广东省江门市2009届高三第一次模拟考试（数学文）

试卷类型：A

江门市2009年高考模拟考试

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：⒈答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、

座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

⒉选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 ⒊非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

⒋作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V?数 学（文科）

1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

11?x2⒈设函数f(x)?ln(?)的定义域为M，g(x)?的定义域为N，则M?N?

x1?xA.xx?0 B.xx?0且x?1 C.xx?0且x??1 D.xx?0且x??1 ⒉若复数?1?a?i?（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a?

2????????A.?1 B.?1 C.0 D.1

⒊已知f(x)?sinx?3cosx(x?R)，函数y?f(x??)的图象关于直线x?0对称，则?的值可以是 A.

???? B. C. D. 2346⒋已知A(?1 , 1)、B(3 , 1)、C(1 , 3)，则?ABC的BC边上的高所在直线方程为

A.x?y?0 B.x?y?2?0 C.x?y?2?0 D.x?y?0 ⒌已知数列?an?的前n项和Sn?p?2n?2，?an?是等比数列的充要条件是

A.p?1 B.p?2 C.p??1 D.p??2

⒍如图1，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为

A.

4????24????2 B. C. D. 2244⒎直线y?kx?1与曲线y?lnx相切，则k=

A.0 B.?1 C.1 D.?1

图1

⒏某高中在校学生2000人，高一级与高二级人数相同并都比搞三级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：

跑步 登山 高一级 高二级 高三级 a x b y c z 2．为了了解学生对本次5其中a∶b∶c?2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的

活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取

A.36人 B.60人 C.24人 D.30人

⒐已知a、b是两异面直线，a?b，点P?a且P?b．下列命题中，真命题是 A.在上述已知条件下，一定存在平面?，使P??，a//?且b//?． B.在上述已知条件下，一定存在平面?，使P??，a??且b??． C.在上述已知条件下，一定存在直线c，使P?c，a//c且b//c． D.在上述已知条件下，一定存在直线c，使P?c，a?c且b?c．

⒑当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间．函数的保值区间有(?? , m]、[m , n]、[n , ??)三种形式．以下四个二次函数图象的对称轴是直线 l，从图象可知，有2个保值区间的函数是

y(l) y(l) y l y l O C ? D ? A ?

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． ㈠必做题（11～13题）

⒒如图2，圆心在第二象限，半径为1，并且 与x、y轴都相切的圆的方程为 ．

⒓Sn是等差数列?an?的前n项和，若S1?1，S2?4，

x O B ? x O x O x

则an? ．

⒔阅读图3的框图，若输入m?3，则输出i? ． （参考数值：log32009?6.923）

㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） ⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线

开始 输入m i ?1 ?(cos2??sin2?)?2?0被曲线C：??2所截得弦的

a?mi 中点的极坐标为 ．

⒖（几何证明选讲选选做题）ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、BC的中点，DE?AC?G，

i ?i?1 否 a?2009? 是 输出i DF?AC?H．若AB?2BC，则?ADG与?CDH

S的面积之比?ADG? ．

S?CDH图3 结束

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

1)和单位圆上半部分上的动点B． ⒗（本小题满分13分）如图4，已知点A(1 , y ⑴若OA?OB，求向量OB；

A

B ⑵求|OA?OB|的最大值．

图O x

⒘（本小题满分12分）商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件。节日期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件．

⑴每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？ ．．

⑵如果商场决定在节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？ ．．．

?x?0 ,??⒙（本小题满分13分）对任意n?N，不等式组?y?0 ,表示的平面区域内整点

?x?y?n. ?（即横坐标、纵坐标都为整数）的个数为f(n)． ⑴求f(4)的值；

⑵求f(n)，并求数列?f(n)?的前n项和Sn．

（参考公式：1?2?3???n?2222n(n?1)(2n?1)）

6P B ⒚（本小题满分14分）如图5，四棱锥P?ABCD，?PAB≌?CBA，在它的俯视图ABCD中，BC?CD，AD?1，

A(P)

?BCD??BAD?60?．

⑴求证：?PBC是直角三角形； ⑵求四棱锥P?ABC的体积．

⒛（本小题满分14分）如图6，抛物线C：y??B A D

图

D

C 直观

C 俯视

F1、F2.

⑴求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆方程； ⑵经过坐标原点O的直线 l 与抛物线相交于

12x?1与坐标轴的交点分别为P、 3y P B A、B两点，若AO?2OB，求直线 l 的方程．

F1 OF 2 x

A 图?1(x?0),??x21.（本小题满分14分）设k?R，函数f(x)??，F(x)?f(x)?kx，x?R．

?x??e(x?0).⑴当k?1时，求F(x)的值域； ⑵试讨论函数F(x)的单调性．

文科数学评分参考

一、选择题 CADBD BCADB

二、填空题 11．(x?1)2?(y?1)2?1 12．2n?1 13．7 14．(2 , 三、解答题

⒗⑴依题意，B(cos? , sin?)，0????（不含1个或2个端点也对）----------2分

3?) 15．1 4OA?(1 , 1)，OB?(cos? , sin?) （写出1个即可）---------3分

因为OA?OB，所以OA?OB?0 ---------4分，即cos??sin??0---------5分 解得??3?22---------7分，所以OB?(? , )----------------------------------8分 422(1?cosθ)2?(1?sin?)2

|OA?OB|?⑵OA?OB?(1?cos? , 1?sin?)--------9分，

------10分 ?3?2(sin??cos?)------11分 ?当??

