2018-2019数学新学案同步必修四人教A版（浙江专用版）讲义：第一章 三角函数1.1.1 Word版含答案

§1.1 任意角和弧度制

1．1.1 任意角

学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．

知识点一 角的相关概念

思考1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？ 答案 角的构成要素有始边、顶点、终边．

思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？ 答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向．

梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．

(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：

类型 正角 负角 零角

知识点二 象限角

思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？

定义 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．

梳理 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． 象限角：终边在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角． 知识点三 终边相同的角

思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？

答案 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．

思考2 如何表示与60°终边相同的角？ 答案 60°＋k·360°(k∈Z)． 梳理 终边相同角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

1．经过1小时，时针转过30°.( × ) 提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°. 2．终边与始边重合的角是零角．( × ) 提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)． 3．小于90°的角是锐角．( × ) 提示 锐角是指大于0°且小于90°的角． 4．钝角是第二象限角．( √ ) 5．第二象限角是钝角．( × ) 提示 第二象限角不一定是钝角．

类型一 任意角概念的理解

例1 (2018·牌头中学月考)下列命题正确的是( ) A．第一象限角是锐角 B．钝角是第二象限角 C．终边相同的角一定相等

D．不相等的角，它们终边必不相同 考点 任意角的概念

题点 任意角的概念 答案 B

反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小． 跟踪训练1 写出下列说法所表示的角． (1)顺时针拧螺丝2圈；

(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角． 考点 任意角的概念 题点 任意角的概念

解 (1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.

(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°. 类型二 象限角的判定

例2 (1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( ) A．①②B．①③C．②③D．②④ 考点 象限角、轴线角 题点 象限角 答案 D

解析 －120°为第三象限角，①错；－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②对；180°为轴线角；495°＝360°＋135°，∵135°为第二象限角，∴495°为第二象限角，故④对．故选D.

α

(2)已知α为第三象限角，则是第几象限角？

2考点 象限角、轴线角 题点 象限角

解 因为α为第三象限角，

所以k·360°＋180°<α

2当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z， α

n·360°＋90°<

2α

所以终边在第二象限，

2

当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z， α

n·360°＋270°<

2

α

所以终边在第四象限．

2

α

综上可知，是第二象限角或第四象限角．

2反思与感悟 (1)判断象限角的步骤 ①当0°≤α<360°时，直接写出结果；

②当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．

α

(2)一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐

n标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上α

1,2,3,4，?，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如

nα

此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．

n

跟踪训练2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 考点 象限角、轴线角 题点 象限角

解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

类型三 终边相同的角

命题角度1 求与已知角终边相同的角

例3 在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)[360°，720°)的角． 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角

解 与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，

(1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求

的最大负角为β＝－50°.

(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.

(3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

跟踪训练3 写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来． 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角

解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．

∵－720°≤β＜360°，

即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)， 1111

∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6. 3636当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； 当k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； 当k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.

命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y＝－3x上的角的集合． 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角

解 终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}； 终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．

因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，

即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．

故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．

反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．

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