可安排手术.为了保持优化模型贴近现实情况,优化模型中所用的参数均来自附录中的数据或附录中数据的统计学指标,使得模型能尽可能贴近实际经营,有利于模型实际运用到经营中.

3. 问题假设与符号说明

3.1. 问题假设

(1) 病人的到来服从泊松分布;

(2) 时间的最小单位为天,病人的入院,手术,出院认为是在每天固定的时刻瞬间完成的; (3) 在医院现有的机制下,对病人的服务时间分布服从负指数分布; 3.2. 符号说明 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Wq ——病人的平均等待时间

Wh ——病人的平均住院时间 B ——病床的实际使用率

wsi ——第i种眼科疾病在系统内的逗留时间

?i ——第i种眼科疾病的每天平均新增病例率

?i ——第i种眼科疾病的每天平均服务率

ci ——第i种眼科疾病分配到的病床数

4. 模型的准备

4.1. 等待制排队模型[1]

等待制排队模型中最常见的模型是

M/M/S/?

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即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立,且服从参数为?的负指数分布(即输入过程为Poisson过程),服务台的服务时间也独立同分布,且服从参数为?的负指数分布,而且系统空间无限,允许永远排队. 4.1.1. 等待制排队模型

对于等待制派对模型,通常关心如下指标:

Pwait?@peb(load，S)

其中S是服务台或服务员的个数,load是系统到达符合,即load??/??RT ,式中R=?,T=1/? .(在通常的教科书中,用?,?表示负指数分布的参数.在下面的程序中,我们用R表示?,T表示1/?,下同.)因此,R或?是顾客的平均到达率,?是顾客的平均被服务数,T就是平均服务时间. 4.1.2. 顾客的平均等待时间

T ,

S?loadWq?Pwait?之中T/(S?load)是一个重要指标,可看作一个“合理的长度间隔”.注意,当load?S时,此值趋于无穷.也就是说系统负荷接近服务台的个数时,顾客平均等待时间将趋于无穷.

T无意义.其直观的解释是:当系统负荷超过服务

S?load台的个数时,排队系统达不到稳定的状态,其队将越排越长.

当load>S时,式Wq?Pwait?4.1.3. 顾客的平均逗留时间,队长,和等待队长

顾客的平均逗留时间(Ws),队长(Ls),和等待队长(Lq)这三个值可由Little公式直接得到

Ws?Wq?1??Wq?T ,

Ls??Ws?RWs Lq??Wq?RWq

4.1.4. 数量指标及计算公式 (1) 病床负荷水平p,p??; S?4

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 青光眼 2008/8/31 2008/9/11 白内障(双眼) 2008/8/31 2008/9/13 视网膜疾病 2008/8/31 2008/9/12 视网膜疾病 2008/8/31 2008/9/12 视网膜疾病 2008/8/31 2008/9/12 青光眼 2008/8/31 2008/9/12 白内障 2008/8/31 2008/9/13 视网膜疾病 2008/9/1 2008/9/12 视网膜疾病 2008/9/1 2008/9/12

2008/9/1 2008/9/12 青光眼

白内障(双眼) 2008/9/1 2008/9/13 白内障(双眼) 2008/9/1 2008/9/13 白内障(双眼) 2008/9/1 2008/9/13 经计算,各指标数据如下:

病人平均等待时间

2008/9/13 2008/9/15 2008/9/14 2008/9/14 2008/9/14 2008/9/14 2008/9/15 2008/9/14 2008/9/14 2008/9/14 2008/9/15 2008/9/15 2008/9/15

2008/9/17

2008/9/17 2008/9/17 2008/9/17 2008/9/21 2008/9/20 2008/9/23 2008/9/23 2008/9/25 2008/9/19 2008/9/18 2008/9/26 2008/9/29 2008/9/22 2008/9/20 2008/9/20 2008/9/20 Wq?≈11.8天

?病人平均住院时间Wh≈9.0天

病人对病床的平均有效使用率B?≈83.0%

(3)指标的评价

a. 原模型的病人平均等待时间为12.3天,改进模型的为11.8天,说明了改进模型对床位的安排更加合理,提高了医院床位的使用率,从而降低了病人排队的时间. b. 原模型病人平均的住院时间为9.0天,改进模型的为9.0天,两者几乎相同,这可能与视网膜疾病和青光眼病人数量的增加有关. c. 病人对病床的平均有效使用率从58.4%提高到了83.0%,说明了病人在病床上等待手术的平均时间减少了,对医院病床资源的浪费量减少了,即医院资源的有效利用率提高了. 5.3. 问题三模型的建立与求解