3?22sin(???4)------12分

?4时，|OA?OB|取得最大值，|OA?OB|max?3?22?2?1---13分

⒘⑴设每件售价x元，每天销售利润y1元-------------------------------1分

依题意，y1?(x?110)?[40?2?(200?x)]-------------------3分 322??(?x2?370x?28600)?[?(x?185)2?5625]-------------5分 33当x?185时，y1有最大值3750元---------------------------------6分 ⑵设每件售价x元，每天销售额y2元，依题意，y2?x?[40?2?(200?x)]，其中3?x?1102?y?[?(x?130)2?16900]，其中------------8分即2?2315?[40??(200?x)]?1320?3?110?x?128------------9分，因为y2在区间[110 , 128]内单调增加，所以x?128时y2有

最大值11264元------------11分，答（略）------------12分 ⒙⑴f(4)?1?2?3?4?10-------------4分

⑵f(n)?1?2???n?n(n?1)-------------6分 21Sn?f(1)?f(2)???f(n)?[(1?2???n)?(12?22???n2)]----------9分

21111?[n(n?1)?n(n?1)(2n?1)]----------11分?n(n?1)(n?2)----------13分 2266

⒚⑴由已知，点P在底面ABCD上的投影是点A，所以PA?ABCD--------2分

因为AB、BC?ABCD，所以PA?AB，PA?BC---------------------3分

0因为?PAB≌?CBA，所以?ABC??BAP?90，AB?BC-------4分

因为PA?AB?A，所以BC?平面PAB-------5分 所以BC?PB，?PBC是直角三角形----------6分

0⑵连接BD，因为BC?CD，?BCD?60，所以?BCD是等边三角形-------7分

00在?ABD中，根据多边形内角和定理计算得?ADB?90--------8分，又因为?BAD?60，所以BD?3AD?3-------------9分，所以S?ABD?3333，S?BCD?，所BD2?442以SABCD?S?ABD?S?BCD?53----------11分，又PA?BC?BD?3----------12分，所411535?PA?SABCD??3??-----------14分 3344以，四棱锥P?ABCD的体积V?

⒛⑴由y??12x?1解得P(0 , 1)、F1(?3 , 0)、F2(3 , 0)----------3分 3x2?y2?1----------6分 所以b?1，c?3，从而a?2----------5分，椭圆的方程为4?y?kx12?x?kx?1?0----------8分 ⑵依题意设 l：y?kx----------7分，由?得12y??x?13?3??(3k)2?4?1?(?3)?0?2?xA?xB??3k依题意得?----------11分，解得k??----------13分

3?xA?xB??3?xA??3xB?

所以，直线 l 的方程是y?

22x或y??x----------14分 33?11??x , x?0,21．⑴F(x)??x----------1分，x?0时，F(x)??x?2----------2分；

x?ex?x , x?0??当x?0时，F(x)?ex?x，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数--------3分，

F(x)?F(0)?1-------4分。所以k?1时，F(x)的值域为(?? , 1]?[2 , ??)-------5分。

1?k? , x?0,?/2⑵依题意F(x)??-----6分。①k?0，当x?0时，F/(x)?0，F(x)x?ex?k , x?0??递减，当x?0时，F/(x)?0，F(x)递增-----8分。②k?0，当x?0时，解F/(x)?0得x?111，当0?x?时，F/(x)?0，F(x)递减，当x?时，F/(x)?0，F(x)kkk递增。当x?0时，③?1?k?0，当x?0时，F/(x)?0，F(x)递增-----10分。F/(x)?0，

F(x)递减。当x?0时，解F/(x)?ex?k?0得x?ln(?k)，当ln(?k)?x?0时，

F/(x)?0，F(x)递增，当x?ln(?k)时，F/(x)?0，F(x)递减-----12分。④k??1，

/对任意x?0，F(x)?0，F(x)在每个定义域区间上递减-----13分。

综上所述，k?0时，F(x)在(?? , 0]或(11 , ??)上单调递增，在(0 , ]上单kk调递减；k?0时，F(x)在(?? , 0]上单调递增，在(0 , ??)上单调递减；?1?k?0时，

F(x)在[ln(?k) , 0]上单调递增，在(?? , ln(?k))或(0 , ??)上单调递减；k??1时，F(x)在每个定义域区间上递减-----14分。

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