2012文科数学回归教材 5平面向量

新课标——回归教材

平面向量

1、向量有关概念:

(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么？(向量可以平移).

?????典例:已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a?(?1,3)平移后得到的向量是(3,0).

?(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0,注意零向量的方向是任意的;

????????AB?); (3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是????|AB|(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;

????(5)平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作a∥b,提醒? 规定零向量和任何向量平行. ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;

????????? AC共线; ③平行向量无传递性！（因为有0);④三点A、B、C共线?AB、??

(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是?a.

????典例:下列命题:(1)若|a|?|b|,则a?b.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点

????????????????相同.(3)若AB?DC,则ABCD是平行四边形.(4)若ABCD是平行四边形,则AB?DC.(5)????????????若a?b,b?c,则a?c.(6)若a//b,b//c,则a//c.其中正确的是 (4),(5) . ????2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在

???后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;(3)坐标表示法:在平面内建立

???直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可

??????表示为a?xi?yj?(x,y),称(x,y)为向量a的坐标,a＝(x,y)叫做向量a的坐标表示.如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

?????3.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一

?1?3????典例:(1)若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2),则c?a?b;

???????向量a,有且只有一对实数?1,?2,使a??1e1??2e2.

22(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是( B )

A.e1?(0,0),e2?(1,?2) B.e1?(?1,2),e2?(5,7)

????????????????????13C.e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?);

24??????????????2?4?AC的中点,且AD?a,BE?b,则BC? a?b; (3)已知D、E分别是?ABC的边BC、33(4)在?ABC中,CD?2DB,CD?rAB?sAC,则r?s的值是 0 . ??4、实数与向量的积:实数?与向量a的积是一个向量,记作?a,它的长度和方向规定如下:

??????①|?a|?|?|?|a|,②当??0时,?a的方向与a的方向相同,当??0时,?a的方向与a的方

???????????????岳阳县一中·2012届高三◆文科数学 第1页 共5页

?????0向相反,当时,?a?0,注意:?a?0.

5、平面向量的数量积:

????????????(1)两个向量的夹角:对于非零向量a,b,作OA?a,OB?b,?AOB??(0????)称为向量?????????a,b的夹角,当??0时,a,b同向,当???时, a,b反向,当??时,a,b垂直.

2特别提醒:根据两个非零向量的夹角的定义,求其夹角时应保证两个向量的起(或终)点相同.

????????典例:在?ABC中,若?A?60?,则向量CA与AB的夹角是120?.

????(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为?,我们把数量|a||b|cos?叫????????做a与b的数量积(或内积或点积),记作:a?b,即a?b?|a||b|cos?.

另规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量.

????????????????????典例:1)?ABC中,|AB|?3,|BC|?5,|CA|?4,则AB?BC? －9 ; ?????????1?1???2)已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b,c与d的夹角为,则k等于 1 ; 2?4???2??3)已知|a|?2,|b|?5,a?b??3,则|a?b|等于23;

?????????4)已知a,b是两个非零向量,且|a|?|b|?|a?b|,则a与a?b的夹角为30?

??????a?b(3)b在a上的投影为|b|cos?,是一个实数.由数量积定义有简化公式:|b|cos???

|a|??????典例:已知|a|?3,|b|?5|,且a?b?12,则向量a在向量b上的投影为125. ????????(4)a?b的几何意义:数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积.

??????(5)向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为?,则:①a?b?a?b?0;

?2????2??????②当a,b同向时,a?b＝|a|?|b|,特别地,a?a?a?2,|a|?a; ??????当a与b反向时,a?b＝?|a|?|b|;

?????? b不同向.(a?b?0是?为锐角的必要非充分条件); 当?为锐角?a?b?0,且a、?????? b不反向.(a?b?0是?为钝角的必要非充分条件); 当?为钝角?a?b?0,且a、??411典例:若向量a?(?,2?)与向量b?(3?,2)夹角为锐角,则??(??,?)?(0,)?(,??);

333????????a?b③非零向量a,b夹角?的计算公式:cos????;显然可推出|a?b|?|a|?|b|.

|a|?|b|????????典例:若a?(cosx,sinx),b?(cosy,siny),a与b之间有关系式ka?b?3a?kb(k?0). ??k2?1????1(k?0);②(a?b)min?,此时a与b的夹角??60?. ①用k表示a?b?4k2④在?ABC中,S?ACB??????11????AB?ACsinA?AB?ACtanA(A?) 222典例:在?OFQ中,OF?FQ?1,且6、向量的运算:

(1)几何运算:

????????????????13???S?OFQ?,则OF,FQ夹角?的取值范围是(,). 2243岳阳县一中·2012届高三◆回归教材 第2页 共5页

①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,

????????????????如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设AB?a,BC?b,那么向量AC叫做a与b的

??????????????和,即a?b?AB?BC?AC;

????????????????????????②向量的减法:用“三角形法则”:设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意:此处减向量与被减向量的起点相同.

