专题38 直接证明与间接证明-2016年高考数学(文)一轮复习精品资料

【考情解读】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解反证法的思考过程和特点． 【重点知识梳理】 1．直接证明

内容 综合法 利用已知条件和某些数学定义、公它成立的充分条件，直到最后把要理、定理等，经过一系列的推理论定义 证，最后推导出所要证明的结论成立的条件(已知条件、定理、定义、立 公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 证明的结论归结为判定一个明显成分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使Q?P1→P1?P2→…→框图P?Q1→Q1?Q2→…→Qn?Q 表示 得到一个明显 成立的条件要证……只需证…… 即证…… 文字因为……所以…… 语言 或由……得…… 2.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．

(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．

【高频考点突破】 考点一 综合法的应用

1an*

例1 已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N)．

23an＋11

(1)证明数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

an1*

(2)设bn＝anan＋1(n∈N)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<.

6

【特别提醒】(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．

(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．

【变式探究】(2013·课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： 1abc(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.

3bca考点二 分析法的应用 例2、已知a>0，求证【特别提醒】

(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

331221

【变式探究】 已知a，b∈(0，＋∞)，求证： (a＋b)<(a＋b). 32

2

2

2

a2＋2－2≥a＋－2.

aa11

考点三 反证法的应用

例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． 【特别提醒】

(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．

(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．

【变式探究】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设bn＝(n∈N)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 考点四、反证法在证明题中的应用

例4、直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．

4

Snn*

x2

2

(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形． 【方法与技巧】

1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．

3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

失误与防范

1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．

2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

【真题感悟】

1.【2015高考陕西，文16】观察下列等式：

11? 22111111－????

23434111111111－???????

234564561－…………

据此规律，第n个等式可为______________________.

2．（2014·山东卷） 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A. 方程x＋ax＋b＝0没有实根 B. 方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根 C. 方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D. 方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根

3．（2013·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.

(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

*

2222

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qx6.html