排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题

单位：新沂市高级中学 姓名：宋小林

排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是许多同学看起来简单而处理问题时又很容易出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。

关键词：分组 均匀 非均匀 有序 无序

排列组合中的分组问题有以下几类：

1、不均匀分组无序

例1. 把6个人分组成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数。

（1） 分成甲、乙、丙三组，其中甲组3人，乙组2人，丙组1人.

（2） 分成3组，其中一组3人，一组2人，一组1人.

解：本题为非均匀分组问题且与顺序无关

3（1）从6人中任选3人，为甲组有C6种选法，再从余下的3人中任选2人

13为乙组，有C32种选法，剩下1人为丙组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。

3（2）先从6人中任选3人为一组有C6种选法，然后从剩下的3人任选2人

13为一组有C32种选法，最后剩下的一人为一组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。

点评：由于各组人数不同，故此问题属于非平均分组问题。尽管（1）给出了甲、乙、丙3组，而（2）没有给出，但分组的方法相同。很多同学会把（1）

13结果误表示为C6*C32*C1*A3种。 3

总结：一般地，把n个不同元素，不平均的分成m组，(m、n N )共有

n3n1n2m1Cn Cn n1 Cn n1 n2 Cnm种分法 n

其中(n1 n2 n3 nm,n1 n2 n3 nm n)

2、平均分组无序

例2. 有六本不同的书，分成如下两组，分别求出以下分组的方法数。

（1） 每组两本

（2） 一组四本，另外两组各一本

解：（1）平均分组问题，且与顺序无关 222C6 C4 C2222分组数为。 15（种）而此题许多同学会写成C6 C4 C2 90（种）3A3

实际上，上述问题重复了6次。为了方便期间，我们不妨把6本不同的书标上序号1、2、3、4、5、6，下面我们来看以下的分组：

（1，2）（3，4）（5，6），（1，2）（5，6）（3，4）

（5，6）（1，2）（3，4），（5，6）（3，4）（1，2）

（3，4）（1，2）（5，6），（3，4）（5，6）（1，2）

由于我们是均匀分组且是无序的故上述6种分法只能算作一种，所以重复了6次。

（2）部分平均分组，且与顺序无关 411C6 C2 C1分组数为。与问题（1）类似由于有两个组是1本，中间出 15（种）2A2

现重复。

总结2：一般地n个不同元素平均成m组，且与顺序无关，共有

n3nnn1n2Cn Cn n1 Cn n1 n2 Cnm

mAm种分法。其中(n1 n2 n3 nm n,m n N ) m

3、不均匀分组有序

例3. 有六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本，共有多少种不同分法？

解：此题属于不平均分组，且有顺序问题。其实质问题是先分组，再排列。

321故可将六本不同的书分成三组有C6 C3 C3 360（种）

总结3：一般地，将n个不同元素非平均地分成m组且与顺序有关，共有：

n3n1n2mm1Cn Cn n1 Cn n1 n2 Cnm Am种分法 n

其中(n1 n2 n3 nm n且n1 n2 n3 nm)

4、平均分组有序

例4. 有6本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？

（1） 分给甲、乙、丙三人，每人两本

（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一人四本，一人一本，一人一本

422C6 C4 C23解：（1）六本不同的书平均分成三组有 A3 90（种）不同分法。3A3

（2）同理：由问题（1）知

n3nnn1n2Cn Cn n1 Cn n1 n2 Cnn2

mAm共有m种分法，其中(n1 n2 n3 nm Amn)。 m

总之，掌握了上述4个结论，对于解决排列组合中的分组问题应该会是游刃有余。另外，还可以将其它问题转化为分组问题来解。

例如：苏教版选修2-3习题1.4第九题

4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒子的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，则另外的3个盒子中的小球数分别为1，1，2。实际上可以转化为先将四个不同的小球分为三组，其中一组2个，两外两组

12C4 C31 C2各1个。分组的方法共有种，然后将三组分给四个不同盒子中的2A2

12C4 C31 C23三个的排列问题，故共有=144（种）。 A42A2

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