?????????????????????????????????????????????????典例:1)化简:AB?BC?CD?AD; AB?AD?DC?CB; (AB?CD)?(AC?BD)?0;

??????????????????2)若正方形ABCD的边长为1,AB?a,BC?b,AC?c,则|a?b?c|＝22; ????????????????????3)点O在?ABC所在平面内,且|OB?OC|?|OB?OC?2OA|,则?ABC形状为直角三角形; ?????????????????|AP|???,则?的值为 2 ; 4)在?ABC中,D为BC中点,点P满足PA?BP?CP?0.设???|PD|?????????????5)若点O是△ABC的外心,且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角C为____（答:120?）;

??(2)坐标运算:设a?(x1,y1),b?(x2,y2),则:

??①向量的加减法运算:a?b?(x1?x2,y1?y2).

????????????1典例:1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP?AB??AC(??R),则当?＝时,点P

2在第一、三象限的角平分线上;

?1???????2)已知A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy),x,y?(?,),则x?y?或?;

22262????????????????????3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1),则合力F?F1?F2?F3的终点坐标是（9,1）.

?②实数与向量的积:?a??(x1,y1)?(?x1,?y1).

????③若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB??x2?x1,y2?y1?,即一个向量的坐标等于表示这个向量的

有向线段的终点坐标减去起点坐标.

?????1???????????11典例:设A(2,3),B(?1,5),且AC?AB,AD?3AB,则C、D的坐标分别是(1,),(?7,9);

33??④平面向量数量积:a?b?x1x2?y1y2.

???典例:已知向量a?(sinx,cosx),b?(sinx,sinx),c?(?1,0).

???1)若x?,求向量a、c的夹角;(答:(1)150?;)

3

??13??12)若x?[?,],函数f(x)??a?b的最大值为,求?的值;(答:(2)或?2?1)

2842???2⑤向量的模:|a|?x2?y2,a?|a|2?x2?y2.

???????典例:已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a?3b|＝13;

⑥两点间的距离:若A?x1,y1?,B?x2,y2?,则|AB|??x2?x1?2??y2?y1?. 2典例:如图,在平面斜坐标系xOy中,?xOy?60?,平面上任一点P关

??????????????于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若OP?xe1?ye2,其中e1,e2分 别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为(x,y).

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(1)若点P的斜坐标为(2,?2),求P到O的距离|PO|;(答:2)

(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.（答:x2?y2?xy?1?0）;

??????????7、向量的运算律:(1)交换律:a?b?b?a,??a?????a,a?b?b?a;

??????????????????(2)结合律:a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c,(?a)?b??(a?b)?a?(?b);

??????????????(3)分配律:?????a??a??a,?a?b??a??b,a?b?c?a?c?b?c.

?????????????????2?2???2典例:给出命题:①a?(b?c)?a?b?a?c;②a?(b?c)?(a?b)?c;③(a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|

??????????????2?2a?bb④若a?b?0,则a?0或b?0;⑤若a?b?c?b,则a?c;⑥|a|?a;⑦?2??;

aa??2?2?2??2?2???2⑧(a?b)?a?b;⑨(a?b)?a?2a?b?b.其中正确的是 ①⑥⑨ .

提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,??????即a(b?c)?(a?b)c,为什么？

??????2??28、向量平行(共线)的充要条件:a//b?a??b?(a?b)?(|a||b|)?x1y2?y1x2＝0.

????典例:1)若向量a?(x,1),b?(4,x),当x＝ 2 时a与b共线且方向相同;

??????????2)已知a?(1,1),b?(4,x),u?a?2b,v?2a?b,且u//v,则x＝ 4 ;

????????????3)设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k),则k＝ －2或11 时,A,B,C共线.

????????9、向量垂直的充要条件:a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0.

????????????????ABACABAC??????)?(?????????). 特别地(???|AB||AC||AB||AC|????????????????3典例:1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m),若OA?OB,则m?;

22)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰Rt?OAB,?B?90?,则点B的坐标是(1,3)或(3,－1);

?????????3)已知n?(a,b),向量n?m,且|n|?|m|,则m的坐标是(b,?a)或(?b,a).

10、向量中一些常用的结论:

(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;

??????????????(2)||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|. ??????????? b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|,||a|?|b||?|a?b|; 当a、??????????? b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|,||a|?|b||?|a?b|; 当a、???????? b不共线?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似). 当a、(3)在?ABC中,若A(x1,y1),B)(x2,y2),C(x3,y3).

x?x2?x3y1?y2?y3①其重心的坐标为G(1,).

33典例:若?ABC的三边的中点分别为(2,1),(?3,4),(?1,?1),则⊿ABC的重心的坐标(?,);

2433岳阳县一中·2012届高三◆回归教材 第4页 共5页

????????????????PA?PB?PC?????????????②PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心;PG??G为?ABC的重心

3????????????????????????③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心;

????2????2????2????2????2????2或者PA?BC?PB?AC?PC?AB?P为?ABC的垂心;

????????ABAC??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线); ④向量?(???|AB||AC|?????????????????????????⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P为?ABC的内心;

????????????(3)三点A、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且????1.

????????????典例:平面直角坐标系xOy中,已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹方程是x?2y?5?0.

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