华东师大《多元分析》历年真题及答案 -

《空间统计分析与运筹》考试题A卷答案

1.地理数据标准化的常用方法有哪些？简述其中两类方法的基本原理。（10分）

2．推导多元非线性回归方程的回归系数（25分）

假设Y为因变量，Xi为自变量；Y的第j个样本值为yj(j?1,2,?,n)，

Xi(i?1,2)的第j个样本值为xij(j?1,2,?,n)，试用最小二乘法推导出多元非线

性回归模型

Y?b0?b1ln(X1)?b2ln(X2)?b3ln(X1)ln(X2)?b4[ln(X1)]?b5[ln(X2)]22

的回归系数b0,b1,b2,b3,b4,b5的计算公式和拟合优度（R2）的表达式（用矩阵运算表示）。

（1）令y=Y, x1=ln(X1), x2=ln(X2), x3=ln(X1)ln(X2), x4=[ln(X1)]2, x5=[ln(X2)]2 则回归方程（15分）

Y?b0?b1ln(X1)?b2ln(X2)?b3ln(X1)ln(X2)?b4[ln(X1)]?b5[ln(X2)]22（1）

可以转化为

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5 （2）

（i?0,1,2,?,5）根据最小二乘法原理，回归方程系数b应该使 innaQ??(ya?1?a)???y2?[ya?1a?(b0?b1x1a?b2x2a???b5x5a)]?min2 （3）

由求极值的必要条件得

n??Q?a)?0??2?(ya?y?a?1??b0?n??Q??2?a)xja?0(ya?y???bja?1? （4）

(j?1,2,?,5)将方程组（4）式展开整理后得：

1

??nb0??n?(??a?1?n?(??a?1??n?(??a?1??nnnn?(?x1a)b1?(?x2a)b2???(?x5a)b5?a?1na?1n21?a?1n?a?1yanx1a)b0?(?xa?1n)b1?(?x1ax2a)b2???(?x1ax5a)b5?a?1na?1n22a?xa?1na?11ayaya (5)

x2a)b0?(?x1ax2a)b1?a?1?(xa?1n)b2???(?x2ax5a)b5?a?1?xn2a.????nn25ax5a)b0?(?x1ax5a)b1?(?x2ax5a)b2?....?(?xa?1a?1a?1)b5??xa?15aya方程组（5）式，被称为正规方程组。 如果引入以下向量和矩阵：

?b0??1y??1???b11?????y2b??b2?，Y???，X??1?????????????y?n??1?b???5??1?x?11X??x21????x?511x12x22?x52nx11x12x13?x1n111?1x21x22x23?x2nx11x12x13?x1n?.????x21x22x23?x2nnx51??x52?x53? ???x5n???????x51??x52?x53? ???x5n??1x13x23?x53?????nA?XT1????x1n??x2n????????x5n????????????????nn?a?1n1aa?1n2ax1a21?a?1nx2a1a?????xa?1n?x??xa?1n1a?xa?1na?1x2a22a?xa?1x2a?x?n?n?5a?xa?1?xa?11ax5a?xa?12ax5a????a?1?n?x1ax5a??a?1n? ?x2ax5a??a?1??n?2x?5a?a?1?x5a

2

?1?x?11TB?XY??x21????x?511x12x22?x521x13x23?x53??????n?y??a??1??y1??na?1????x1aya??x1ny2?????a?1? x2n??y3???n?????x2aya???????a?1??????x5n???yn??n?xy??5aa??a?1?则正规方程组（5）式可以进一步写成矩阵形式

Ab?B （6）

求解（6）可得：

b?AB?(X?1TX)?1XYT （7）

（2）拟合度系数R2的表达式（10分）

拟合度系数R2是测定回归模型拟合优度的重要指标。一般用变量y的总离差平方和中回归平方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。

在回归分析中，离差平方和为y的n次观测值y1,y2,...,yn之间的差异，记为：

nS总?Lyy??(yi?1i?y)2 (8)

可以证明：

nS总?Lyy??(yi?1i?y)2

nni ?n?(yi?1?i)??y2??(yi?1i?y)?Q?U2 （9）

式中：Q??(yi?1i?i)2?y称为误差平方和，或剩余平方和；

U称为回归平方和。

nniU??b2??(yi?1n?yi)?22?(a?bxi?12i?a?bx)2

?(xi?1i?x)?bLxx?bLxy 3

拟合度为系数R2为R2?US总?1?QS总。

3. 用单纯形方法解线性规划问题（20分） 4.系统聚类（20分） 5.AHP应用（25分）

下图是一个AHP结构模型，其中A为总目标层、O为战略目标层、C为发展战略层、S为制约因素层、P为方针措施层。（25分）

（1）确定A－O、O－C、C－S、S－P每层判断矩阵的个数，确定C2－S判断矩阵的阶数并写出它的形式。（用字母代替数字）（15分）

（2）试结合本题叙述AHP决策分析的步骤。（不必写出判断矩阵）（10分） A O1 O2 O3

C1 C2 C3 C4 C5 C6 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S1 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19

4

（1）A—O:1个；O—C:3个;C—S:6个；S—P：8个；（15分）

C2—S的判断矩阵是4×4阶的，形式如下： C2 S1 S2 S3 S4 S1 1 S21 S31 S41 S2 S12 1 S32 S42 S3 S13 S23 1 S43 S4 S14 S24 S34 1

(2) AHP决策分析的基本步骤：（10分）

① 明确问题。即弄清问题的范围，所包含的因素，各因素之间的关系等，以便尽量

掌握充分的信息。

② 建立层次结构模型。在这一个步骤中，要求将问题所含的要素进行分组，把每一

组作为一个层次，按照最高层（目标层）、若干中间层（准则层）以及最低层（措施层）的

形式排列起来。这种层次结构模型常用结构图来如上图表示。

③ 构造判断矩阵。判断矩阵表示针对上一层次中的某元素而言，评定该层次中各有关元素相对重要性的状况，其形式如下：

Ak B1 B 2 ? B n B 1 B 2 … B n b 11 b 12 … b 1n b 21 b 22 … b 2n ? ? ? b n1 bn2 … b nn

其中，bij表示对于Ak而言，元素Bi对Bj的相对重要性的判断值。

④ 层次单排序。层次单排序的目的是对于上层次中的某元素而言，确定本层次与之有联系的各元素重要性次序的权重值。它是本层次所有元素对上一层次某元素而言的重要性排序的基础。

层次单排序的任务可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对于判断矩阵B，计算满足：

BW＝λ

的特征根和特征向量。W为对应于λ排序的权重值。

maxW

的分量Wi就是对应元素单

max的正规化特征向量，W

⑤ 层次总排序。利用同一层次中所有层次单排序的结果，计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要性权重值。

⑥ 一致性检验。需计算下列指标：

mCI＝?ajCIj?1mj

RI＝?ajRIj

j?1CR＝

5

CIRI

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qxgd.html