由于各眼科疾病在一周内每天的优先级存在差异,术前准备时间,手术安排日期和术后观察时间也存在差异,因此不同眼病的等待时间也存在差异.为解决问题三,将眼病分为白内障(单),白内障(双),视网膜疾病和青光眼4种,将附录中的等待的病人按照改进模型安排床位,利用计算机仿真模拟将附录中的表格填全,选取附录中后102位病人作为研究对象,分别研究不同眼病等待时间的分布规律,得出每种眼病的大概等待时间.

5.3.1. 对各种眼病平均等待时间的统计

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图1-1 白内障(单)等待时间分布图 图1-2白内障(双)等待时间分布图

图1-3 青光眼等待时间分布图 图1-4 视网膜疾病等待时间分布图 由于每种眼病的等待时间与一周内不同天数的优先级有着密切的联系,因此以102位病人的住院信息作为研究对象,统计门诊时间为周一至周日时不同眼病的平均等待时间,如表6:

表6:102位病人不同门诊时间各眼病的平均等待时间

周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日

10 13 13 白内障(单) 8.8 10.2 11.8 11

11 10.3 10 15 12.5 13 白内障(双) 12 11 10 9 12.6 14 12 11.5 青光眼

视网膜疾病 12.6 12.5 13.3 12.1 13 11.5 11.6

5.3.2. 对各种眼病平均等待时间的估计

观察图1-1,发现白内障(单)不同的等待时间分布较为不均,没有规律可循,因此直接计算其平均数a,

a??nti?166ii?11?ni?1i

11

其中,ni为第i个数据的频数,ti为第i个数据的平均等待时间.

所以,白内障(单)的病人从门诊到入院的时间大概为11天.

观察图1-2,发现白内障(双)病人等待时间为10天和15天,所占的比例很大,再结合表6发现周二到周四的平均等待时间在10天左右,而周五到周一的平均等待时间在15天左右.因此,得出结论,对于白内障(双)的病人来说,门诊时间周二至周四的话,等待时间大概为10天,门诊时间为周五,周六,周日和周一的病人,等待时间大概为15天. 同理，估计出青光眼和视网膜疾病的大概等待时间.对于周四和周五门诊的青光眼病人来说,等待时间大概为14天,对于其他时间门诊的青光眼病人,等待时间大概为11天;对于周四,周六和周日门诊的视网膜疾病患者,等待时间大概为11天,对于其他时间门诊的视网膜疾病患者,等待时间大概为14天.

当然,这只是估算出了对大部分病人来说大概的等待时间,会有少数病人的等待时间会有误差.

5.4. 问题四模型的建立与求解

周六,周日不安排手术,需对问题二中模型每天的优先级进行改进,分析每种眼病的手术特征和人数,对手术时间安排做出调整,并对不改变手术时间和改变手术时间安排的2种情况分别进行计算机仿真,得出评价指标,对比分析二者的优缺点,以提高医院资源的有效利用率为目标,讨论改进手术安排时间是否合理. 5.4.1. 手术时间不变的病床安排模型

在不改变手术安排时间的情况下,白内障的手术时间仍然固定为周一和周三.由于周六,周日不安排手术(仍可以住院和出院),其他眼病手术的时间只能在周二,周四和周五.这里使用与问题二相同的方法,先分析每种疾病的术前准备和术后观察时间,再依据手术安排时间分析每种眼病的最理想入院时间或最不理想入院时间,从而确定一周内每天的眼病优先级,如表7:

表7:眼科疾病优先级表(周六,周日不手术) 星期 优先级 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 疾病 5 5 4 2 2 2 2 白内障(双眼) 2 2 4 2 2 2 3 白内障 2 2 2 4 4 4 3 青光眼 2 2 2 4 4 4 3 视网膜疾病 1 1 1 1 1 1 1 外伤 以周一为例,外伤是最高级;白内障(双眼)如果住院的话要会有5天的等待手术时

间,造成了医院资源的浪费,所以优先级最低;白内障(单眼)和其他眼病周一住院都会有1天等待手术时间,所以优先级均为2,此时按照FCFS原则安排床位.

