线性代数习题答案详解

线性代数习题答案详解

【篇一：段正敏主编《线性代数》习题解答】

张应应 胡佩 2013-3-1 目录

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 行列

式 .................................................................................................................... 1 矩

阵 ...................................................................................................................... 22 向量组的线性相关

性 .......................................................................................... 50 线性方程

组 .......................................................................................................... 69 矩阵的相似对角

化 .............................................................................................. 91 二次

型 ................................................................................................................ 114 1

附录：习题参考答

案 ........................................................................................................... 129 1

教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。

第一章 行列式 1．填空题：

（1）3421的逆序数为 5 ；

解：该排列的逆序数为t?0?0?2?3?5. （2）517924的逆序数为 7； 解：该排列的逆序数为t?0?1?0?0?3?3?7. （3）设有行列式 21d?6 1?1

5?1501 ?130201 047832

?432=?(aij)，

含因子a12a31a45的项为； 解：(?1) t(23154)

a12a23a31a45a54?(?1)3?5?2?6?8?3??1440

(?1)t(24153)a12a24a31a45a53?(?1)4?5?0?6?8?1?0 所以d含因子a12a31a45的项为-1440和0.

（4）若n阶行列式dn??(aij)?a,则d??(?aij)?解：?行列式d中每一行可提出一个公因子?1， ??1? n a ；

?d??(?aij)???1??(aij)???1?a. nn 1

（5）设f(x)? 14?8 1xx 2

2?248

，则f(x)?0的根为； x3

解：f(x)是一个vandermonde行列式，

?f(x)?(x?1)(x?2)(x?2)(?2?1)(?2?2)(2?1)?0的根为1，2，-2. （6）设x1,x2,x3是方程x?px?q?0的三个根，则行列式 3 x1 x3

x2x1x3 x3

x2? ； x1 3 3 2 x2

解：根据条件有

x?px?q?(x?x1)(x?x2)(x?x3)?x?(x1?x2?x3)x?ax?x1x2x3 比较系数可得：x1?x2?x3?0，x1x2x3??q

?x13??px1?q?3

再根据条件得：?x2??px2?q ?x3??px?q 3?3

原行列式=x1?x2?x3?3x1x2x3??p(x1?x2?x3)?3q?3?(?q)?0. 3 3 3 x

（7）设有行列式?1 23

x0=0，则x； x1 x

解：?1 23

x0?x2?3x?2?(x?1)(x?2)?0 x1 ?x?1,2. a11

（8）设f(x)? a12a22xa42 a13xa33a43 xa24a34a44

，则多项式f(x)中x3的系数为； a21a31x

解：按第一列展开f(x)?a11a11?a21a21?a31a31?xa41，

?a11,a21,a31中最多只含有x2项，?含有x3的项只可能是xa41 a12

xa41?x(?1)4?1a22 x

a13xa33 xa24a34 3

?????????x?xaa?aa?aa?x?a13a22a34?a12a24a33?????123413242233??

?xa41不含x3项，?f(x)中x3的系数为0. 1234

（9）如果

6543002x0033

=0，则x 1234 解：

65430020033 122x

???(5?12)(6?3x)?0 x6533 ?x?2. 000

（10） a000 ；

b000c 000d

解：将行列式按第一行展开： 000b000c 000d a000 b00

?a?(?1)1?40c 0??abcd. 00d a31

（11）如果b a?3b?3c?3

21??r1?3r3?? r2?2r3

01=1，则521??a ?at 41 ； ca31 解：b 1

abc302111 a?3b?3c?351 21 41 ?1.

0121a11

c

a12a22a32

a132a112a122a222a32 2a12?2a13

2a22?2a23 2a32?2a33 （12）如a21 a31

2a112a122a13 a23=2，则2a21 2a31a33a21?a31

a21?3a11a22?3a12a23?3a13 a11

a12a22a32 00a21a22a23 a11a13

0a31a32a33 a21a22a23 2123

a31a32??1a33 ； a

a22?a3211 a12

a23?a33 a13

a13a33

解：a?a21

a23??1?2?3?at?a12?2?3?2 a31

2a112a31 2a122a32

2a22?2a23?2?12?22a32?2a33 ??3??8?0?a???16

2?2?2?3?231?2?2??3 2a212a22

?????????????????????????????????????????8??1?2?2??1?2

2a112a122a13

a21?3a11a22?3a12a23?3a13

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