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采用上文手术安排模型,同样地以附录中102位病人作为研究对象,通过计算机模拟出这102位病人的具体入院,出院时间,得到了表8:

表8;前20位病人在该优先级模型下的入院安排表(周六,周日不安排手术) 序号 类型 门诊时间 入院时间 第一次手术时间 第二次手术时间 出院时间 1 白内障(双眼) 2008/8/30 2008/9/7 2008/9/8 2008/9/10 2008/9/12 2 视网膜疾病 2008/8/30 2008/9/10 2008/9/12 / 2008/9/23 3 / 2008/9/21 青光眼 2008/8/30 2008/9/10 2008/9/12 4 视网膜疾病 2008/8/30 2008/9/10 2008/9/12 / 2008/9/26 5 视网膜疾病 2008/8/30 2008/9/15 2008/9/18 / 2008/9/27 6 白内障(双眼) 2008/8/30 2008/9/11 2008/9/15 2008/9/17 2008/9/20 7 / 2008/9/15 白内障 2008/8/31 2008/9/11 2008/9/15 8 / 2008/9/26 青光眼 2008/8/31 2008/9/16 2008/9/18 9 白内障(双眼) 2008/8/31 2008/9/12 2008/9/15 2008/9/17 2008/9/20 10 视网膜疾病 2008/8/31 2008/9/16 2008/9/18 / 2008/9/30 11 视网膜疾病 2008/8/31 2008/9/16 2008/9/18 / 2008/9/30 12 视网膜疾病 2008/8/31 2008/9/16 2008/9/18 / 2008/9/30 13 / 2008/9/25 青光眼 2008/8/31 2008/9/16 2008/9/18 14 / 2008/9/15 白内障 2008/8/31 2008/9/12 2008/9/15 15 视网膜疾病 2008/9/1 2008/9/17 2008/9/19 / 2008/9/27 16 视网膜疾病 2008/9/1 2008/9/17 2008/9/19 / 2008/9/30 17 / 2008/9/27 青光眼 2008/9/1 2008/9/17 2008/9/19 18 白内障(双眼) 2008/9/1 2008/9/12 2008/9/15 2008/9/17 2008/9/19 19 白内障(双眼) 2008/9/1 2008/9/12 2008/9/15 2008/9/17 2008/9/19 20 白内障(双眼) 2008/9/1 2008/9/12 2008/9/15 2008/9/17 2008/9/20 经计算,各指标数据如下:

病人平均等待时间Wq≈12.0天 病人平均住院时间Wh≈8.6天

病人对病床的平均有效使用率B≈36.1%

由于周六,周日不安排手术,会使病人的等待手术时间增长,对医院床位资源造成了浪费,从而降低了病人对床位的有效使用率,即降低了医院资源的使用效率. 5.4.2. 手术时间改变的病床安排模型

(1) 数据分析

通过对附录中数据的统计,计算每种眼病一周内7天平均的门诊人数,得到了图1-图4.

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图1 白内障(单)平均人数

图2白内障(双)平均人数

图3 其他眼病平均人数 图4 外伤平均人数

由图1可知,白内障(单)病人在周二和周三会有小幅度的增加,其他时间较为稳定;由图2可知,白内障(双)人数较多的是周一和周五,;由图3可知,其他眼病门诊人数在一周内每天的分布较为平均,其特点是稳定且数量较大;由图4可知,一周内每天外伤病人的波动性很大,数量较小. (2) 模型的建立

由(1)数据分析中的图3中分析可知周四,周五,周六住院的其他眼病患者平均人数为12人,而周一只进行白内障的手术,会造成大量的病人堆积,从而降低了医院病床的有效利用率;另一方面,在周二和周三,白内障(单)病人门诊的数量会有一个小高峰,而周三门诊的白内障(单)病人要等到下周一才能手术,同样也造成了资源的浪费.综上所述,将白内障手术时间改为周二和周四.

将白内障手术时间改为周二和周四,其他条件不变,分析一周内每一天不同眼病的优先级,建立表9

表9:眼科疾病优先级表(周六,周日不手术)

星期 星期二 星期四 优先级 星期一 星期三 星期五 星期六 星期日 (白内障) (白内障) 疾病 2 5 5 4 4 4 2 白内障(双眼) 3 2 2 4 4 4 2 白内障 3 2 2 2 2 2 2 青光眼 14

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